Definizioni di base

Def. di Base

INSIEMI: Gruppo di oggetti da studiare

FUNZIONI: Rappresentano collegare gli insiemi

TH. DELLE CATEGORIE: Oggetti

   Morfismi (funzioni che ci indicano la forma)

FORMA DI UNO SP.VETT.: Struttura algebrica

MATRICE SINGOLARE: Se tutti i pivot sono nulli

SOLUZIONE:

• Unica: m pivot = m incognite → sist. quadrato, triang. sup. L.d
• → INCIDENTI (V₁, n V₂+ opt.)
• ∞: se ho almeno 1 non libero → COINCIDENTI (V₁, n V₂, oo pt.)
• No sol.: se non è compatibile → ha GRADI di se term. noti
• → PARALLELE (V₁, n V₂, opt.)

DIMENSIONE: Gradi di libertà della base → m non libero = m incogn. - rango

V₀²: insieme dei vettori applicati in o

Rette nello Spazio

t v̄ = - rette passanti per l'origine v̄ = - + t v̄ = retta passante x un pt. qualunque

eq. paramet. di retta nello spazio

Con 1 parametro descrivo una retta

• con v̄ = (α, β, γ) vettore direttore
• parametri direttori

Piano nello Spazio

t v̄ + s w̄ + p̄₀ = T⊃ sono vett. del piano

eq. param. di piano nello spazio

quindi costruisco il piano che passa per l'origine e per i pt. corrispondenti a v̄ e w̄

Con 2 parametri descrivo 1 piano

• con ρ̄ = ρ̄₀ + s (a₁, a₂, a₃) + t (b₁, b₂, b₃)

Somma e Diff.

SOMMA e INTERSEZ.

Sia V uno sp. vett. con U₁, U₂ sottosp. vett. di V allora

U₁ ∩ U₂ e U₁ + U₂ = { u₁ + u₂ con u₁ ∈ U₁, u₂ ∈ U₂ }

EX

- una BASE di V ∩ W con V =

span (_{v1 v2 v3}) | ℝ⁶

dim U₁ = 3

W = span {

dim U₂ = 4

un vett in appartiene all'intersez. se si può scrivere simultaneamente come

a₁ v₁ + a₂ v₂ + a₃ v₃ = b₁ w₁ + b₂ w₂ + b₃ w₃ + b₄ w₄

(EX)

dota la base B: ₁³₁¹₀⁴₀²₀⁰

il vett. coord. risp. w = ₁¹₀

è la soluz. del sist.

^iGrafico ↓

₁³₁¹₀⁴₀⁰

Geometricamente

Voglio scrivere il vettore w = (1, a) come somma di un _a1+ _a2

completo il parallelogrammo e quello che ottengo in direz. _v¹e _v²secondo le componenti

Def. geometriche

• PRODOTTO SCALARE: (input 2 vettori) : _v = _u¹_u²
• _v¹_v²= < _v¹, _v²> _v= _u¹_u²

PS: _^v= √

− dis. tra vett: dist(V₁, V₂)

Matrici Simili

2 matrici quadrate m×m, B e C si dicono simili se: esiste una matrice invertibile:

M: C = M^-1BM

Piani nello Spazio

2 matrici rispettano lo stesso autovalore rispetto a basi sse sono simili

eq. Cartesiana: ax + by + cz = 0

• <a, b, c>, <x, y, z>

Sto cercando tutti i vett (x, y, z) dello spazio che sono i vett (a, b, c) dato

eq. parametrica: tv⃗ + sw⃗

ex: t <2, 3, 4> + s <-1, 3, 2>

• = <2t - 5, 3t + 3s, 4t + 2s>

con 1 parametro descrivo 1 retta con 2 un piano

Se i piani non passano x l'origine:

eq. cart: ax + by + cz + o₁ = 0

=0 se passa per origine

eq. param: u⃗ + tv⃗ + sw⃗

g1 (p. i. part): 2 eq. generano il piano