Definizioni di base

Def. di BASE

INSIEMI: Gruppi di oggetti da studiare

FUNZIONI: Rivelatori di collegare gli insiemi.

TH. DELLE CATEGORIE:     oggetti     morfi(smi) (funzioni che ci indicano la Roma)

FORMATO UNO SP.VETT.: struttura algebrica

MATRICE SINGOLARE: se tutti i pivot sono nulli

SOLUZIONE:

• UNICA: n° pivot = n° incognite → det ≠ 0 → sist. quadrato, triang. sup. e non singolare → tutti el della diag. princ. ≠0 → INCIDENTI [(n1 ∩ n2): p.t.]
• ∞: se ho almeno 1 var libera → COINCIDENTI [(n1 ∩ n2): ∞ p.t.]
• NO sol.: se non è compatibile → ha GRADINI se term...netti → PARALLELE [(n1 ∩ n2): Ø p.t.]

DIMENSIONE: gradi di libertà della box ↔ m el della box → n var. libere = n incogn. - rango

V_o² : insieme dei vettori applicati in 0

Def di Base

INSIEMI: Gruppo di oggetti da studiare

FUNZIONI: Permettono di collegare gli insiemi

TH. DELLE CATEGORIE: Oggetti

Formato di uno sp.vett: struttura algebrica

Matrice singolare: Se tutti i pivot sono nulli

Soluzione:

• Unica: n pivot = n incognite
• ∞: se ho almeno 1 var. libera
• No sol.: se non è compatibile

DIMENSIONE: gradi di libertà della base

V₀²: insieme dei vettori applicati in 0

Rette nello spazio

t = rette passante per l'origine_w + t _n = rette passante x un pt. qualunque

Eq. parametrica di 1 retta nello spazio

Con 1 parametro descrivo una retta

Con _n =

1. α
2. β

Piano nello spazio

t _w + s _v e t _w sono rette del piano

Eq. param. di 1 piano nello spazio

Quindi costruisco il piano che passa per l'origine e per i pt. corrispondenti a _v e _w

Con 2 parametri descrivo 1 piano

Con P = Po + s

1. a1
2. a2
3. a3

1. b1
2. b2
3. b3

Somma e Diff.

Intersez. Retta Piano

consideriamo il piano: 2x + 3y - z = a

il pt: _P = (1, 2, -1)

so che il vett (2, 3, -1) è el piano: lo uso come rett

direzione a trovo

retta: _w^o = (1, 2, -1) + t (2, 3, -1)

calcolo la proiez. di _P sul piano

la proiez. è il pt. _H in cui la retta interseca il piano

faccio l'intersez. retta/piano con la retto

_w^x = (1 + 2t, 2 + 3t, -1 - t)

e sostituisco nel piano: 2x + 3y - z = a

• 2 (1 + 2t) + 3 (2 + 3t) - 1 (-1 - t) = a

= 2 + 4t + 6 + 9t + 1 + t = a

= 14t - 5 => _t = -5 / 14

Sostituendo il vett t nella parametrica trovo il pt:

(1 - 5/7, 2 - 15/14, -1 - 5/14)

Lin. Dip./Ind.

inett sono lin. ind. quando non sono proporzionali. se ho 2 vett alloratutti i coeff. sono nulli.

sono lin. dip. quando 1 può essere scritto come comb.lin. degli altri. non tutti i coeff. sono nulli.

a₁u₁ + ... + aₘvₘ = 0 ⇒ a₁ = ... = aₘ = 0

ex

Lin. Simula.

• n incognite ≤ m righe
• guarda i vettori di partenza che corrispondono alle colonne dei pivot
• Se (v₁, ..., vₖ) vett. sono ortogonali a₂a₂ a₃v₃,...,vₖ sono lin. ind.

⇒ i vett. indipendenti sono: (v₁, v₂, v₃, v₅)

dipendenti sono (v₄) ⇒ la matrice è dipendente

Lin. Dip.

• se det = 0
• guarda i vett sulla sceda che sono liberi (non sui pivot)

Lim. ind.

se sono ‖

se cosθ = ±1, θ = 0 o 

Lim. dip.

se è stessa retta ⇒ v = λw

Omogeneo

Se i term. noti sono nulli e se si chiuso risp. somma e prod. x scalare

• a_1,1x₁ + ... + a_1,mx_m = 0
• a_m,1 + ... + a_m,nx_m = 0

Omogeneo: Se b = ⁾ ₎ ⇒ me term. noti xke ho sempre soluz. non banali (no0)

m righe < m incognite

Somma Vett.

• a_i,j + b_i,j = (a_i,j + b_i,j)

Compatibile

⇒ det = 0

Se ammette 1 soluzione o se precludo Ax = b rg(A) = rg(A|b) moto completa

• m pivot = m righe
• me grad, term noti xke se no avrei rg A) ≠ rg(A|b)

Combinaz. Lineare

voglio scrivere ¹/_x come comb. lineare di a v₁ + b v₂

voglio scrivere ¹/_x come somma di un multiplo di v e un multiplo di w

completo il parallelogramma, quello che ottengo in dicer. v e w sono le componenti

Somma e Intersez.

Sia V uno sp. vett. con U₁, U₂ sottosp. vett. di V allora

U₁ ∩ U₂ e U₁ + U₂ = {u₁ + u₂ con u₁ ∈ U₁ e u₂ ∈ U₂}

una BASE di V ∩ W

e

una BASE di V + W

con V = span n₁n₂n₃

dim U₁ = 3

W = span w₁

dim U₂ = 4

un vett u appartiene all’intersez. se si può scrivere simultaneamente come

a₁ v₁ + a₂ v₂ + a₃ v₃ = b₁ w₁ + b₂ w₂ + b₃ w₃ + b₄ w₄

quindi cerco le soluz.:

cerco le comb. lin

dei 7 vett. che formano O

dim V ∩ W = 2 = dim ker =

= n colonne - n pivot = vett. lib.

dim U + W = 5 = rango

base di V + W :

base di V ∩ W :

quando solo i coeff. di V e me trovo le soluz.

se formo parte della somma

non possono essere intersec.

sono soddisfatte per:

s

t

5

t

=

-1

1

1

0

0

0

-1

1

1

1

1

1

0

1

3

-1

0

1

0

1

0

5

t

-1

-1

0

Da Eq. Parametrica a Cartesiana

Detto imporre term. noti per: a, b, c, ...,

Fare Gauss

La condiz. affinché la matrice sia compatibile sono le eq. cartesiane

es. :

Gauss Im(T) =

-1

-1

-1

2

2

0

-1

-1

0

1

SOTTOSP. VETT

Sia V un K sp. vett allora un sottoinsieme U ⊆ V non vuoto si dicesottosp. vett. se:

1) u + v ∈ U   ∀ u, v ∈ U

2) k u ∈ U   ∀ k ∈ ℜ ∀ u ∈ U

• Descrivere il sottospazio:
• Trova una Base
• Trova l'equazione

• Decidere se ne spam:

Esercizio 2. Dati i vettori di R³

v₁ = ⁽¹⁾/₁ (1 1) , v₂ = ⁽⁰⁾/₁ (1 0) , v₃ = ⁽¹⁾/₁ (1 0) ,

decidere se

v = ⁽⁶⁾/₁ (-1 6) ∈ Span{v₁, v₂, v₃}.

In caso affermativo, determinare tutte le possibili combinazioni lineari div₁, v₂, v₃ che restituiscono v.

verifico che v sia comb. lin. di v₁, v₂, v₃

a (v₁) + b (v₂) + c (v₃) =? v → verifico se è compatibile

 1  0  1  6

 1  0  0  -1

 1  0  1  6

→

 1  0  1  6

 0  1  -1  -7

 0  0  0  0

• non ha grad. sei term. noti ➔ ha soluz. unica ed è compatibile

v ∈ Span { v₁, v₂, v₃ }

Spam

è un sottospazio vett. generato ⇒ i vettori che me fanno parte sonogeneratori

(cioè se dato v₁, ..., v_n, insieme di generatori, aggiungendo un vett. v_n+1 ∈ V ottengo ancora un insieme di genertori: v₁, ..., v_n+1)

Campo

Un insieme K munito di 2 operaz : somma e prodotto

Th. COMPLETAMENTO

Sia B=(v₁, ..., v_m) una base di uno sp. vett V. Sia m≤m e siano v₁, ..., v_m vett. lin. ind. di W. Allora Ŝ m-m vett. di W che insieme formano una base di V

(ps : i vett. che monti m-m-m colonne della matrice Id e poi gross. Tutti i vett colonna lin. ind. completano la base

Base

• vett. lin. ind. e generatori

COORD. DI UN VETT. RISP. BASE

Data la base B=(v₁, ..., v_m) allora possiamo esprimere un generico vett.(v_v) come:

v^w= a₁v₁ + ... + a_mv_m il vett. delle coord. risp. alla base B è F(v)=(a₁, ..., a_m)

(EX)

dota la bas B: ^{_{( 3 3 8 0 )}}

il vett. coord. risp. w: ^{_{( 1 0 )}} e la soluz. del sist.

^{_{( 3 3 1 0 ) ( 0 4 0 0 )}}

^{_{( 1 0 3 8 )}} = ^{_{( 3 4 1 0 )}} ⟹ ^{_{( 1 4 1 2 )}} ⟹

x = -2

y = 1

GEOMETRICAMENTE

Voglio scrivere il vettore ^v = (1, a) come somma di un a₁ ^v₁ + a₂ ^v₂

Completo il poligono ed ottengo in direz. ⃗v₁ e ⃗v₂ sono le componenti

Def. geometriche

Prodotto scalare: (input 2 vettori) i⃗ : ^{_{( 3 2 )}}

⃗v ⃗w = = v₁w₁ + v₂w₂ = ||⃗v|| ||⃗w|| cos (ang. compreso)

Norma di un vett.: lung. del vettore: ^v = (x₁, ..., x_n)

La norma e:

||⃗v|| = |^v| = ( x₁ 2 ... x_n ) Pitagora ∩ r variabili

ps: ||⃗v|| = |^rℂ⃗x, ⃗x>

= ||⃗v= w⃗ || = ( x₁ 2 ... x_m )

Th. Esistenza di una Base

Ogni sp. vett. finitamente generato ammette una base

Importante

Dim. Se \( V \) uno sp. vett. finitam generato \(\Rightarrow \exists A = \{ v_1, \ldots, v_m \} \subseteq V\)

t.c. Span A = V

Start:

• Se A è lin. indip. ho finito è una Base
• Altrimenti c'è una dipendenza lineare, ipotizzo che \( v_m \) sia comb. lineare degli altri \(\Rightarrow v_m \in \text{Span} \{ v_1, \ldots, v_{m-1} \} \)

allora \( V = \text{Span} \{ v_1, \ldots, v_{m-1} \} \) perché se \( v \in V \) sicuramente \( v = a_1 v_1 + a_2 v_2 + \ldots + a_m v_m\)

\( v_m = a_1 v_1 + \ldots + a_m v_{m-1} \)

Ho tolto il vettore lin. dipendente e ho ottenuto 1 insieme lin.indipend.

Proseguo togliendo vettori finché non ottengo un insieme di vett. lin. indipend. \(\Rightarrow \) per ipotesi solo \( v_m \) è dipendente

Se arrivo a 1 solo vettore ottengo \(\{ v_1 \}\) se \( v_1 \neq 0 \, v \) indip.

\(\emptyset \) & \( v_1 = 0_V \Rightarrow V =\{ 0_V \} \) con \(\emptyset \) lin. indip. e \(\text{Span} \emptyset = \{ 0_V \}\)

Formula Gauss = Grassmann

Sia V uno sp. vett. e siano U₁, U₂ 2 suoi sottosp. vett. di dim. finitaallora:dim (U₁ + U₂) + dim (U₁ ∩ U₂) = dim U₁ + dim U₂dim (U ⊕ W) = dim U + dim W con dim U ≤ dim (U ⊕ W) ≤ ℝⁿ

Dim. (f. di Grassmann)

1. Prendo una base per U ∩ W ≤ U, W = {z₁, ..., z_ρ}
2. Completo a una base di U {z₁, ..., z_ρ, u₁, ..., u_π}di W {z₁, ..., z_ρ, w₁, ..., w_s}

quindi dim (U ∩ W) = ρdim (U) = ρ + πdim (W) = ρ + s

Allora (U + W) = {z₁, ..., z_ρ, u₁, ..., u_π, w₁, ..., w_s}

3. ma ci saranno sicuramente dei vett. dipendenti quindi vadoa verificare l'indipendenza dei vett. della base (U + W)

per essere indipendenti devo verificare che:

α₁z₁ + ... + α_ρz_ρ + β₁u₁ + ... + β_πu_π + γ₁w₁ + ... + γ_sw_s = 0

ovvero sse α, β, γ = 0

se che μ = - z - w con z ε UnW e w ε W

μ ε UnW ⇒ μ può essere scritto come:

μ = - β_zz_z + . . . + β_zp p + α_ll w₁ + . . . + δ₅w₅

quindi andando a sostituire con la ò ottengo:

- ( x₁z₁ + . . . α_zp p + α_ll w₁ + . . . δ₅w₅) + α¹ z₁ + . . . + α_p z_p + γ_l w_l + . . . + δ₅ w₅ = 0

quindi la linearò indipendenza è verificato

OPERAZ. TRA MATRICI

PRODOTTO (riga x colonna)

(x₁, x₂, x₃)     y₁ y₂ y₃ =p x₁y₁ + x₂y₂ + x₃y₃

es:

1 2 3 4  1 -1 3 0 2 2

(1.1)+(2.0)   (1.-1)+(2.2)   (1.3)+(2.2)(3.-1)+(4.2)   (3.3)+(4.1)

= 1 3 53 5 17

TRASPOSTA

inverti righe e colonne: ex: 1 0 7 1 0   A^T ⇒1 1 0 0

Somma Diretta: U ⊕ W

Se U, W ≤ V e U ∩ W = {0} allora la somma diretta è U ⊕ W con dim U + dim W = dim (U + W)

Dim (Somma diretta)

Proposizione: Se U ⊕ W sono in somma diretta allora ogni vett si può scrivere in maniera unica come somma di un vett U e un vett di W → Suppongo u, u' ∈ U e w, w' ∈ W allora u + w = u' + w' → u = u' (maniera unica)_e w = w'

Dimostrazione: presi U, W allora ogni vett della somma U + W sarà: u + w. Essendo da dimostrare in modo unico, suppongo: u + w = u' + w' cioè u - u' = w' - w = 0 ⇒ u = u'_{∈ U} e w = w'_{∈ W}

in ℜ²:

in ℜ³

Matrici Simili

e matrici quadrate m × m, B e C si dicono simili se: esiste

una matrice invertibile :

C = M^-1BM

Piani Nello Spazio

2 matrici rispettano lo stesso autovettore rispetto a base + sse sono simili

eq. Cartesiana: ax + by + cz = 0

Sto cercando tutti i vettori (x, y, z) dello spazio che sono i dei

vettori (a, b, c) dato

con (a, b, c) ≠ 0, 0, 0

→ ha almeno 1 compone≠ 0

eq. parametrica:

ex: t (2, 3, 4) + s (-1, 3, 2)

=(2t - s, 3t + 3s, 4t + 2s)

con 1 parametro descrivo 1 retta con 2 un piano

Se i piani non passano x l'origine :

eq. cart:

ax + by + cz + d= 0

→ = 0 se passa per origine

eq. param:

ũ + t&vtilde; + sũ

2 eq. generano il piano

Proiez. Parallela

Supponendo U ⊕ W allora ogni vettore si può scrivere in maniera unica come u + w.

La proiez. ∥ è l'endomorfismo di V = p; ∀ V ∈ V

v ↦ u ∈ U

c.a. v = u + w ⇒ v - u ∈ W

cioè p(v) è l'unico vettore di U t.c. v - p(v) ∈ W

Ker p = W

Im p = U

• p = proiez. su U // W
• q = proiez. su W // U
• p + q = id

Geometricamente:

1. Prendo un pt. P₀ ∈ Π con Π₀ eq. di piano // Π e passante per O.
2. Scelgo una base {s, t} di Π₀.

Allora un pt P ∈ ³ appartiene al piano Π sse

OP⃗ = OP₀⃗ + s + t