Formulario di Algebra - Esercizi

SOMMA VETTORIALE

_x ⃗ + ȳ⃗ = ( x₁ + y₁, x₂ + y₂, ..., x_m + y_m )

PRODOTTO PER UNO SCALARE

λ_x = ( λx₁, λx₂, ..., λx_m )

PRODOTTO SCALARE

_x ⃗ · ȳ⃗ = < x, y > = x₁y₁ + x₂y₂ + ... x_my_m

_x ⃗· _x ⃗= || _x ⃗||² ||ȳ⃗||cosθ (cos(angolo compreso))

<x, ȳ> = 0 = > vettori ⊥

NORMA DI UN VETTORE (lunghezza)

|| _x ⃗|| = | _x ⃗| = √x₁² + x₂² + ... + x_m²

|| (a,b) || = √a² + b²

|| _x ⃗ - ȳ⃗||² = || _x ⃗||² + 2 _x ⃗·ȳ⃗ + ||ȳ⃗||²

|| _x ⃗ + ȳ⃗||² = || _x ⃗||² - 2 _x ⃗·ȳ⃗ + ||ȳ⃗||²

DISTANZA TRA DUE VETTORI

dist ( x₁ , ȳ_i ) = || _x ⃗- ȳ⃗|| = √(x₁ - y₁)² + ... +(x_n- y_n)²

COORDINATE POLARI E CARTE SIANE

x = ρcosθ y = ρsinθ

ρ = √x²+y² tanθ = y/x

DISUGUAGLIANZA DI CAUCHY - SCHWARTZ

| _x ⃗, ȳ⃗| ≤ || _x ⃗|| ||ȳ⃗||

EQUAZIONE DELLA RETTA CARTESIANA E PARAMETRICA

y = mx + m m = coeff angolare

r₁/r₂ = m₁ = m₂ k_r+I_r(9) = m₂ = 1/m₁

(a,b) ⊥ (c,d) m = d/C

cartesiane <> parametrica : P + t((O-P]

parametrica <> cartesiane :

1. a _a+cI 2. ricavi t da una delle due

3. sostituisci nell'altra

ax - by = 0 ( a,b )∈ d della retta

parametrizzazione: (a,b)±t(b,-a) oppure

(O,O)±t(b,-a)

ANGOLO TRA DUE RETTE

(a,b)=( c,d )

⟂ ( s=gl ) ± (g,a)}

cosθ = < (c,d), (g,h)>

|| (c,d)|| || (g,h) ||

PIVOT

primo elemento non nullo dopo gli zeri iniziali

MUTUA POSIZIONE DI DUE RETTE NEL PIANO

• entrambe in cartesiane → faccio il sistema
• entrambe in parametrica → riscrivo una con parametro diverso, trovo t ed s, e poi sostituisco nel parametri che due forme diverse → sostituisco le parametriche nelle cartesiane, trovo t e lo sostituiscono nelle parametriche

RETTE II IN PARAMETRICA le due direzioni sono l'una multiplo dell'altra

MUTUA POSIZIONE DI DUE RETTE NELLO SPAZIO

• entrambe in cartesiane → faccio il sistema

PIANI NELLO SPAZIO

ax + by + cz +d = 0 (a,b,c) ⊥ al piano

⬝ di vettore goverano il piano

cartesiana → parametric

parametrica → cartesiana: vettore ortogonale

( x,y,z) → (u,v,w)

(u₁, u₂, u₃) (v₁, v₂, v₃)(w₁, w₂, w₃)

MUTUA POSIZIONE DI DUE PIANI

• lavoro sempre in cartesiana e faccio il sistema

SOMMA DI DUE MATRICI

(A,B)_1,1 = A_ij + B_ij ← stesse dimensioni

PRODOTTO MATRICE - NUMERO

(λA)_ijer = λA_ij

MATRICE TRASPOSTA

(A^T)_i,j = A_ij

PRODOTTO DI MATRICI

(AB)_i,j = ∑_k=1^m A_ik%(B)_kj

∈ { , . .. , }

SOMMA VETTORIALE

_x + _y = (x₁ + y₁, x₂ + y₂, ..., x_m + y_m)

PRODOTTO PER UNO SCALARE

λ_x = (λx₁, λx₂, ..., λx_m)

PRODOTTO SCALARE

_x∙_y = = x₁y₁ + x₂y₂ + ... + x_my_m

|_x∙_y| = |_x| |_y| cos θ (angolo compreso)

_x∙_x = 0 → vettore 0

NORMA DI UN VETTORE (lunghezza)

|_x| = |_x| = √x₁² + x₂² + ... + x_m²

||_a,_b|| = √a² + b²

|_x±_y|² = |_x|² + 2∙_x∙_y + |_y|²

|_x-_y|² = |_x|² - 2∙_x∙_y + |_y|²