Formulario di Algebra - Esercizi

Somma vettoriale

\(\vec{x} + \vec{y} = (x_1+y_1, x_2+y_2, \ldots , x_m+y_m)\)

Prodotto per uno scalare

\(\lambda \vec{x} = (\lambda x_1, \lambda x_2, \ldots, \lambda x_m)\)

Prodotto scalare

\(\vec{x} \cdot \vec{y} = x_1y_1 + x_2y_2 + \cdots + x_m y_m\)

\(\cos \theta = \frac{\vec{x} \cdot \vec{y}}{||\vec{x}|| \cdot ||\vec{y}||} \quad (\)con \(\theta\) compreso\))

\(\vec{0} \) vettoriali

Norma di un vettore (Lunghezza)

\(||x|| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + \cdots + x_m^2}\)

\(||(a, b)|| = \sqrt{a^2 + b^2}\)

\(||\vec{x} - \vec{y}||^2 = ||\vec{x}||^2 - 2 \cdot \vec{x} \cdot \vec{y} + ||\vec{y}||^2\)

\(||\vec{x} + \vec{y}||^2 = ||\vec{x}||^2 + 2 \cdot \vec{x} \cdot \vec{y} + ||\vec{y}||^2\)

Distanza tra due vettori

\(\text{dist} (\vec{x}, \vec{y}) = ||\vec{x} - \vec{y}|| = \sqrt{(x_1 - y_1)^2 + \cdots + (x_m - y_m)^2}\)

Coordinate polari e cartesiane

\(x = r \cos \theta \qquad y = r \sin \theta\)

\(r = \sqrt{x^2 + y^2} \quad \tan \theta = \frac{y}{x}\)

Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz

\(|\vec{x} \cdot \vec{y}| \le ||\vec{x}|| \cdot ||\vec{y}||\)

Equazione della retta cartesiana e parametrica

\(y = mx + m \quad m = \) coeff angolare

\(\frac{r_1}{r_2} = m_1 = m_2 \quad \frac{r_1}{r_2} \Leftrightarrow m_1 = m_2 = \frac{- 1}{m_1}\)

Angolo tra due rette

\((a, b) \cdot (c, d)\)

\(\frac{p_2 - p_1}{r_1 \cdot q_1}\)

\(\cos \theta = \frac{c \cdot d}{\sqrt{(c, d)} \cdot ||q, r, t||}\)

\(||c, (c, d)|| = ||(q, r)||\)

Pivot

Primo elemento non nullo dopo gli zeri iniziali

Mutua posizione di due rette nel piano

• Entrambe in cartesiana → faccio il sistema
• Una retta in cartesiana e l’altra in parametrica → una con parametro diverso, trovo t ed s, e poi sostituisco nel parametriche due forme diverse → sostitusco nella parametrica e cartesiana
• Provo t e lo sostituisco nella parametrica

Rette in parametrica

Le due direzioni sono:Una è un multiplo dell’altra

Mutua posizione di due rette nello spazio

• Entrambe in cartesiana → faccio il sistema

Piani nello spazio

ax+by+cz+l+d=0

(a, b, c) ⊥ al piano

\(\hat{u} \times \hat{v} = (0w, 0b, 0c)\)

Direzioni che governano il piano

Cartesiana → parametrica: \(P + t(Q - P) + r(R - P)\)

Parametro → cartesiana: Vettore ortogonale

\(\begin{vmatrix} x & y & z \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}\)

\(\begin{vmatrix} w_1u_3 - u_3v_3 \\ u_1v_2 - u_3v_3 \\ u_1v_2, v_1v_3, v_3v_1v_2 - v_1u_2, v_2w_3 \end{vmatrix}\)

Mutua posizione di due piani

• Lavoro sempre in cartesiana e faccio il sistema

Somma di due matrici

(A + B)\(a_{ij}\), \[B_{ij} = A_{ij} + B_{ij}\] stesse dimensioni

Prodotto matrice-numero

(A) a_{ij} = A_{ij}

Matrice trasposta

(A^t) a_{ij} = A_{ji}

Prodotto di matrici

(AB) a_{i,j} = \sum_{k=1}^m A_{i,k} B_{k,j} \quad i \epsilon \{1, \ldots , m\}

j \epsilon \{1, \ldots , k\}

Equazione retta passante per 1 punto e 1 ad un piano

ax + by + cz + d = 0

P(x₀, y₀, z₀)

r: P t ∈ (a, b, c)

Proiezione di un punto su un piano

P ort P (a, b, c) ⟂ caratterizzati con il piano

Distanza punto retta nel piano

|ax₀ + by₀ + c₁|

√a² + b²

Distanza punto piano nello spazio

|ax₀ + by₀ + cz₀ + c₂|

√a² + b² + c²

Distanza punto retta nello spazio

• poni O - retta in parametrica
• calculo OP e lo scompongo nella direzione della retta e
• racc e lo sostituisco nella parametrica e trovo H

|P H|

Eq piano passante per un punto e contenente retta

• trovo due punti sulla retta
• eq piano passante per A, B, P

Campo

insieme su cui sono definite somma e moltiplicazione

Spazio Vettoriale

insieme su cui sono definite somma e prodotti per scalare

Sottospazio

w₁u₁, w₂u₂ ∈ W

w₁u₁ + w₂u₂ ∈ W

Combinazione Lineare

c₁v₁ + c_nv_n

c₁, ..., c_n ∈ K

Span

insieme di tutte in combinazione lineari proprie sottospazio generato

span(v₁, ..., v_n)

Generatore

(v₁, ..., v_m) = generatori di V

se: ∀ v ∈ V può scrivere come comb. lineare di v₁ ... v_m

Dimensione di un sottospazio

Se u₁ W ∈ Rⁿ V {t, u₁, ..., u_m} ⊥ A : = (v₁

dim U = rk(A)

Dipendenza/Indipendenza Lineare

• indipendenti: c₁v₁ + c_mv_m = 0 ⇒ c₁ = c_m = 0
• dipendenti: almeno 1 coeff. ≠ 0

Base di uno spazio vettoriale

(v₁, ..., v_m) base di V (v _{⟹ sono generatori}

⊕ sono liu. indip

Teo proprietà delle basi

Sia v₁,...,v_n una base di Ogni vettore w ∈ V si scrive in modo unico come comb. liu. di v₁...,v_m

• v₁,...,v_m generatori ottengo una base eliminando qualcosa
• v₁,...,v_m liu. indip ottenpo una base aggiungendo qualche elemento
• 2 due basi hanno lo stesso numero di elementi
• d un V ⊂ M: un insieme di m generatori è una base
• d un V ⊂ M: un insieme di m liu. indip è una base

Teo esistenza della base

Se esiste un insieme finito di generatori, esiste una base

Somma di sottospazi

V + W ={r + w: x ∈ V, r ∈ V, w ∈ W}

V ∩ W = V ∪ W = {0}

Formula di Grassmann

dim (V + W) + dim(V ∪ W) = dim V + dim W

Calcolo base e dimensione sottospazio

pag 90-95 Gabbino

Teo di struttura delle app. lineare

V e W ap vett, f:V., u₁, ..., u_m base di V, v₁, w_m vetorita di W

esiste unica f: V → W l.c. β (v_i) = w_i

Matrice associata ad un’applicazione lin.

[α_UV]

[α_U]

Matrice di cambio di base

{v₉, v₂, u₃} ⊃ {e₁, e₂}

{σ(u₃) = [α, β, θ] = (σ(e₁) + γ(e₂))

{σ(u₂) = (c, d) = γ(e₂) + w(e₂)

{σ(u₁) = (g, g) = t(e₁ + ρ(e₂)

\[\begin{pmatrix} x & y \\ z & t \end{pmatrix}\] − e₄

{v₅, w₉} ⊂ e₂

Diagonalizzare una matrice

Det = prodotto degli autovalori

Trovare gli autovaloriper trovare N l'asseg. degli autovetori di Ae le sue colonnepoi vario con DM = A*DM

Rango di una trasformazione lineare

Sia A: V → W una matrice a_(mxk) (R).

rk = dim Im (A)

Surgettività e iniettività

f: V → W è:

• surgettiva se dim V ≤ dim W
• iniettiva se dim V ≥ dim W

Operazioni con i complessi

somma: z₁ + z₂ = (a₁ + a₂) + i(b₁ + b₂)

prodotto: z₁z₂ = (a₁a₂ - b₁b₂) + i(a₁b₂ + a₂b₁)

modulo: | z | = √(a² + b²)

coniugato: z̄ = a + ib = z - iaz̄

zⁿ ≃ ...

rapporto: ^z̄₁/_z̄2 = ^z̄₁/_z̄2

e^z = e^a ⋅ (cos(b) + i sin(b))

Ricerca elemento nell'inversa

(A^-1)_ij = ¹/_det(A) ⋅ (-1)^i+j ⋅ det (A_ji)

Proiezione ortogonale su sottospazio

1. individuare una base del sottospazio
2. ortogonalizzarla e renderla ortonorm.
3. applicare: P(v) = , ..., u_k dove v₁,...,v_k sono i vettori della base

Spazio ortogonale

dim S^⊥ = dim V - dim S

Proiezione di vettore su vettore

proiezione di v₂ su v₁P_(v1,v2) (v₂) = ^u,v₁>2

Omotetia

Fissato un punto O nel piano e un numero reale k ≠ 0, l'omotetia è la trasformazione geometrica cheda un punto P fa corrispondere il punto P' t.c. P'appartiene alla retta OP e OP' = kOP.da ognuna delle deezioni un'omotetia di centrol'origine O degli assi con:

x' = kxy' = ky

mentre se abbiamo un centro generico (x₀, y₀):

x' = kx + x₀(1-k)

y' = ky + y₀(1-k)

casi di omotetia: k > 0 → omotetia direttak < 0 → omotetia inversak = 1 → identitàk = -1 → simmetria centrale

Proposizione

Siano U₁ e U₂ sottospazi di V, allora

dim_R (U₁ + U₂) = dim_RU₁ + dim_RU₂ - dim_R (U₁ ∩ U₂)