Teoria Algebra

Sottospazio vettoriale

V è un sottospazio vettoriale di Rⁿ se e solo se si verificano le seguenti proprietà:

• Siano V₁, V₂ vettori di V, la loro somma deve rimanere in V
• Sia d ∈ K, dV ∈ V, la moltiplicazione per uno scalare deve rimanere in V
• V deve contenere il vettore nullo

Ad esempio, x + y ± ≤ 1 non è un sottospazio vettoriale, potrebbe essere un sottospazio affine.

Trovare una base

V = {(x,y,z) ∈ R³ | x + y = z = 0} → z = x + y

Pongo x = a e y = b quindi z = a + b = {a(1,0,1) + b(0,1,1)}

Base = {(1,0,1), (0,1,1)}, dim = 2

Da sistema di generatori a forma cartesiana

Metto in una matrice la base incompleta e aggiungo il generico vettore x, y, z:

(1 0 x 0 1 y 1 1 z)

Questa è la matrice completa A

x (1 0 0 1 1 1)

Questa è la matrice incompleta A

Pongo che r_K(Ax) = r_K(A)

Riduco la completa con Gauss:

(1 0 x 0 1 y 0 1 z = x) → (1 0 x 0 1 y 0 0 z = x - y)

Estraggo l'ultima colonna e ottengo:

(1 0 0 1 0 1) r_K = 2

La matrice Ax ridotta ha lo stesso rango della matrice A (numero di colonne linearmente indipendenti), perciò si può dire pure l'ultima riga = 0 di Ax: z = x - y = 0 cioè xy - z = 0

Ecco la forma cartesiana

V = {(x,y,z) ∈ R³ | x + y - z = 0}

Sottospazio vettoriale

V è un sottospazio vettoriale di Rⁿ se e solo se si verificano le seguenti proprietà:

• Siano V₁, V₂ vettori di V, la loro somma deve rimanere in V ∀ V₁, V₂ ⊆ V
• Sia λ ∈ ℝ, ∀ V ∈ V, la moltiplicazione per uno scalare deve rimanere in V
• V deve contenere il vettore nullo. Ad esempio x + y - 1,2 = 1 non è un sottospazio vettoriale poiché esso è un sottospazio affine

Trovare una base

V = { (x,y,z) ∈ ℝ³ | x + y - z = 0 } ⇒ z = x + y