Teoria Algebra

SOTTOSPAZIO VETTORIALE

V è un sottospazio vettoriale di Rⁿ se e solo se si verificano le seguenti proprietà:

1. Siano V₁, V₂ vettori di V, la loro somma deve rimanere in V
2. ∀ α∈R, ∀ v∈V, la moltiplicazione di un scalare deve rimanere in V
3. V deve contenere il vettore nullo. Ad esempio X+Y+Z=1 non è un sottospazio vettoriale, potrebbe essere un sottospazio affine

TROVARE UNA BASE

V = { (X,Y,Z) ∈ R³ | X+Y=0 } => Z = X = -Y

pongo X = α, Y = -α => (b_α non moltiplica nulla)

Z = α+b => (a,b) α(1,0,1) + b(0,1,1)

BASE = { (1,0,1), (0,1,1) } dim=2 siccome V e sono lin pensando

coordiantes dipersed da dim 2 altri

DA SISTEMA N GENERATORI A FORMA CARTESIANA

Metto in un ulteriore le loro incastiche, e aggancio il genersic vetton X,Y,Z

• 1 0 X 0 1 Y 1 1 Z

Questa è la matrice completa A_x

• 1 0 1 0 1 1

Questa è la matrice incompleta A

Pongo che rk(A_x) = rk(A)

RIDUCO LA COMPLETA CON GAUSS

Tracamo l'ultima colonna e ottreg

• 1 0 0 0 1 0 0 0 0rk=2

La matrice A_x ridotta ha lo stesso rango della matrice A (numero di colonne binom) verific cio sa vero alora pone l'ultima riga = 0 di: A_x

Z-X-Y=0 ⇒ X+Y-Z=0

ECCO LA FORMA CARTESIANA

V = { (X,Y,Z) ∈ R³ | X+Y-Z=0 }

TEOREMA DI ROUCHÉ-CAPELLI

Rappresentando le matrici implicita e completa di primo, se rk(A) = rk(Ax') (ridotta)allora il sistema di l.e.m. ammette almeno una pari soluzione.

Se rk(A) ≠ rk(Ax') il sistema è impossibile, non ammette soluzioni.

Più particolari con n numero di incognite:

• Se rk(A) = rk(Ax') = n il sistema ha una soluzione.
• rk(A) = rk(Ax') ≠ n il sistema ha infinite soluzioni che dipendono da n-rk(A).

RANGO DI UNA MATRICE

rk(A) il rango di una matrice A è il n di righe o colonne lin. indipe., oppore ilnumero di pivot delle righe non nulla di una matrice ridotta.

• 2 pivot (2 gradini) rk = 2
• 4 pivot (4 gradini) rk = 4

APPLICAZIONI LINEARI

Siano e spazi vettoriali, diciamo che

: ↦

è un'applicazione lineare se:

1. ( ⋅ ) = ⋅ () ∀ ∈ , ∈ ℝ
2. (₁ + ₂) = (₁) + (₂) ∀ ₁, ₂ ∈

es : ℝ² ↦ ℝ²

Nota molto bene che non è lineare ma un contro, questo mi dà già l'idea che non siaun'applicazione lineare.

(,) = (², + )

(, ) = (, ) = (²², + ) ≠(, ) = (, ) = (², + 1)= 2(², + 1) ≠ non lineare

(₁ + ₂) = (₁ + ₂, ₁ + ₂)

(₂) = (₂, ₂ + ₂)

(₁, ₂) = (₁² + ₂², ₄ + , ₄ + ) √

ELIMINAZIONE GAUSSINA PER IL DETERMINANTE

A = ^{2 1 02 -1 -3}_{3 5 4} =>^{1 2 00 -3 -1}_{0 4} =>^{1 2 00 3 -1}_{0 13/3}

Il det è uguale al prodotto dei valori della diagonaledet = (1)(-3)(1/3)-13

In questo metodo non posso moltiplicare e dividere una riga per non sballare moltiplicare e dividere una riga per non sballare. Sommare e sottrarre COMBINAZIONI DI RIGHE. Se lo faccio devo moltiplicare o dividere per il numero di volte che ho multipclicato o diviso.Si faccio II riga/-3Allora il det sarà det(A) x (-3)

det(A) = 13/3 da quello trovato sopradet(A) x (-3) = -13 ora è giusto

Ora analizziamo le proprietàdet(A) = 0 matrice non invertibiledet(AB) = det(A) x det(B)det(A^-1) = 1/det(A)det(A) ≠ 0 matrice invertibiledet(A^T) = det(A) le trasposte ha lo stesso det di quella normaledet(aA) = det(A) : aⁿ n = ordini matrici (2x2), (3x3) etcdet(A) = det(B) matrice simili

RANGO DI UNA MATRICE

nK(A) = dim nIl rango corrisponde al numero di pivot non nulli nella matrice ridotta gaussiana,oppure al numero di colonne liberi indip

CALCOLO DEL RANGO (REGOLE DEI MINORI)

Prendo una sottomatrice e faccio il determinante, il mio scopoè trovare uno determinante ≠ 0^{1 -1}_{2 3} det = 3-2 = 5Esamino almeno una sottomatrice det ≠ 0, il rango sarà 2

VERIFICO RISPETTO ALLA SECONDA COMPONENTE

F((x₁, x₂, x₃), (y₁, y₂)) = α(y₁, αy₂) + (βy₁, βy₂))

= x₁((αy₁, αy₂)(βy₁, βy₂)) + x₂(((αy₁, αy₂), (βy₁, βy₂)) + α₂((y₁, αy₂)

= x₁(α((y₁, αy₂) + @ (βy₁, βy₂) + α(βy₁, βy₂))

= α((y₁α)) = y₁αl₂) + x₂((y₂, βy₂) + (α.β

LINEARE RISPETTO ALLA SECONDA COMPONENTE

F((x₁, x₂), (y₁, y₂)) = x₁y₁ + 2x₁y₂ - 3x₂y₁ + x₂y₂

A = (1, 0, 0, 0, 1)

C = F(e₁, x₂) = 1.1 = 2, F(e₂, e₁) = 1e²y₂y₁ = 1

RISPOSTO ALLA BASE CANONICA

C = {e_i, e_j} = {1, 0, 1, 0, 1}

q₁₁ = F((e₁, e₁) = 1.1 + 2.2 + 3.0 + 1.0 + 0.0 = 1

q₁₂ = F((e₁, e₂) = 0 + 0 = 2

q₂₂ = F((e₂, e₁) = 0.3

q₃₃ = 1 F(e₂) = -3

B = {v₁, v₂, v₃} = {1, 2}, {3, -1}

CAMBIO RISPETTO ALLA BASE

q_v1v1 = F((v₁, v₁) = 3, 1, 2, 1, 1, 2 = 3

q_v1v2 = F((v₁, v₂) = 3(3) 2(3)(1), 3(2)(1) + 1(1) + = 2 = 3

q_v2v1 = F((v₁, v₂) = 3(3)(1) + 2(3)(1) + 2(1)(1) = 2 = 16

q_v2v2 = (1, 3)(2)

Seque la forma quadratica che non è standard

CAMBIANDO DI BASE FORMA QUADRATICA

RISPETTO A B = {(1, 1), (0, 2)}

F = (3 - 4)

POSIZIONE FRA DUE RETTE NELLO SPAZIO

Due rette nello spazio possono essere complanari, sghembe

Inoltre due rette sullo stesso piano (complanari) possono essere incidenti, parallele e coincidenti.

Se due rette recidono nella stessa direzione sono OBBLIGATORIAMENTE sullo stesso piano

POSIZIONE DI DUE RETTE NELLO SPAZIO (PRIMA VISIONE)

1. 3x-2=0 e2. y-4=0

x=7+3ty=2tz=3-t

VETTORE DIREZIONE b₂ = n_{×b1 /alt | 3 0 k= I 0 1 0con componenti (l,m,n) = (1,0,3)}

Invece per s lo trovo subito => V₃=3+j+k(l,m,n) = (3,2,-1)

Ora mi serve un generic punto di e y

3x-2=0 => 3x=12 20y-4=0 => y=4

Per s è semplice, basta dare a t un valore che vogliamo

t=0 P₃ = (1,0,3)

ORA SCRIVO LA MATRICE

A= (x₂-x₃ y₂-y₃ z₂-z₃)l 1 ml' 1 m'=( 7 4 0 -1 3 0 0 3 6 4 -2 3 2 -1) = ( 1 0 3) =( 3 2 1) deve trovare al det 3x: l=0 sono comp. pericoloso se è diverso da 0 sono sghambe

In questo caso sono comp. pericoloso.Scriviamo la matrice solo dei valori di traslazioneA'=[ 1 0 3 ] [ 3 2 -1 ]

rango=2 come la matrice A, le rette sono incidenti in un punto