Appunti Algebra lineare

 MATRICI E OPERAZIONI TRA MATRICI

1. NUMERO SOLUZIONI

Problema. Considera 3 matrici, A,B,C le cui dimensioni sono tali da poter calcolare i

prodotti AB,BC,CA il numero di colonne della matrice B.

Fare domande tra: righe AB;BC;CA

Ragionamento: A= u x n B= n x z C= z x u AB= u x z BC= n x u CA= z x n quindi

chiedo le righe di CA=4 allora B ha 4 colonne

2. COLLEZIONE 1 (9 esercizi)

a. Date immagini 2x3

(3 8 – 8)(matrice 3x2)=(72 – 22) Fai così per tutte e 3 e risolvi

b. Date immagini 3x3

Stessa cosa di sopra ma con A matrice 3x3

c. Date immagini 2x2

Stessa cosa ma con A=2x2

d. Date immagini 3x2

Stessa cosa con A=3x2

e. Colonne e righe 2x3

Risolvo: as=x at=-272 au=-80

bs=-48 bt=y bu=-40 Faccio delle prove e sostituisco

f. Colonne e righe 3x3 I

Uguale a sopra

g. Date potenze 3x3

A^5 = A^3 * A^2 sostituisco a A^3 una matrice 3x3 e trovo A^3

Poi dico che A^3=A^2*A e risolvendo trovo A

h. Colonne e righe 3x3 II

Uguale a prima

i. Dati prodotti 3x3

Scrivo B*AB al posto di AB metto la matrice data e al posto di A una matrice 3x3, così trovo

B che poi sostituirò in AB così da trovare anche A (il testo chiede sia A che B)

3. COLLEZIONE 2 (8 esercizi)

a. Determinante e traccia 2x2

Det(A)=-4*(-20)-(-7*-12)

Traccia(A)=-4-20

b. Esempio matrice 2x2 Tra

ccia(A)=a+d=16 es.8+8=16

Det(A)=a*d-(b*c)=7 es. 8*8-(3*19)=7

c. Equazioni 2x2

soluzione: e=-1*a-1 ; f=-1*b g=-1*c h=-1*d-1

Scrivo l’equazione in un’altra forma:

 

-3A^2-3A=3I (A^-1)(-3A^2-3A)=3I(A^-1) A^-1*A=I

-A –I = A^-1

Sostituisco ad A una matrice 2x2 e a I a matrice identità, così trovo e,f,g,h.

d. Moltiplicazione diagonale 2x2

Si o no??? matrice diagonale vuol dire avere solo la diagonale principale, quindi solo

a,d, faccio i calcoli : in questo caso esiste

D= a 0

0 d

e. Determinante e traccia 3x3

Traccia(A)=4+8-3=9

Det(A)=bisogna aggiungere le prime due colonne e fare i conti

f. Determinante e rango

Deve essere minore delle righe/colonne quindi <8

g. Divisione destra 2x2

Risoluzione normale

h. Divisione a sinistra 2x2

Risoluzione normale

4. COLLEZIONE 3 (9 esercizi)

a. Matrice parametrica 3x3



Traccia(A)=-7-4+s=-13 s=-2

b. Matrice inversa

Ci metto di fianco la matrice identità, risolvo con gauss e trovo l’inversa.

c. Inversa 4x4

Calcolare come quella sopra

d. Formula per i coefficienti 2x2 Il primo numero va sostituito alla i, il

8-5-10+4+6-7 8-10-40+4+12-7 secondo alla j e si risolve

32-10-10+8+6-7 32-20-40+8+12-7

c11 c12

c21 C22

e. Rango minimo A^2



12-10=2 10-2=8 la risposta è

f. Dimensioni e moltiplicazione

A= 3 x 4 di conseguenza B avrà 4 righe e le colonne di AB cioè 5

g. Matrice parametrica 2x

Ad A sostituisco la matrice data, mentre a I la matrice identità 2x2

i. Formula coefficienti 3x3

c11 c12 c13

c21 c22 c23

c31 c32 c33

Il primo valore è la i, il secondo la j, sostituisco e risolvo

h. Formula per coefficienti 3x3 II

a+b+c A+2b+c A+3b+c

A+2b+c 2a+2b+c 2a+3b+c

3a+b+c 3a+2b+c 3a+3b+c

Sostituisco c11,c21,c31.......

Risolvo per a+b+c=-15 a+2b+c=-18 2a+b+c=-24

Trovo che a=-9 b=-3 c=-3 allora scrivo che f(i,j)= -9i –3j -3

5. COLLEZIONE 4 (9 esercizi)

a. Pseduo inversa 3x3

Sostituisco ad A una matrice 3x3 e risolvo il sistema, dalla matrice ricavata calcolo

l’inversa

b. Operazioni tra matrici

AB no -->poiché A=4x3 e B=4x4 non ha senso

BA si --> poichè B=4x4 e A=4x3

A+B no --> dimensioni diverse

A^2 no --> non è quadrata

B^2 si --> è quadrata

c. Moltiplicazione parziale 4x4

2 riga e 4 colonna, sono le uniche in cui ho tutti i valori---> c24

Quanto vale? 2*-4 –5*6 +4*6 +3*-7=-35

d. Pseduo inversa 2x2

Opero come la 3x3

e. Moltiplicazione di 3

ABC??? BAC???ACB???

Risposta: ABC poiché AB=11x7 BC=11x12 questa sarà la dimensione finale

f. Moltiplicazione parziale 5x5

Come prima

g. Pseudo inversa 2x2 II (uguale a prima)

h. Moltiplicazione 2x2

Prodotto classico, a=-11-26=-37 ecc.....

i. Moltiplicazione parziale 3x3

Uguale a prima

6. COLLEZIONE 5 ANCORA DA FARE

7. QUIZ SULLE MATRICI (3 esercizi) ---> vedi vari tipi

a. Invertibilità triangolare

b. ABC 2 righe e 6 colonne poichè

A=2x2 allora B=2x? e

C=6x3 quindi B deve avere

per forza 6 colonne

c. Dimensione di ab d deve essere uguale

ad a, BA avrà

dimesnine cxb

8. ESERCIZI SUI DETERMINANTI (4 esercizi)

a. Esempio 2x2 III è sufficiente fare delle prove

es. a=2 d=2 b=75 c=5

rispettano tutte le condizioni

b. Gauss 3x3

Bisogna operare al contrario rispetto al solito:

R’2=-2R2+17R3 ---> R2=-1/2R’2 + 17/2 R3

R’2=-1/12R2 ---> R2=-12R’2 e trovo che il

R’1=-1R3 – 2R1 ---> R1=-½ R3 –½ R’1

determinante è 360

-3 3 5/2 Scambio le colonne

86 18 0 Facendo questi step trovo la seguente matrice

8 0 0

c. Somma di righe

Risposta=48 proviamo a ragionare con una matrice più piccola:

a b c

d e f considero la riga come la riga

g h i 7 e la riga 1 come la riga 2;

applico le operazioni date dal

tes -e -f) + (15a+15b+15c)

Trovo che la riga 2= -d+15a -e+15b -f+15c

Per una proprietà posso separare

-det(matrice normale abc def ghi) + 15 det(abc abc ghi)

-(-48) + 0=48 0 poichè ha due righe uguali

d. Prodotto e inversa 2x2

Det(B)=120 det(B^-1)=1/det(B)

1/120 * det(A) = -3/20 ----> det(A)=-18

!!!!! Come fare il determinante di una matrice 4x4 o più

4 7 8 9

2 2 3 3

4 5 6 7

8 9 4 5

fatto ciò moltiplico

a*e*h*j e lo trovo

La trasformo come segue:

a b c d

0 e f g

0 0 h i

0 0 0 j

9. QUIZ SUI DETERMINANTI (5 esercizi)

a. Operazioni algebriche

solo la prima è vera poichè:

la seconda dovrebbe essere

x, e la terza 3^5*det(a)

b. Determinante 2x2