Appunti Algebra lineare

Definizione di un sistema vettoriale finito

Un sistema vettoriale finito è definito come un insieme di generatori indipendenti linearmente. Sono generatori indipendenti se nessuno di essi può essere espresso come combinazione lineare degli altri.

Corollario: Supponiamo che un sistema vettoriale finito abbia n generatori indipendenti. Allora la sua dimensione è data da n.

Consideriamo un sistema vettoriale finito V, con generatori wa, wa, ..., wa. Vogliamo verificare se questi generatori sono una base per V.

Nel caso in cui la risposta sia negativa, non esiste una base per V che contiene wa, wa, ..., wa.

È possibile verificare se i generatori wa, wa, ..., wa sono una base per V calcolando la dimensione del sottospazio generato da questi generatori.

Quindi, per verificare se i generatori wa, wa, ..., wa sono una base per V, calcoliamo:

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Un'equazione può essere definita da un insieme di numeri reali R ed è associata a un insieme di soluzioni C che soddisfano l'equazione. Analogamente, un sistema di equazioni lineari simultanee è definito da un insieme di equazioni E che sono soddisfatte da un insieme di soluzioni C.

Le soluzioni di un sistema di equazioni possono essere classificate in base alla loro cardinalità:

1. Non ci sono soluzioni uniche
2. Esiste una soluzione unica
3. Esistono soluzioni infinite

La notazione matriciale delle equazioni lineari del sistema è:

Ax = b

Dove:

• A è una matrice quadrata invertibile
• x è il vettore delle incognite
• b è il vettore dei termini noti

Se A è invertibile, cioè A^-1 esiste, allora la soluzione del sistema è sempre unica. Se A non è invertibile, allora il sistema può avere soluzioni infinite o nessuna soluzione.