Appunti Algebra lineare

A. ⑤

ÉPÉE ☒ È

LINEE

INSIEMI

Collezione di oggetti per cui sia definito un criterio di appartenenza non ambiguo

}

} {

{

* a

A * o

I # o = ☐

☐ ☐

= , ,

,

,

,

,

◦

☐ elementi

no

insiemi

I J allora

Se sono :

e ripetuti

, {

}

{

{ }

}

UJ 0,1

#

0,1

I #

1

• 1

= ☐

= u ☐ ☐

☐ , , ,

, ,

, ,

{ }

J

In 1

• = }

{ #

J

I

• = ☐

- ,

Il gruppo è un insieme con un’operazione che deve soddisfare 4 proprietà:

chiusura dell’operazione, associatività, esistenza dell’elemento neutro ed esistenza

degli inversi (opposti) di ogni elemento.

PRODOTTO CARTESIANO { }

Def insiemi

due

A

siano B EB

EA

A- B ix. )

: e y :

= y

✗

✗

, ,

FUNZIONI f-

è

A f

di

detto detto di

B è

DOMINIO

• CODOMINIO

•

L' sottoinsieme

f il definito

è codominio

del

• immagine di come

{ } { }

Tom (f) A

)

f- '

f-

B ( '

EA C-

E ) ✗

( =

y

: :

y ✗ ×

=

×

= , è

f

YEB immagine di

sia ad

La contro

• rispetto

y

.

{

' }

f- f-

A )

(

) y

( ✗ E : =

×

=

y

Il funzione

di

grafico una di

sia sottoinsieme

Il

f è

di f-

funzione grafico

A → B un

: una . { }

) A

definito ( ( Fcx

f) B

graf

B A

E ✗ E

:

A- )

come ✗

×

=

✗ ,

, C- B

VETTORIALI

SPAZI

Definizione ( )

insieme R

K

sia V

: e campo

un

un g.

e.

è

✓ spazio vettoriale possiede strutture

uno 2

se :

" "

⑨ addizione

una .

+ ✓

V

✓ >

✗ )

( V2

>

V2 Va -1

va ,

② " "

scalari

moltiplicazione

una per

• ✓

V

K >

✗

(X ) dv

>

v

, proprietà

varie

operazioni

le di

soddisfano

Osservazione + e

: .

compatibilità

)

( dar

da da

da -1 V Ok

V Ov

• -1 V

•

=

• =

.

)

( Ava

✗

d d- Ov

Va

va Ov

Va

1- •

+

• ' =

=

È

n " "

IR struttura

IR Diamo ad

IR

Sia /

✗

×

es una

. . =

.

. .

K "

dotare IR di

Dobbiamo

Vettoriale

di IR

su :

op . . "

" "

"

"

"

④ IR R

IR

addizione >

:

una ✗ IR

( ) )

(

( ( )

( >

) Xn

Zi ✗

×

= -142

Yi ) Zn Yi

Xi ✗ Yn Yn

1-

Yz

Xz 2- 1-

a

n ,

2 ,

-

, ,

.

. .

,

. . ,

. ,

, .

,

, .

.

.

. ,

,

,

, dà

Questa di

definizione struttura di

mi

-1 gruppo

una

? )

Per (

IR Opi

esempio

commutativa 0

a 0,0

= ,

. .

. ,

,

l' )

è l

(

di

opposto ) ✗

✗ ✗

Xz

× ✗ -

-

- n

n =

a ,

. .

, , .

.

,

. .

.

, ,

,

② Rn

" "

" IR

moltiplicazione IR

scalare >

una per : ✗

( ) > ( )

X ✗

✗ DX

( ) ✗

Xa

Xn

Xi ✗ n

≥ ,

, .

a

, . .

,

, ,

. . .

, "

l'

Questa IR

addizione di

moltiplicazione dotano

e una

struttura IR

vettoriale

di spazio su . insiemi

" gruppi

osservazione IR IR

noi

per

: -

, campi

vettoriali

sp .

"

in

di vettori

Rappresentazione IR

geometrica -42,3

n -

☐

ITL 4 •

> . . .

. .

. Z

^ a

pì ?

-

-

-

- - 1123

l I

> >

y ✗

>

>

° ( )

44,2

×

( )

y

× / , y

, delle

Rappresentazione operazioni

geometrica + e •

Y

0 ×

/PL { •

> eo • •

i -

- . .

. .

✗ y

+

^ " "

"

ppf " Ya

+

< -9

-

- - -

-

> )

(

( ) )

(

× X

y ya Ya

Y

✗ +

-1×2

+

Yz =

,

, ,

<

| ,

, ,

-9 ,

- - p ,

f- I

| |

y I

TP

, -

-

. , È >

✗

0 X ✗

+

2 , z

^

2

' l >

IR ✗

>

/

y

VETTORIALI

SOTTOSPAZI

Definizione WCV sottoinsieme

vettoriale

✓

sia spazio e

uno

: ,

Né V

di

sottospazio

allora vettoriale sei

un ↳

Ì è spazio

se sua volta

a

W

t

④ E W E

V2

Wa Wa

Wa vettoriale rispetto ak

, ,

XÌZEW

② OVEW

dek

ZEW

, , è

Si che ②

④

dimostra spazio vettoriale

W

valgono

se e uno

,

la stessa di V

struttura

per .

" % " '

' ↑

F W ( )

(

ls 112 0,1

• -

s -

•

• .

-

- - =

. ^

0 A di

vettoriale

sottospazio

è IR

un

non

W

c-

w.tw ,

a

1122 < > •

↳ P -1Pa

,

• 1122

di

vettoriale

W sottospazio

è un

non

p . ,

' IR

A

A r Z

-172

W z , •

Zz

W

• Z

, •

, •

• W , >

> • f- ( )

✗

, • '

0 f biettivo

9 t

n

*

" ☒

t •

•

[ • •

/ )

917 9 Za

) giz )

) -191 -22

, ,

COMBINAZIONI LINEARI insieme

combinazione lineare

Definizione di

una

: un

{ }

finito di CV

vettori veh

vi un sp

-

. .

. . .

, ,

È di di

del tipo EIR

è vettore vi

un - ,

,

insiemi struttura

con

{ }

Teorema V

S allora

sia Un

vi c.

=

: , , ,

.

. .

È È

{ } V

di ER

di <

< > vi

s . ,

, vettoriali

sottospazi

✓ {

. }

dall' insieme

generato s

S

vettoriale spari

spazio È È

Dimostrazione di di

vi W;

•

: - ,

, ,

È È è in

Comb lineare

di S

di vettori

vi 4-

+ W;

- .

, ,

È

È

d- /

dirti d- di ) Vi

• = ,

, %

È {

}

{

{ } }

dw.de/R

di

esempi dirvi

S EIR

< >

w s =

• =

: = ,

,

' chiusura ✗ ( ✗ a)

-142 X IS

Wa 1- )

WE

µ

risp addizione

all' = ,

. )

( Aw ud

( )

µ E >

<

W s

= .

:

{

{ }

} Xiv :X da

S dava

( > ER

va 1-

v. s

=

• = ,

,

, ,

V2

assumiamo V1

A

= da )

(

dirti )

dava

allora Xvi d

dirti (

1- tv

1- >

V e

daa

-1

= ± ,

,

,

}

{

{ >

} (

<

quindi va > v

v = ,

, , }

{

{ } dava di

Xiv EIR

S < -14 Vs

>

V3

Va

• -1

Vi s

= :

= >

,

,

,

assumiamo V3 dava

Xiv +

= , Istinti

✗ )

dirti

dava dava

IN ✗ V2

allora SV 1-

-1

1-

1-

1- ✗

= =

} a

✗

( ?

) ( V2

di ✗ da

Vi -1

1-

sai

+ 392

= i

1 1

{ }

} { >

( Va

V3

va

< vi

quindi vi > = ,

, ,

( ) DIPENDENZA LINEARE

IN }

definizione { insieme

Sia CV di

Sé

Un

v.

S

: un

= .

, . . .

, indipendenti

vettori linearmente se

n di

È divi ogni

' >

0 0

=

=

,

5 dipendenti

linearmente

è di

insieme vettori

un indipendenti

se sono

non .

Osservazione È

i di di

Ivi

dip

1in

vettori >

' vi

vi

s

: sono =

:

. . ,

È

È >

)

/ <

di vn

(

È Vi

divi È diti

di < Un

>

È

divi Vi

)

+ Piti

Vi

-1

ivi

✗ =

= = . . /

= .

- . ,

.

. , .

, .

,

,

_ ,

,

,

,

, VETTORIALI

BASI SPAZI

DI

Motivazioni : insieme

W

supponiamo W < SCV

V

che >

s

< e per

= un ,

linearmente

insieme W

cioè che S di generatori

è indipendenti

per .

un .

insieme

Un di generatori W

S

esiste

W

S sempre :

per - ,

W

infatti Wn

0

t

0

1- -1

E Wa

W -1

0

Z

=L -1

2- .

= - .

- .

, .

,

è modo W

Questo rappresentare

inefficiente

molto

un per .

Quindi vorremmo : insieme W

di

determinare

⑨ generatori

minimale

un per ,

{ } W

cioè ≤

W < > < >

s s vi

ma

= -

, È

!

ltz W

② divi

J lineare

combinazione Z

e =

, , ②

④

di W soddisfa soddisfa

S insieme generatori < >

per ,

, il

Definizione teorema 4 : equivalenti

Le affermazioni

seguenti :

sono generatori

finito

vettoriale

SCV insieme di

sia che ammette

sp un

- -

{ }

④ è V

5 base

v. va un per

= una

,

.

.

.

,

, È

③ V

tv lineare

combinazione di IR

c- ivi

V ✗ c-

=

, ,

I i di

è vettori

sistema s

s sono

un indipendenti

linearmente

di generatori

⑥ V

di

di

S insieme

è minimale generatori

un

④ insieme di V

indipendenti

è vettori linearmente

di

massimale

S un V sistema

Corollario generatori

ammette di finito

se un

: ,

di sp.velt.ve insieme

base

( una uno un )

base

allora V V

generatori indipendenti di

di linearmente

ammette una . "

" "

In cosiddetta

esiste

IR base canonica

es :

una

. , )

)

( (

)

( li 4 0

0

4 0

la 0 E 1 0

0 i -

'

0 =

= '

= i -

. .

. .

. . .

. ,

.

,

2

, ,

,

, ,

,

, ,

,

,

{ } "

è R

S di

base

ci una

= i. .

a n

.

. . ,

.

Veri fichi :

che sono

amo (

⑨ " trovare

)

generatori vogliamo

di IR sia Xi Xn una

V ✗

=

: 2 ,

.

, .

.

, ,

combinazione sia

che

degli

lineare uguale V

ei a .

È

degli scalari

Determiniamo ER

✗ V li

ai

:

i = -

1- a

= )

(

)

) ) (

( 4

✗

( 0

-1

0

✗ 0

-1

✗

-1

Xi 0

✗ 0

✗ 0 0,9

4

=

= n n

, .

, 2 ,

.

. ,

.

. . .

,

,

, . .

. . .

, ,

, . ,

.

.

, , )

( (

)

(

)

( ) 0

1- ✗

t

✗ 0

0

✗ ✗ -1

0

0

X 0

✗ 0

= n

1 . . . ,

n = . ,

.

= . .

. _ ,

. ,

, ,

.

. , .

.

,

.

,

, ,

, ,

, ( )

✗

✗ ✗ { ✗ ✗

a n =

2 ,

.

. .

, ,

, ,

¥ ✗ ✗

= a

a

- _

\

✗ ✗ i i

=

i ✗ ✗

=

n n

?⃝ ⑤ { }

gli ?

indipendenti

linearmente

ci sono

i. n

a . . ,

.

. È

Verifichi di dici

i EIR

quali 9

amo :

sono = .

, )

In

da (

di ) ) /

)

( -1 4

1-

( -1

0

9,0 0

0 0

0 0 4 0 0

= .

. .

. -

. .

. ,

. ,

.

, .

. ,

. ,

. ,

, . , ,

)

( {

✗ An ✗

da O

>

< =

= n ,

. . ,

.

, , c' un'

è

se sol

altra

✗ O .

=

2 ✗

parte allora

a 0

= ,

i indipendenti

1in

sono

non .

mio

( )

Teorema base

estensione ad

2 :

una

} CV

{ linearmente

sia I di indipendenti

insieme

V2

V. vettori

Un

= .

.

, . , .

,

{ } V

di

G generatori

insieme

Sia WK di

Wi Wa

= .

,

.

. .

, , '

ÌÒCG V.

è di

allora G

tu base

una

: %

È È )

Iva di Wi

di

Dimostrazione -

Wi Jj W;

di #

Un o =

: :

• = ,

,

, { }

io V

< >

Ga

sia Ga

Va Wie

Wa

= =

-

, ,

.

.

, .

, . ,

. . ¥

È )

E

( part

v2

Bivi Pinti

Wa

Ea

:p Wi

-1 i -

• -1-0

pa

Va -

=

= : }

Ìvj

Ìva

{ WK

62 Wa

sia Va

Va

- .

.

.

,

. . .

.

. ,

.

,

, , situazioni

verificarsi

Andando due

avanti possono :

}

{ {

④ }

④ h Gr

K

6h Un

Wu > Va K

Wun

Vn ≤

va = <

per

= r

= .

. , , .

. .

, .

.

, .

,

. ,

, IMPOSSIBILE

indipendente

linearmente

sarebbe

non

Teorema 3 di

insieme

di

il elementi

di

' un

numero

h

Nella di

inferiore

notazione è al

teorema

del vettori

K 1in ind numero

≤ sempre

2 . di insieme

elementi generatori

di

. un

, .

stesso di

lo

base

Corollario ha

V elementi

di

ogni numero

: .

{ }

Ba

Dimostrazione che

supponiamo esistano Un

v. va

: = . . .

, ,

,

{ }

Ba V

di

basi Dal teorema che

WK

Wi 3 sappiamo

Wa

=

e .

,

.

, . .

, Ba generatori

indipendenti

h perché

K linearmente

B e Sono

≤ sono

, .

h

indip

Ma generatori

h

K

che Bn

anche Ba

perché 1in ti

=

≤ e

sono .

.

✓

Definizione finito

vettoriale sistema

sia ammetta

che un

sp

: . il

dimensione è

di

la definita

V

Allora

di generatori numero

come

. qualsiasi

di elementi di base

sua

una .

dimensione V

Corollario Allora

che

supponiamo la n

: = .

⑨ V

generatori di

indipendenti

linearmente

vettori anche ;

sono

n

③ ✓ indipendenti

di

generatori linearmente

anche

sono

n .

{ ?

(

( (

Ii )

) ) È

Wn

Consideriamo in

Wa W

es = ; = =

; >

. .

O >

}

{ R

di

è

domandiamo base

ci S Ns

se wa

W una

= , .

, ,

Nel di ottenere

risposta da

negativa base esso

caso una .

, È Q è

ER

Mi Wi

chiedo ✗ verificata

ti

quali i

per = .

, (24+0+2×3) ( )

-1×2+3×3

° §

(E) ( )

al "

§

?

/ )

)

? >

× =

+ +

✗

✗ =

>

a ✗

0 2×3

-

- 2

{ {

{

" ◦ ??

✗

✗ {

+ È ° 0=0

-120^-34=0

✗

+ " "

" • a

2 ° aa

2×9 a.

✗

✗

1- 0 = =

2 ✗ 2

-

= .

3

a sol

ho 00 .

✗

✗ 0 ✗

✗

2 -

=

= 3

3

-

- a

2 }

{ ( R

soluzioni ) ✗ 24 da

✗

✗

e

✗

Xi As : =

= = -

3

a

= ,

, ,

,

, , ( a)

✗ >

4 4,2

= -

=

a ,

}

{ perché

Quindi indipendenti

voi linearmente

Ws

uh sono

non ,

, , combinazione lineare )

(

V3

esempio 2W 0

-1

W banale

per - = non

≥

,

,

" "

Il problema dipendenza lineare risolvere

della lo

• non posso }

{

aggiungendo di