Determinanti e proprietà

Appunti di Algebra lineare.

In algebra lineare, il determinante è un valore scalare associato a una matrice quadrata, che ne cattura diverse proprietà algebriche e geometriche. È denotato come det(A) o ∣A∣.

Proprietà fondamentali dei determinanti:
le proprietà dei determinanti sono cruciali per il loro calcolo e per capire il comportamento delle trasformazioni lineari.

Matrice invertibile: una matrice quadrata A è invertibile (o non singolare) se e solo se il suo determinante è diverso da zero (det(A)=0). Questo è un concetto fondamentale per la risoluzione di sistemi lineari.
Determinante della trasposta: Il determinante di una matrice è uguale al determinante della sua trasposta: det(A)=det(AT).

Prodotto di matrici (teorema di Binet): il determinante del prodotto di due matrici è uguale al prodotto dei loro determinanti: det(AB)=det(A)det(B).
Scambio di Righe/Colonne: scambiando due righe (o due colonne) di una matrice, il determinante cambia di segno.
Moltiplicazione per uno scalare: se una riga (o una colonna) di una matrice viene moltiplicata per uno scalare k, il determinante della nuova matrice sarà k volte il determinante della matrice originale. Se tutta la matrice A è moltiplicata per uno scalare k (cioè si calcola det(kA) per una matrice n×n), allora det(kA)=kndet(A).
Righe/colonne uguali o proporzionali: se una matrice ha due righe (o due colonne) uguali o proporzionali, il suo determinante è zero. Questo è strettamente legato al concetto di dipendenza lineare.
Riga/colonna di zeri: se una matrice ha una riga o una colonna interamente composta da zeri, il suo determinante è zero.
Operazioni elementari sulle righe (somma): sommare un multiplo di una riga (o colonna) a un'altra riga (o colonna) non cambia il determinante della matrice. Questa proprietà è fondamentale per la riduzione a scala.
Matrice triangolare/diagonale: il determinante di una matrice triangolare (superiore o inferiore) o diagonale è semplicemente il prodotto degli elementi sulla sua diagonale principale.
Il determinante fornisce anche informazioni geometriche: il suo valore assoluto rappresenta il fattore di scala del volume (o dell'area in 2D) trasformato dalla matrice, mentre il suo segno indica un cambio di orientamento dello spazio.