Formulario Complessi

Complessi

Complessi

COMPLESSI

= ^ᾶᾶᾶ

|| = 1

= /_{||² / ²}

• = (, ) FORMA CARTESIANA
• = + FORMA ALGEBRICA
• = ( + ) FORMA TRIGONOMETRICA
• = FORMA ESPONENZIALE
• = √(² + ²) /_{√(² + ²)} + /_{√(² + ²)}
• = + FORMULA DI EULERO

• = MODULO = COM. SCALARE = √(² + ²) = || = |ᾶᾶᾶ| = LUNG. segmento
• =
• = = ()²
• = ARGOMENTO = COM. ROTAZIONALE = tan^-1(^-/) = (/, /) CORD. SUICIONF.
• = /_|| = ^{+ -}/₂
• = /_|| = ^{- -}/₂
• (, )^-1 = (/_{² + ²}, ^-/_{² + ²}) INVERSO
• = ( + ) = (( + )) = (() + ()) =
• = ₌₀ = ^!/_!(-)! ^- CON 0 != 1
• FOR. DI DE MOIVRE

z^-1 = ¹/_ρ(cos(-θ) + i sen(-θ)) = ¹/_ρ(cosθ - i senθ) = ^z̅/_|z|² = ^z̅/_|ρ|

z̅ = ^z̅/_{a² + b²}

conjugio = z̅ = a - i b = ρ(cosθ - i senθ) = ρ e^-iθ

^m√z_κ = ^m√_ρ(cos(θ + 2πικ / m)) + i sen(θ + 2πικ / m))

= ηρ e^{i(θ + 2πικ / m)} = ∑_κ=0^m-1√z_κ = η z₀^m + ... + η^mz_m-1

con κ = 0, ..., m-1

e^iπ = -1 ⇒ {ρ = 1θ = π}

⇒ ρ(cosθ + i senθ) = 1(-1 + 0)

proprietà

• z + z̅ = 2 Re (z)
• z = z̅ ⇒ z ∈ ℝ
• |z| ≥ 0 sse z ≥ 0
• |z̅| = |z|
• z + w̅ = z̅ + w
• 1/z = 1/z̅ con z ≠ 0
• | Re (z) | ≤ |z|
• | Im (z) | ≤ |z|
• |z| = (Re (z))² + (Im (z))
• |z + w| ≤ |z| + |w| disug. triang.
• z/z̅ = z · z̅^-1 = z (reciproco)
• z ∙ w = ρ ∙ ρ (cosθ ∙ cosψ - senθ ∙ senψ + i (cosθ ∙ senψ + senθ ∙ cosψ))

ESERCIZI

Calcola le coord. polari dei punti del piano: (2, -2)

a = 2 = cosθ

b = -2 = senθ

ρ = √(a² + b²) = 2√2

trovo le coord. sulla circonf. per determinare θ

(a / ρ ; b / ρ) = (2 / 2√2 ; -2 / √2) = ( 1 / √2 ; -1 / √2)

θ = -π/4 = tan^-1 senθ/cosθ

Esprimere nella forma a + ib i seguenti numeri C

(1 - i√3/2)³

(1 - i√3/2) = ⎛⎜⎝ 1/2 ⎞⎟⎠ a

⎛⎜⎝ - √3/2 ⎞⎟⎠ b

ρ = √(a² + b²) = √(1/4 + 3/4) = 1

θ = (1/2 , - √3/2 ) = -5π/3

= 1³ ⎛⎜⎝ cos⎛⎜⎝ 3(θ - 5π/3) ⎞⎟⎠ + i sen⎛⎜⎝ 3(θ - 5π/3) ⎞⎟⎠ ⎞⎟⎠

= -1³ + i · 0 = 1³ ⇒ || Re = -1

Im = 0

Determinare l'argomento dei seguenti numeri C:

_2+i/^i-2 = (2+i)(i-2)^-1 = (2+i)(i-2)/(1₂+2²) = (2+i)(-i-2)/5

_z^-₂/^|z|2 = _2+i/⁵

= (2+i) - (i-2) = -2i -i² - 2i = -4i / 5 = -3 / 5

Calcolare le potenze dei numeri complessi:

i⁴ = (i₂)² = (-1)² = 1

i⁴ = (cosσ + isinσ)⁴ = cos(2) + isin(2)

(ρ(cosσ + isinσ))^m = ρ^m(cos(nσ) + isin(mσ))

1(cos + isin )⁴ = i⁴(cos a + isin a) = 1

i²⁰²¹ = i²⁰²⁰ · i = i

perchè i è una radice quarta

_i^4m = 1

_i^4m+4 = -1

Calcola le rad. quarte di: -1

m=4

\( \rho = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{-1^2} = 1 \)

\( \sigma = \left(\frac{a}{\rho}; \frac{b}{\rho}\right) invarianti \frac{a}{b} \) = sen^-1\(\left(\frac{b}{\rho}\right)\) oppure cos^-1\(\left(\frac{a}{\rho}\right)\)

\( \sqrt[m]{z_k} = \sqrt[m]{\rho} \left( \cos \left( \frac{\sigma + 2 \Pi k}{m} \right) + i \sen \left( \frac{\sigma + 2 \Pi k}{m} \right) \right) \)

\( z_0 = \rho^{\frac{4}{4}} \left( \frac{\Pi + 2 \cdot 0 \Pi}{4} + i \frac{\Pi + 2 \cdot 0 \Pi}{4} \right) = \rho^{\frac{4}{4}} \left( \frac{\Pi}{4} \right) + i \left( \frac{\Pi}{4} \right) \)

\( z_1 = \rho^{\frac{4}{4}} \left( \frac{\Pi + 2 \cdot 1 \Pi}{4} + i \frac{\Pi + 2 \cdot 1 \Pi}{4} \right) = \rho^{\frac{4}{4}} \left( \frac{3 \Pi}{4} \right) + i \left( \frac{\Pi}{4} \right) \)

\( z_2 = \rho^{\frac{4}{4}} \left( \frac{\Pi + 2 \cdot 2 \Pi}{4} + i \frac{\Pi + 2 \cdot 2 \Pi}{4} \right) = \rho^{\frac{4}{4}} \left( \frac{5 \Pi}{4} \right) + i \left( \frac{\Pi}{4} \right) \)

\( z_3 = \rho^{\frac{4}{4}} \left( \frac{\Pi + 2 \cdot 3 \Pi}{4} + i \frac{\Pi + 2 \cdot 3 \Pi}{4} \right) = \rho^{\frac{4}{4}} \left( \frac{7 \Pi}{4} \right) + i \left( \frac{\Pi}{4} \right) \)