Algebra lineare

UN

DATO va

vettore È

vn

spariva 2iEIR

2 CONTENENTI

meffpREFIE

122

V1 V2 DI

UTORI

DATI DLE ER

21,2

va

avuta

va va

spone sono

lettori paralleli EenffInferente

due

i

se lettori non

due sono paralleli

i

se si tratta dell'intero

LI PIANO 122

SONO 1123

DATI TRE DI

LETTORI 123

23V3

224 21,23

21

2 va

span Va VaV3 complanari

Se

1 sono

non IR3

DELL'INTERO

TRATTA

SI COMPLANARI

SONO E

SE

2 PARALLELI

DLE NON

ALMENO

PIANO

DEL

3 PARAVEY

SE TUTI

SONO

RETTA

UNA

DI

BASE Va BASE

I DI

VETTORI UNA SE

HR SONO SCRIVERE

DI

OGNI PUÒ

LETTORE COME

SI V11 VK

LINEARE QUINDI

DI

COMBINAZIONE

SE SPAN VR

V1 GENERANO

SE V1 VR SONO L I

TEOREMA PUÒSCRIVERE COME

OGNI DI SI UN'UNICA

VETTORE BASE

UNA

dei

combinazione venori V

DI di

lineare detti

tale sono

combinazione

I coefficienti di componenti

più base

vettoriale una

uno avere di

spazio può

BASE CANONICA

La canonica

base una singola

comprende con

lettori

1 E TUTTE

A ALTRE

COMPONENTE LE A ZERO

ESEMPIO En

indicati la la

con

solitamente I IR

DI

I BASE

la

VETTORI SONO

la CANONICA

I VENORI VA CANNA

BASE

V2 SONO

f

I V3

e DI IR3

DIMENSIONE IN UNA

ELEMENTI BASE

DI

È NUMERO

IL pazio stesso Numero

basi

Le diuno Hanno lo

stesso lettoriale

DI

VETTORI V V

dim

allora n

vettori

ES di han

SE Base

IR

dim n

Chin Rn Pn

N

1

n DI GRADO ANCHE

SCRITTI

POLINOMI

IRE

dim POLINOMI

I

TUTTI

INSIEME

Mr

dim Ran

n UNA

TROVARE BASE

SPAZIO

UNO

DI PER PROCEDIMENTO

CAPIRE

ESEMPIO 1123

SPAZIO

1 DIMENSIONE

LA

DETERMINARE

1123

dim 3

È È DALLA

BASE

trovare

Base CANONICA

canonica

DETERMINARE VETTORI

2 I ciascuno

deve componenti

avere 3 vettori 3

da

Base 2

1

1

V1 10 una zeri

sono

attorecon alla

quale

osono tutti

almeno componente sono

5

1

V2 o e

una

a maamano

remore zero

anaquale uno

componente sono e fyffe

0 1 0

V3 nullo

non

30 Elemento

vettore Haun air

base

è una

BASE

UNA

TROVA SOTTOSPAZIO

UN

DI PER PROCEDIMENTO

CAPIRE

ESEMPIO IEIEIIEIIEEg.fi

ER 27 0

1

2

x y V

1 DETERMINARE DIMENSIONE

È

IR3 SOTTOSPAZIO

dimV UN

V dato

IN da

Dim

QUESTO caso 3

vettore 9,7 componenti

componenti

numero i

equazioni

numero sequazione

x 0

27

y

QUINDI

dimV 1 2 SEMPRE

VETTORI MA

3 2 L'UNO

DA 3 COMPONENTI

VETTORI

DETERMINARE I

2 V2

V1 INCOGNITE LIBERE X

DUE TRA Z

Y

SCELGO la

solo funzione

la in

La scrivo

e

X

ez

Y

ES 27

4

L'Equazione X 0

Z Data

DI Ye 4 27

COEFFI

TROVO GENTI

SCRIVO SISTEMA 22

14

aneianirà

i VETTORI

TROVATO 2

ABBIAMO

PRENDENDO coefficienti otteniamo

i

1

V1 1,0 3 1 Baged

e 9

1

2 2,0 LINEARI

APPLICAZIONI

W è SE

LINEARE

APPLICAZIONE

1 I CUS

G Va

c.FR

LEY

ESEMPIO ENDOMORFISMO

f 1123 Yagedaffffpazio

1123 7

SIX4,7 9

È LINEARE V2

Va 4,4 za

4,2 e

Vi 72

Z

Va Yi

xe

1 un E e

Ez.s1

in

itta

f 72

flun 91 42

v 71

Xixxa 2

GIU 641

U2 E V2 VERIFICATA

X

2 V ti

Y

FIV

FLAV

f SY

AV azi

Xx XIAX

Af AY

Xitz

V azi

XX

4 Xipx

e È YILILIAZIONE

AMV VERIFICATA

FISU 2

ESEMPIO

flat 7

4 1

4,7 2

vettore componenti

al complemento

manda vettore a

un

a

42,72

V2

1 2

V1 114,171 e 71 7

Un V2 Y 47

2

1

6 42 41 72

71

v2

vi 42 1 72

1,47

flur

1

f 1

71

va 1,71

flun FU 41

xp 2

Z

a 22

42

flva

fluntva È un'applicazione

GLVA verificata

NON nega

NON

APPLICAZIONI SURIETIVE

INIETTIVE

ISOMORFE

E

W

SIA V

T APPLICAZIONE LINEARE

UN

INIETTIVA uaeV va

v

FmIEEEEIioeiasnntivi

T.IR

Ker

Dim O NUCLEO O

DIMENSIONE è suriettiva

è

V iniettiva Sse

dim dimmi

SE dinker

è iniettiva o

se

Perché dinV o

dinker

ciò implica

W e

guidi

din

dim In

suriettiva

è

se chmw

dim dim In

dim In

in

quanto difker dim In

dimker

dimV

teorema

dimensione

din è INIETTIVA

W

dimV non

SE

SURIETTIVA We

SE Int arrivo

di

insieme t.I.EE w

sd SEdimVsdimV

È SURIETTIVA

NON

ISOMORFA

È e

SIA

SE isomorfa

suriettiva

INIETTIVA Che WV Lineare

T

se Detta

inversa

lineare

un'applicazione

esiste

Inedsyperfismo W

trev 97ITL

TG Eartenza

T I

t.int

WEN

T'CW W

To v

augggzeng.name IE

SEaeETE

È.IE

Io TIE'IInaEF

3

W

3 dimvedimW

Sse

e sonoIsomorfi senano

s tessa

d imensiemisonorasmo

MATRICE ASSOCIATA

MI

W f

f

DATA Wa W

B

V Wm

Wa

VaV2 DI

A BASE

Un DI

BASE W Its giveriore

92

vi AmWm

Wat Imerese.br

wa

da EaEE99n

va bm

baWatbzNa Wm

va ua

in Me

cawatca.ws emwm

um

ESEMPIO

IR IR ME f

Trovo matrice associata

dimR

4 Z

4 come

2 2

componenti

x 7

y 6 Ea

0,1

1,0 Basi

E 0 0,1 con

110,0 canoniche

1,0

III

III 2,0 flva 10 flva o

1,1

0

1,1 1

matrice

Entrate

trovo conatoriBase e

22 0

2,0 110

an ba

bacio

1,1 0.1 calo 1

1 c

o no

mamma 4

ASSOCIATA

MATRICE n

2

ESEMPIO

f 122

1123 MI f

TROVO

f 47 7

2 4 4 1 B 1,1 1

a 1

0,11

2 0,0

7

1 f è lineare

INTANTO

I

Fluntur 7

4 Z

4 42

Yi

12 y

2 a

f five 4

2 77

un 7

1 7 12 7

42 4

2 42

Y

4 72

42,4

2 2

1

XVI

6

flva Af

slava Vi XX

Ay 4 Ay

7 2

AY 7

AY

1 7

4

SÌ È LINEARE

UN'APPLICAZIONE

troviamo

ora matrice associata

la 1 B 1

a me 1

Ef 9

flun 611 2

2 2

2 2 2 o 0

FIV 1 1

610,1 0

ELV 610,0 1

1 0 lo 1 1

44.7 411

1

1

1

1 1 a

as

0

0 1

3 3

L

ESEMPIO 3 123

f 1123 ENDOMORFISMO NONNE LETTORI

MA

FUNZIONE

FÀ 1 1

E 1 0 2,1

1

1,1 2,0 610,111 1

1,0 v3

a

vettori

V3 sono

Vi imagine

Vi e i canoniche

rispetto

trovo alle

matriceassociata basi f f

f es

f 1

er 0,0

er 0

1 0,1

0,0 1

fler G

flen 2,0 V1

1 1 1 es

1 fles

6191

f 1

1,0

1

0 an Un

fles

Glen

f 2,1

1 V3

1 e 1

0

1 1 1

CREO

MATRICE

1 l n11 1

TRIANGOLARE

1 me

fles

flan

f

QUINDI e VI QUINDI

fles V2

f e V2

V

fles V3

fles 1

12,11 311

210,1 1

1,0

fler f

V2 1

1,1

3

es 2

110,1 0

fler

Glee V1 Flea 0

11

1,1

2 0,1 9

3

2 1,0

MATRICE

TROVO Associata

si

i

a È 37 7

X 7

F 4

LA 24

QUINDI

LEGGE 7

x y

LEGGE

DALLA

PARTENDO

FIX 4,7 37 4 7,7

24

f 123 123 trovo canoniche

matrice alle

associata rispetto Basi

1

Es 0,0

0,110

110,9

1

Hei 0,0 flan 1

2 0 fles 3,111

1 1

a

i

NUCLEO IMMAGINE

E

f W

DATA

In EW

IMMAGINE

FIX W

CHE

TALE 4,7

Ker NUCLEO Or

G

TALE 7

Y

CHE X un'applicazione lineare

di

associata

data matrice

dimIM RANGO M dimmi

dimIntdimker

vero

dimker dimm dimIn

M

din di

dimIn spazio arrivo

SE In

allora con

coincide lo

ESEMPIO 123

123

f CI

non

IIIIIE III

è

n a

RANGO base

vettori

contengono

dimInt 2 IIII

Basent Errori

dim 2

2 I della

2colore

matrice m

associata

dimkert 3 2 1

NUCLEO

TROVO L I

rango

n

con

ftp.YRIGHE

1,1

110101,10 Kent 1

3

40 AUTOVALORI

AUTOVETTORI E

c'È

Quando endomorfismo

un Ti lineare

operatore

detto

con

VEV È

CHE un a

IIano autovettore autovalore

get II

TCV V EEEEar

IITIETEEEEEEEE.to

lineare

un'applicazione

Data endomorfismo

autovalori

trovano aerovettori

e

si

come MATRICE

1 ASSOCIATA

TROVO DIAGONALE T T Id

ovvero

X

2 ALLA

SOTTRAGGO Determinante

SOLUZIONI det

3 CALCOLO T Id o

det SI POLINOMIO CARATTERISTICO

T

4 PER di

una di

base

di ordinata

OGNI calcoliamo ai

U

LE 81 Udr

5 8

UNIAMO Basi

TUTTE

8 LI

è sempre È

mV

Se di DI

BASE AUTOVETTORI

di 8

vettori dimV C'È

di 8

se vettori BASE

NON DI AUTOVETTORI

MATRICI SIMILI

polinomio

lo

matrici

Due caratteristico

con stesso dicono

si

simili autovettori

Esempio autovalori e I 0,91

1123 A 0,110

E

1123 3410,0

al

1 303

2e 102

f

f

La A

e La 492 69

la 1 oe

f

A

La er Al

E E

e oeitoartres

AUTOVALORI

E

CA P dami

E

i 1

1