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RICEVIMENTO
pablo.spiega@unimib.it
R1 = NUMERI REALI (0, -1, -1/2, √2, e, π)
R2 = COPPIE NUMERI REALI
R3 = TERNE NUMERI REALI
Rn = n UPLE (STRINGHE LUNGHE d1 n) DI NUMERI REALI
R1 = RETA
R2 = PUNTI DEL PIANO
R3 = PUNTI DELLO SPAZIO
ESEMPIO
IN R4 (-1, -1, 0, 5) + (0, 0, 1, -1) = (-1+0, -1+0, 0+1, 5-1)
NON È DEFINITA LA SOMMA DI ELEMENTI CON IZ DI COORDINATE DIVERSE
ELEMENTI DI Rn = VETTORI
In Rn sappiamo moltiplicare un elemento di R con un elemento di Rn c (x1, x2, ..., xn) = (c x1, c x2, ..., c xn)
Prendiamo 2 interi n e m (maggiore e uguale a 1) una matrice A n righe e m colonne in R è una tabella
| a1,1 a1,2 a1,3 ... a1,m | a2,1 a2,2 a2,3 ... a2,m con a numeri nel R a3,1 a3,2 a3,3 ... a3,m |
Esempio| 32 0,2 | è una matrice a 2 righe e 3 colonne| 21 -0 | (matrice n x m)
L'insieme delle matrici n x m lo si indica Mn,m(R)
Anche in Mn,m(R) c'è una somma e un prodottoper gli elementi di R (definito come fatto per Rn)
| 4 0 2 | | 0 1 -1 | | 1 1 1 | 0 0,3 + 2 3 5 =| 2 4 8 ||
2 | 4 0 2 | = | 2 0 4 | 0 0,3 0 2 6 |
NB
M1,n(R) -> ( x1, x2, ..., xn )
Rn | x1 |
Mn,1(R) -> | x2 |
| ... |
| xn |
RISOLUZIONE SISTEMI LINEARI CON MATRICE
SCALA
( X2 + X3 + X4 + X5 = 4
X3 - X5 = -2
( X2 = -1
- X3 - X4- X5 = -1 - ( 2 + X5 )
- X4 - X5 = 3 - X4 - 2 X5
X3 = -2 + X5
LE SOLUZIONI SONO
- X1
- 3-X4-2X5
- -2-X5
- X4
- X5
SONO INFINITE E SONO PARAMETRIZZATE DA 3 VARIABILI "LIBERE" E NON SONO SOGGETTE RIDUZIONI
1) IL SISTEMA LINEARE HA SOLUZIONI SE E SOLO SE IL RANGO DELLA MATRICE COMPLETA E INCOMPLETA SONO UGUALI
ESEMPI
- ( X1 + X2 = 2
- X2 = 3
( 1⁄1
01⁄1 )
( 1⁄1 2⁄1
01⁄3 )
- ( X1 + X2 = -1
- = 2
( 1⁄1 1⁄1
0 1 -1 )
( -1⁄1
0 2 )
- ( X1 + X2 = 2
- = 0
( 1⁄1 1⁄1
0 0 )
( 1⁄1 2⁄1
0 0 )
LE RETTE PER L'ORIGINE DI R² SONO SOTTOSPAZI. RIMANE DA VERIFICARE COSA SUCCEDE SE W CONTIENE x ( )y E ANCHE UN SOTTOELEMENTO CHE NON È NELLA RETTA PER L'ORIGINE E CHE PASSA PER x ( )y W = ( 6 ) ; ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) DALLA PROPRIETÀ 2, PER OGNI a, b ∊ R W = a ( 1 ) + b ( 0 ) = ( ) + ( ) = α ( α ) ( 0 ) ( 1 ) ( 0 ) ( β ) TROVO QUALSIASI ELEMENTO DI R² QUINDI W = R²
INTERSEZIONI
SIA U UN SPAZIO VETTORIALE W₁, W₂ SOTTOSPAZI DI U ALLORA W₁ ∩ W₂ È UN SOTTOSPAZIO
- O ∊ W₁ ∩ W₂ PERCHÉ O ∊ W₁, O ∊ W₂ -> SOTTOSPAZI
- SIA α, β ∊ R αW₁ + βW₂ ∊ W₁ ∩ W₂ -> SOTTOSPAZI αW₁ + βW₂ ∊ W₁ PER LA 2 PROPRIETÀ αW₁ + βW₂ ∊ W₂ PER LA 2 PROPRIETÀ
Basi e dimensione di uno spazio vettoriale
Sia V uno spazio vettoriale su R. I vettori V1, V2, ..., Vn in V si dicono generatori di V se ogni vettore di V si può scrivere come combinazione lineare di V1, V2, ..., Vn. Detto più precisamente:
∃ V ∈ R tali che V = α1V1 + α2V2 + ... + αmVm
Esempio
V1 = (1)/(0) , V2 = (0)/(-1) , V3 = (-1)/(0)
Generatori di R3
- x = α1V1 + α2V2 + α3V3 = α1(1/0) + α2(0/-1) + α3(-1/0)
- α1 + α3 = x
- -α2 + α3 = y
- α1 = z
- α1 = z
- α3 = x - z
- α2 = α3 + y = x - z - y
Siano Vi ... um vettori di uno spazio vettoriale U
E sia 0 un vettore di U che le loro combinazione
lineare. U = B1U2 + B2U2 + ... BmUm allora
span {V1, V2, V3} = span {V4, V2, ..., Vm, U}
Esempio
U = R4
V4 =
V2 =
V3 =
U =
span (U1, U2, U3) ⊆ span (U1, U2, U3, U) perché
{U4, U2, U3} ⊆ {U4, U2, U3, U}
Sia U in span (U1, U2, U3, U)
U = xV1 + yV2 + zV3 + tU dove x,y,z,t ∈ R
V4 =
V2 =
V3 =
U =
U = V4 + V2 + V3 U è combinazione lineare di U1, U2, U3
V = xV4 + yU2 + zV3 + t(U4 + U2 + U3) = (x+t)U4 + (y+t)V2 + (z+t)U3
è combinazione lineare di U4, U2, U3 quindi
V ∈ span (U1, U2, U3)
Sia f : V → W una applicazione lineare.
Definiamo
- Ker f: {u ∈ V | f(u) = 0W} nucleo di f
- Im f: {f(u) | u ∈ V} immagine di f
Sia f : V → W un'applicazione lineare. Allora Ker f è un sottospazio di V e Im f è un sottospazio di W.
Dimostrazione
Ker f è un sottospazio di V
- 0 ∈ Ker (f) questo accade se f(0) = 0
- Siano u1, u2 ∈ Ker (f) mi chiedo se u1+u2 ∈ Ker (f)
Ipotesi
f(u1) = 0
f(u2) = 0
Tesi
f(u1+u2) = 0 uso che f è lineare f(u1+u2) = f(u1) + f(u2) = 0 + 0 = 0
Sia ∀ α ∈ ℜ, ancora αu ∈ Ker (f)
Ipotesi
f(u) = 0
Tesi
f(αu) = 0 f(αu) = αf(u) = α0 = 0
La dimostrazione che Im(f) = {f(u) | u ∈ V} è sottospazio di W è analoga
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