Definizione di numeri reali e vettori
R1: Numeri reali come 0, -1, 1/2, √2, e, π.
R2: Coppie di numeri reali.
R3: Terne di numeri reali.
Rn: n-uple (stringhe lunghe di n) di numeri reali.
Esempi e proprietà dei vettori
Esempio in R4: (-1, -1, 0.5) + (0, 0.1, -1) = (1+0, -1+0, 0.1, 5-1). Non è definita la somma di elementi con R2 di coordinate diverse.
Elementi di Rn = vettori.
Classificazione degli elementi
- R1: Numeri reali (0, -1, 1/2, √2, e, π).
- R2: Coppie di numeri reali.
- R3: Terne di numeri reali.
- Rn: n-uple di numeri reali.
R1: Retta.
R2: Punti del piano.
R3: Punti dello spazio.
Operazioni con vettori
Esempio in R4: (-1, -1, 0.5) + (0, 0, 1, -1) = (1+0, -1+0, 0+1, 5-1). Non è definita la somma di elementi con n di coordinate diverse.
Matrici e operazioni
In Rn sappiamo moltiplicare un elemento di R con un elemento di Rn.
Prendiamo 2 interi n e m (maggiore o uguale a 1). Una matrice A n righe e n colonne in R è una tabella.
Matrici nxm lo si indica Mn,m(R).
C (x1, x2, ..., x0) = (Cx1, Cx2, ..., Cx0).
Esempio di matrice
(1 0 2) è una matrice a 2 righe e 3 colonne.
(0 4 3) (matrice nxm)
Anche in Mn,m(R) c'è una somma e un prodotto per gli elementi di R (definito come fattori per Rn).
(1 0 2) + (0 1 -1) = (1 1 1)
(0 4 3) (2 3 5) (2 4 8)
2 (1 0 2) = (2 0 4) (0 4 3) (0 2 6)
Note sulle matrici
M1,n(R) -> (x1, x2, ..., x0)
Rn -> (x1) (x2) (. )
M0,1(R) -> (xn)
(0 0 2) + (0 -1 -6 3) non definito
(0 4 3) + (2 3 5 7)
Prodotto tra matrici
Prendo 3 numeri naturali (2, 6, 5), n m r, prendo 2 matrici: la prima n.m (2.6), la seconda m.r (6.5).
m colonna prima matrice = m righe seconda.
Il risultato è una matrice n.r (2.5).
Esempio di prodotto tra matrici
(4 2 3 4 5 6) (1 6 5 3)
(6 5 4 3 2 1) = (6 2 6 4)
(3 -1 2 -5 -3 4)(0 4 6 5 2) = 31...
Determinanti e sistemi lineari
Riga 1a riga 1a colonna -1.4 + 2.2 + 3.3 + 4.4 + 5.5 + 6.6 = 912
Riga 2a riga 3a colonna -6.5 + 5.6 + 4.1 + 3.2 + 2.3 + 1.4 = 80
Formula
Riga: (a1, a2, a3, ... an)⟮bi⟯ = ⟮a1bi + a2bj + anbn⟯bjbn
Sistemi lineari
A matrice A n×m, n = righe, m = colonne. Quando A⋅A ha senso? Quando n = m.
Quadrata se n righe = m colonne.
Sistemi lineari semplici
Sistemi lineari: ax = b, 1 variabile x, 1 equazione indeterminata x⋅b/a. Una unica soluzione: 2x = 1, x = 1/2, una unica soluzione. 0x = 1, nessuna soluzione, nessuna soluzione se a = 0, b ≠ 0.
Ogni numero reale se a = 0, b = 0.
(x1 - 2x2 + x3 = 1, x1 - x2 + 4x3 = 2, x1 - 2x2 + 2x3 = 3)
3 variabili e 3 equazioni, una soluzione è (x1x2x3) che soddisfa il sistema.
Calcolo delle soluzioni
(x1 - 2x2 + x3 = 1, x2 + 2x3 = -1, -x3 = -2)
((x1 - x2 + 4x3) - (x1 - 2x2 + 2x3) = 1, (x1 - x2 + x3) - (x1 - 2x2 + 2x3) = 2)
X3 = 2, -2x2 = -1, X2 = -5, X1 = -11, Unica soluzione.
Un sistema di equazioni: a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b1
a21x21 + a22x2,2 + ... a2,nx2n = b2 è un sistema lineare con n equazioni in variabili n, termini noti.
[a1,1 a1,2 ... a1,n]
[a2,1 a2,2 ... a2,n] x [x1] [x2] = [b] Ax = b n x m M x 1 Matrice [x2 + x3]
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