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Teoria degli Errori

La Teoria degli Errori è la disciplina (molto usata in fisica, topografia e ingegneria) che studia

come trattare le misure del mondo reale. Ogni volta che misuriamo qualcosa — che sia la lunghezza

di un tavolo o la distanza tra due montagne — la misura non è mai perfetta. Esiste sempre

un'incertezza, chiamata "errore".

In questa guida esploreremo tutti i concetti chiave, spiegati in modo semplice e lineare.

1. Frequenza e Probabilità: La Legge del Caso

Quando ripetiamo una misura tante volte nelle stesse condizioni, i risultati non saranno tutti identici,

ma varieranno leggermente.

Frequenza: È quante volte un determinato valore si presenta rispetto al totale delle

• misurazioni effettuate.

Probabilità: È la tendenza teorica (il valore limite) a cui si avvicina la frequenza quando

• facciamo un numero infinito di prove.

Legge del Caso (o dei grandi numeri): In presenza di soli errori casuali (quelli dovuti a

• piccole variazioni imprevedibili dell'ambiente, dello strumento o dei nostri sensi), accade

che:

1. Gli errori piccoli si verificano molto più spesso di quelli grandi.

2. Gli errori positivi e quelli negativi della stessa grandezza hanno la stessa probabilità

di verificarsi (si compensano a vicenda).

3. Errori enormi sono praticamente impossibili.

2. La Distribuzione Gaussiana (La Curva a Campana)

Se prendiamo un gran numero di misurazioni affette da errori casuali e le mettiamo su un grafico,

otteniamo una figura tipica a forma di campana, detta Distribuzione Gaussiana (o Normale).

Probabilità

Proprietà fondamentali della Gaussiana:

Simmetria: La curva è perfettamente simmetrica attorno al valore medio ().

• Picco centrale: Il valore più probabile si trova al centro (la media).

• Deviazione Standard (): Indica quanto è "larga" la campana.

• Una campana stretta e alta significa che i dati sono tutti molto vicini alla media

o (misura precisa).

Una campana larga e schiacciata significa che le misure sono molto disperse (misura

o poco precisa).

3. Principio di Massima Verisimiglianza

Immaginiamo di aver raccolto un insieme di dati. Qual è il valore reale della grandezza che stiamo

misurando?

Il Principio di Massima Verisimiglianza risponde a questa domanda dicendo che il valore "vero"

più probabile è quello che rende massima la probabilità complessiva che si siano verificati proprio

i dati che abbiamo raccolto. Applicando matematicamente questo principio alla curva gaussiana, si

dimostra che il valore più probabile in assoluto è la media aritmetica delle misure fatte.

4. Teoria degli Errori: Tipi di Errori

Nella pratica distinguiamo tre categorie di errore:

1. Errori Grossolani: Sbagli umani o malfunzionamenti evidenti (es. leggere 15 invece di 51,

o uno strumento rotto). Vanno semplicemente individuati ed eliminati.

2. Errori Sistematici: Incertezze che agiscono sempre nella stessa direzione (es. un metro di

legno deformato che misura sempre 2 mm in meno). Si possono correggere tarando lo

strumento o applicando formule correttive.

3. Errori Casuali (od Aleatori): Piccole variazioni imprevedibili ed inevitabili. È proprio di

questi che si occupa la Teoria degli Errori.

5. Compensazione delle Osservazioni Dirette di Egual Precisione

Cosa facciamo quando misuriamo direttamente la stessa grandezza volte, usandolo stesso

strumento e con la stessa cura (stessa precisione)?

Bisogna "compensare" le misure, cioè trovare il valore unico da accettare come finale.

+ +...+

1 2

( ).

=

Valore più probabile: È la media aritmetica

•

Scarti (o Residui): La differenza tra ogni singola misura e la media (

• = − ).

Incertezza della media: L'errore della media è sempre più piccolo dell'errore della singola

• misura. Più misure facciamo, più la media diventa affidabile (l'errore diminuisce dividendo

per la radice quadrata del numero di misure: ).

√

6. Pesi delle Osservazioni

Non tutte le misure sono create uguali. Se una misura è stata fatta con uno strumento più preciso o

ripetuta più volte rispetto a un'altra, ha un "peso" maggiore.

Peso (): È un numero che misura l'affidabilità di un dato. È inversamente proporzionale

• 2

alla varianza dell'errore ( ). In termini semplici: errore piccolo = peso grande.

Media Ponderata: Se le misure hanno pesi diversi, il valore migliore non è la semplice

• media aritmetica, ma la media pesata (o ponderata), dove ogni misura viene moltiplicata

per il suo peso prima di sommare: + +. . . +

1 1 2 2

= + +. . . +

1 2

7. Propagazione Pitagorica degli Errori

Spesso non misuriamo direttamente quello che ci serve, ma lo calcoliamo attraverso una formula

(misura indiretta). Per esempio, per trovare l'area di un rettangolo misuriamo la base () e l'altezza

().

Se ha un errore e ha un errore , qual è l'errore dell'area

?

L'errore finale si trova sommando gli errori dei singoli elementi "al quadrato", esattamente come nel

Teorema di Pitagora:

Se l'operazione è una somma o differenza ( l'errore risultante è:

• = + ),

2 2

√

= +

Questo concetto (basato sulle derivate parziali per funzioni complesse) garantisce che gli errori

casuali non si sommino semplicemente l'uno all'altro in modo pessimo, ma tengano conto della

probabilità che si compensino a vicenda.

8. Principio dei Minimi Quadrati

È la pietra angolare di tutta la compensazione delle misure moderne.

Quando abbiamo più misure di quante ne servirebbero rigorosamente per risolvere un problema

(misure ridondanti), i dati saranno leggermente in contraddizione tra loro. Il Principio dei Minimi

Quadrati dice che il valore ottimale da scegliere è quello che rende minima la somma dei

quadrati degli scarti (moltiplicati per i rispettivi pesi):

2 minimo

∑( )

⋅ =

Perché al quadrato? Perché in questo modo gli scarti positivi e negativi non si annullano a vicenda e

si penalizzano molto di più gli errori grandi rispetto a quelli piccoli.

9. Distribuzione Bidimensionale

Fino ad ora abbiamo considerato grandezze con una sola dimensione (es. la lunghezza di una linea).

In molte scienze (come la geodesia e la topografia), però, le misure avvengono nel piano o nello

spazio (es. le coordinate e di un punto).

Una Distribuzione Gaussiana Bidimensionale non è più una curva su un foglio, ma una

• "superficie a campana" 3D o una serie di ellissi di errore sul piano.

L'ellisse di errore racchiude la regione all'interno della quale abbiamo una determinata

• percentuale di probabilità che si trovi la posizione vera del punto.

10. Compensazione delle Osservazioni Indirette e Condizionate

Quando si devono risolvere problemi complessi (come le reti topografiche o la posizione dei

satelliti GPS), si usano due metodi basati sui minimi quadrati:

A. Compensazione delle Osservazioni Indirette (Metodo dei parametri)

Come funziona: Esprimiamo le grandezze che abbiamo misurato in funzione di alcune

• incognite che vogliamo scoprire.

Esempio: Misuriamo varie distanze tra punti differenti e usiamo queste misure per trovare

• direttamente le coordinate dei punti.

(, )

Si scrivono equazioni lineari (chiamate equazioni alle osservazioni) e si applicano i minimi

• quadrati per trovare le incognite.

B. Compensazione delle Osservazioni Condizionate (Metodo dei vincoli)

Come funziona: Invece di introdurre nuove incognite, sfruttiamo le relazioni geometriche o

• fisiche note che le misure devono obbligatoriamente rispettare (chiamate condizioni).

Esempio: Se misuriamo i tre angoli interni di un triangolo sul piano, la loro somma deve

• ∘ ∘

fare . A causa degli errori, la somma misurata farà magari La condizione

180 180 00′05′′.

ci dice che dobbiamo redistribuire quei di errore tra i tre angoli per soddisfare la

5′′

geometria del triangolo.

Principi di Geodesia

1. Il Campo Gravitazionale Terrestre e il Geoide

La Terra è in rotazione attorno al proprio asse ed è dotata di massa. Di conseguenza, un punto sulla

superficie terrestre è soggetto a due forze principali:

Forza di attrazione gravitazionale ( ): diretta verso il centro di massa della Terra (legge

•

di Newton).

Forza centrifuga ( ): dovuta alla rotazione terrestre, diretta ortogonalmente all'asse di

•

rotazione verso l'esterno.

La somma vettoriale di queste due forze definisce la Forza di Gravità ().

= +

Superfici Equipotenziali e la Verticale

Il campo gravitazionale è un campo conservativo, il che significa che ammette un potenziale della

gravità ().

Si definiscono superfici equipotenziali (o livellari) i luoghi geometrici dei punti in cui il potenziale

assume un valore costante ( costante). In ogni punto, la verticale fisica (ovvero la direzione

=

individuata dal filo a piombo) è rigorosamente ortogonale alla superficie equipotenziale passante

per quel punto.

Il Geoide

Il Geoide è la superficie equipotenziale del campo della gravità che meglio approssima il livello

medio dei mari a riposo (prolungato idealmente anche sotto i continenti).

Proprietà: È la superficie di riferimento fisica per l'altitudine (quota ortometrica

• ).

Limite geometrico: A causa della distribuzione disomogenea delle masse all'interno della

• crosta terrestre (montagne, fosse oceaniche, variazioni di densità dei materiali), il geoide è

una superficie irregolare e non esprimibile mediante un'equazione matematica semplice.

Per questo motivo non può essere usato direttamente per eseguire calcoli geometrici o

cartografici complessi.

2. L'Ellissoide di Riferimento ed Equazioni Parametriche

Per superare l'irregolarità del geoide, in geodesia si adotta un modello matematico regolare:

l'ellissoide di rotazione (o ellissoide ellittico biassiale), ottenuto facendo ruotare un'ellisse attorno

al suo asse minore (corrispondente all'asse di rotazione terrestre).

Parametri Fondamentali dell'Ellissoide

Un ellissoide è matematicamente definito da due parametri geometrici:

semiasse maggiore (equatoriale)

• : semiasse minore (polare)

• :

Da questi si ricavano importanti grandezze derivate:

−

=

Schiacciamento ():

• 2 2

−

2

=

Prima eccentricità ():

• 2

2 2

−

2

′ =

Seconda eccentricità (′):

• 2

Equazioni Parametriche dell'Ellissoide

Considerando un sistema di coordinate cartesiane geocentriche con l'origine nel centro

(, )

,

dell'ellissoide, l'asse lungo l'asse di rotazione e l'asse nel piano del meridiano di riferimento,

l'equazione implicita è: 2 2 2

+

+ =1

2 2

In forma parametrica, espressa in funzione della latitudine geografica/geodetica () e della

longitudine (), l'equazione diventa: ()

= ⋅ cos ⋅ cos

()

= ⋅ cos ⋅\

{ 2

[() (1 )]

= ⋅ − ⋅\

(dove è la Gran Normale).

()

3. Coordinate Geografiche e loro Misura

Per individuare la posizione di un punto si utilizzano i sistemi di coordinate geografiche. È

fondamentale distinguere tra coordinate fisiche (astronomiche) e coordinate matematiche

(geodetiche).

Tipo di Coordinata Riferimento Direzione di riferimento

Geoide Verticale fisica (filo a piombo)

Astronomiche (Φ, Λ) Ellissoide Normale matematica all'ellissoide

Geodetiche (, )

Definizioni delle Coordinate Geodetiche:

1. Latitudine geodetica (): L'angolo formato dalla normale all'ellissoide passante per il

∘ ∘

punto con il piano dell'equatore. Varia da (Polo Sud) a (Polo Nord).

−90 +90

2. Longitudine geodetica (): L'angolo diedro compreso tra il piano del meridiano di ∘

riferimento (es. Greenwich) e il piano del meridiano passante per il punto. Varia da −180

∘

(Ovest) a (Est).

+180

3. Altezza ellissoidica (ℎ): La distanza del punto dall'ellissoide, misurata lungo la normale.

Deviazione della Verticale (): È l'angolo formato in un punto tra la verticale fisica (ortogonale al

geoide) e la normale matematica all'ellissoide. Questa discrepanza lega l'altezza ellissoidica (ℎ), la

quota ortometrica () e l'ondulazione del geoide ( ) tramite la relazione approssimata: ℎ ≈

.

+

4. Sezioni Normali e Gran Normale

Quando tagliamo l'ellissoide con un piano, otteniamo una curva chiamata sezione.

Sezioni Normali

Una sezione normale in un punto dell'ellissoide è la curva generata dall'intersezione

dell'el