Geometria descrittiva

Proiezione e sezione sono le operazioni fondamentali della geometria

che consentano di passare dallo spazio a una rappresentazione

piana, da un sistema continuo ad un sistema discreto, mediante la

costruzione di un modello geometrico descrittivo.

Questa premessa, fondamento della scienza della rappresentazione,

è facilmente intuibile osservando le ombre portate dal sole o da una

fonte di luce puntiforme.

Il principale sforzo di questi ultimi anni ha avuto come obiettivo

quello di individuare una metodologia didattica in grado di

integrare le tecniche di rappresentazione tradizionali con quelle

informatiche. Lo studio della geometria descrittiva rappresenta,

infatti, un esercizio che consente di analizzare le matrici

geometrico-configurative dello spazio architettonico ed è

indispensabile per la formazione e la preparazione culturale di

ingegneri e architetti.

Per rappresentare sul piano lo spazio tridimensionale continuo è

necessario tradurre la realtà in un sistema discreto, e quindi

definire il modello geometrico che per approssimazione sarà in grado

di descrivere meglio la complessità dello spazio reale.

Il modello geometrico può essere definito utilizzando gli enti

geometrici fondamentali, che nella geometria euclidea sono: ~retta

(insieme infinito di punti allineati avente una dimensione)~punto

(elemento adimensionale) ~piano (elemento con due dimensioni)

Per convenzione i punti si indicano con le lettere maiuscole, le rette

con le lettere minuscole e il piano con le lettere minuscole

dell’alfabeto greco.

Lo spazio della geometria euclidea, costituito da elementi al finito

detti anche Propri, si ampliano con la geometria proiettiva definendo

gli stessi enti all’infinito.

Si definisce punto improprio il punto all’infinito di una retta che ne

definisce la direzione. Per comprendere meglio questo concetto

consideriamo una retta r e un punto O che non appartiene a r,

proiettando da O infiniti punti della retta r otteniamo un fascio di

centro O, ogni retta del fascio proietta un punto della retta r in

particolare essendo la retta r infinita, la retta r1º del fascio parallela

a r proietta il punto all’infinito della retta. Quindi r e r1º si

intersecheranno all’infinito nel punto improprio. Da ciò deriva che

da rette parallele si intersecano nello stesso punto improprio creando

la stessa direzione.

Si definisce la retta impropria: l’insieme di tutti i punti impropri di

un piano, che individua la giacitura del piano. Per comprendere il

concetto si consideri un piano alpha e una retta a parallela ad alpha,

considerando il fascio di piano passanti per a si ha che ogni piano

del fascio intersecherà il piano alpha in una retta che generalmente è

propria. Al limite il piano beta del fascio parallelo ad alpha lo

interseca nella retta impropria definendo così la giacitura del piano.

Giacitura

Il passaggio dallo spazio al piano, sia esso un foglio o uno schermo,

avviene sempre mediante le due operazioni fondamentali della

geometria descrittiva: ~proiezione, ~sezione

Si proietta sempre da un centro di proiezione che può essere un punto

proprio o improprio, oppure da una retta.

In particolare proiettare un punto P da un centro O proprio significa

Che si definisce raggio proiettante.

costruire una retta passante per O e P

Nel caso in cui il centro sia improprio il raggio proiettante è parallelo alla direzione

assegnata.

Per proiettare una retta r da un centro O proprio si costruisce il piano alpha passante

per O e per r che si definisce raggio proiettante. Se O è un centro improprio il piano

proiettante si costruisce considerando ad esempio una retta r avente come direzione

quella del centro O, incidente con la retta in un punto P.

Analogamente per proiettare da una retta un punto che non appartiene alla retta si

dovrà costruire un piano proiettante passante per la retta e per il punto, quindi

proiettare da una retta r una retta a significa costruire infiniti piani passanti per a

e per tutti gli infiniti punti dell retta r. di

punt

di Protezione ~

protezione un cell

o

una - 000

Diano

180

0 -

I

soill Of

I O 2

& Z

P

P ·

· proiett

piano

Fraggio L

-an

proietta

Proiezione e sezione sono quindi le operazioni fondamentali della geometria

descrittiva che ci consentono di passare dallo spazio al piano, in particolare se il

centro di proiezione è un punto proprio la proiezione si definisce proiezione centrale

I

o conica, se il centro di proiezione è un punto improprio l’ora si definiscono

proiezioni parallele o cilindriche. O

· ↳

-

g

# O

-a -

L’operazione di sezione è quella che consente di costruire le immagini degli

oggetti che si trovano nello spazio su un piano. In particolare sezionare con un

piano una retta significa trovare il punto che appartiene alla retta e al piano,

mentre sezionare un piano alpha con un piano beta significa trovare la retta che

appartiene ad alpha e beta.

Per effetto delle due operazioni le figure che compongono gli oggetti subiscono

delle deformazioni, tuttavia esistono alcune proprietà che le conservano e sono dette

invarianti proiettive. In particolare non si conservano, salvo alcuni casi, le

caratteristiche metriche, mentre sono invarianti proiettivi l’appartenenza, la

collinearità e l’incidenza.

Ad esempio da un punto di vista proiettivo se abbiamo un punto appartenente a

una retta, la proiezione del punto appartiene alla proiezione della retta. Se tre punti

A, B e C sono allineati i punti A1ª, B1ª e C1ª (proiezioni di A, B, C) saranno

allineati.

Dal concetto di appartenenza deriva il concetto di incidenza: se due rette a e b

hanno un punto in comune P, esse si dicono incidenti, altrimenti si definiscono

sghembe. Ne deriva che le proiezioni a1, b1 si intersecheranno in un punto P1

proiezione di P. condizioni di appartenenza

·

Incidenza

· O . &

I

O Or

* Pa

·

P b

. al

· P b'

!

- 2

od

I

↓ sghembe

Zell

L' -e

· O

-

Dalle condizioni di appartenenza derivano le proposizioni fondamentali:

~due punti distinti individuano una retta alla quale appartengono

~due rette incidenti individuano un punto a cui appartengono

Analogamente:

~due piani distinti individuano una retta a cui appartengono

~due rette incidenti individuano un piano a cui appartengono

~tre punti non allineati individuano un piano a cui essi appartengono

~tre piani non appartenenti a una retta individuano un punto a cui appartengono

~un retta e un punto che non si appartengono individuano un piano a cui

appartengono

~una retta e un piano che non si appartengono individuano un punto a cui

appartengono

Due rette si dicono parallele se hanno in comune la stessa direzione e quindi

hanno stesso centro improprio. Considerando un punto P e una retta r che non si

appartengono è sempre possibile costruire per P la parallela a r, ne deriva che per le

condizioni di appartenenza, due rette parallele individueranno un piano. Infatti

poiché per tre punti non allineati passa un unico piano, e per due punti passa

un’unica retta, si ha che per due rette parallele passerà un unico piano.

Due rette, non aventi la stessa direzione, possono essere incidenti se hanno un

punto P proprio in comune, o sghembe sé non hanno nessun punto in comune.

Due piani sono paralleli se hanno in comune la stessa giacitura, ciò si verifica

quando considerando due rette a e b incidenti appartenenti ad alpha, esistono su

alhpa1ª le rette a1ª e b1ª incidenti in P1ª, rispettivamente parallele ad a e b.

Poichè la giacitura di un piano è L’insieme di tutti i punti impropri del piano, una

retta a è parallela a un piano alpha quando il punto improprio della retta (cioè la

direzione) appartiene alla retta impropria del piano e quindi alla giacitura.

Ne deriva che una retta è parallela a un piano quando esiste una retta del piano

parallela alla retta assegnata.

parallelismo

di di parallelismo

Condizioni

Condizioni

· ·

rette Tu

tor piocho

all

tra piani a

e

Unor

e

O b Qu

/Roo od

P

b .

↑ L

---o" OUS

b'j ,

Oltre alle condizioni di parallelismo e appartenenza, si possono definire anche le

condizioni di ortogonalità: due piani sono ortogonali quando si intersecano in

una retta propria e dividono lo spazio in quattro diedri uguali.

Due rette incidenti, analogamente, sono ortogonali quando si intersecano in un

punto P proprio e formano quattro angoli uguali di 90•.

Una retta a e un piano alpha saranno ortogonali quando la retta a interseca il

piano alpha in un punto proprio P e quando tutte le rette appartenenti ad alpha

passanti per P saranno ortogonali alla retta a.

Per verificare se piano e retta sono ortogonali è sufficiente verificare che per P è

possibile costruire una retta di alpha ortogonale ad a

tra

ottogonalità rette

tra

piani e

· # Or &

goo

T L

D a

P

A ognabil

Off letto

È tro una

· piano

eu

Tramite le forme fondamentali di proiezione e sezione si generano le forme

geometriche fondamentali: si definiscono forme fondamentali di 1ª specie il fascio

di rette, il fascio di piani, e la retta punteggiata.

~il fascio di rette è l’insieme di tutte le rette di un piano passanti per un punto O

proiettando da O infiniti punti di una retta. O è quindi il centro del fascio.

~il fascio di piani è L’insieme infinito di piani passanti per una retta e si può

ottenere proiettando da una retta r (definita sostegno del fascio ) gli infiniti punti

di una retta a che non sia nè parallela nè incidente con r.

~la retta punteggiata è l’insieme infinito di punti che appartengono a una retta,

si ottiene sezionando un fascio di rette con una retta appartenente al piano a cui

appartiene il fascio ma non passante per il centro del fascio, o sezionando un

fascio di piani con una retta che non sia ne parallela ne incidente con il sostegno

del fascio. punteggial

-

fas retto

rette

ciodi O

·

· ,

100

· O A E

.

B

O C

d

Q 4 L

Si definiscono forme fondamentali di 2ª specie: la stella di rette, la stella di piani,

il piano punteggiato, e il piano rigato.

~la stella di rette è l’insieme di rette nello spazio passanti per un punto O detto

centro della stella e si ottiene proiettando tutti i punti di un piano alpha non

passante per O

~la stella di piani è l’insieme di piani passanti per un punto O e si ottiene

proiettando da O tutte le rette del piano alpha non passanti per O

~il piano rigato e il piano punteggiato, rispettivamente L’insieme di tutte le rette

di tutti i punti di un piano si possono ottenere sezionando una stella di rette o una

stella di piani.

Stella rigato

rette

di piano

·

· O

· L

or fo

,

& ·

00

pY

!

P Cis

p . punteggiato

piano

·

Si definisce proiettività la relazione che lega due forme fondamentali, in

particolare due forme fondamentali di diranno proiettive quando si deducono

l’una dall’altra mediante un numero finito di operazioni di proiezione e sezione.

Ad esempio il fascio di centro O e la punteggiata r1 sono proiettive, infatti per

passare da un elemento del fascio a un elemento corrispondente della

punteggiata è necessario sezionare il fascio con la retta r, proiettare da O1 gli

elementi ottenuti e sezionare il fascio con la retta r1.

Se le operazioni si riducono a 2 le forme si diranno prospettive , nel caso di due

fasci essi si ottengono sezionando il primo fascio con una retta r e proiettando i

punti ottenuti dal centro O1 del secondo fascio. La retta r è così detto asse della

prospettività.

Analogamente due punteggiate a e b prospettive di ottengono proiettando da un

centro O gli elementi della retta a e sezionando il fascio ottenuto con la retta b o

viceversa, in questo caso il punto O di definisce centro della prospettività.

Ne deriva che se due fasci di rette sono prospettivi le rette corrispondenti si

intersecano sull’asse della prospettività, se invece due punteggiate sono prospettive

i punti corrispondenti saranno allineati con il centro di prospettività.

Po

O

Proiettività spettività

I

.

I

· ·

I

O Q

C 2 O

L b

O

Y

Jo 2

&

B ·

iz B

A C

..

↓ A

O Ca

be .

· A

Ore bac1

Xe

X 02

= ⑳

Ay10Cs b

B

As

21 ·

.

Os 01

Due piani sono prospettivi quando possono essere dedotti l’uno dall’altro mediante

due operazioni: una proiezione e una sezione.

Se si considera un piano alpha e un piano beta proiettando da un punto O non

appartenente ai due piani, una figura di alpha sul piano beta si ha che la figura

di alpha e la figura su beta saranno legate da una relazione di prospettività di

centro O e asse s, dove s è l’interazione di alpha e beta.

In questa relazione si ha che i punti corrispondenti sono allineati con il centro O

della peospettività, mentre le rette corrispondenti si intersecano sull’asse di

prospettività. La retta s è infatti fatta da punti uniti che appartengono sia ad

alpha che a beta. Se consideriamo sull’asse un punto X0 appartenente ad alpha il

corrispondente punto X proiezione di X0 su beta, coinciderà con X0.

Il prodotto di due prospettività si definisce omologia piana, che si avrà quando

una figura T(teta)0 appartenente ad un piano alpha è proiettata da due centri

distinti su due piani sovrapposti. Le due figure T e T1 si diranno omologhe.

Si dimostra che in un’omologia valgono le proprietà:

~ punti corrispondenti saranno allineati con il centro dell’omologia S

~rette corrispondenti si intersecheranno sull’asse dell’omologia.

Il centro dell’omologia è un punto unito ed è la proiezione del punto S0

appartenente ad alpha dai due centri di prospettività distinti.

S0 si determina come intersezione della congiungente dei due centri di

prospettività con il piano alpha e si ha che s e s1 trovandosi sulla congiungente

dei due centri , rispettivamente proiezioni di s0 da O su beta e da O1 su beta1

saranno coincidenti, quindi il centro dell’omologia è un punto unito.

B L 1

OMOLOGIA

Due piani sono proiettivi quando possono essere dedotti l’uno dall’altro mediante

un numero finito di operazioni di proiezione e sezione.

La corrispondenza biunivoca che lega due piani proiettivi è detta omografia.

Un’omografia tra due piani sovrapposti ma non incidenti è detta omologia piana

quando esiste una retta di punti uniti e un fascio di rette unite.

In questo caso i due piani sovrapposti beta e beta1 sono la proiezione di un terzo

piano alpha da due centri di prospettività distinti, quindi il piano alpha è il piano

beta sono prospettivi di centro O e asse s, mentre il piano alpha e il piano beta1

sono prospettivi di centro O1ª e asse s.

In un’omologia piana l’asse è una retta di punti uniti che coincide con

l’intersezione di alpha, beta, e beta1. Mentre il centro S è un punto unito e si

determina come intersezione della congiungente dei due centri della prospettività

con i piani omografici sovrapposti beta e beta1.

L

omogaior B

⑳ S T

Pi

.

.

11 ·

P" O"

·

In un’omologia piana valgono le seguenti relazioni:

~rette corrispondenti si intersecano sull’asse

~punti corrispondenti sono allineati con il centro dell’omologia

Per dimostrare la prima relazione consideriamo una retta r0 che appartiene al

piano alpha, proiettando r0 da O su beta otteniamo la retta r, proiettanti r0 da O1ª

su beta1ª otterremo la retta r1ª. La retta r0 interseca l’asse in un punto x0, si

dimostra che tale punto è un punto unito infatti x0 coincide con x1ª e X. E quindi

le rette r1ª e r si intersecano sull’asse nel punto unito X.

Per dimostrare la seconda proprietà si consideri un punto P0, che appartiene al

piano alpha e ha la retta a0 passante per s0 e per P0 (dove s0 è l’intersezione della

congiungente ai due centri di prospettività con il piano alpha.

Le due omologhe della retta a0, a1ª e la retta a sono due rette sovrapposte ma non

coincidenti, infatti se la retta a0 passa per il punto s0 e punto P0, la retta a dovrà

passare per il punto P e per il punto S e la retta a1ª dovrà passare per il punto P’ e

S’.

Inoltre dovranno passare per il punto Y che è il punto di intersezione di a0 con

l’asse.

La retta a1ª e la retta a hanno quindi due punti uniti in particolare il punto di

intersezione delle tre rette con l’asse (il punto Y) è il punto S, di conseguenza le

due rette sono sovrapposte ma non coincidenti e hanno due punti uniti Y0

coincidente con Y1ª e Y, e il punto S coincidente con il punto S1ª =

Bz2

L’omologia si definisce generale quando sia l’asse che il centro sono punti propri.

Si possono presentare diversi casi:

~omologia speciale quando il centro si trova sull’ asse

~un’affinità quando il centro è un punto improprio

~un’omotetia quando l’asse è una retta impropria

~una congruenza o traslazione quando sia il centro che l’asse che il centro sono

impropri

Un’omologia &eg