Tabelle di Geometria sui sistemi e altro

Applicazioni Lineari

mercoledi 21 gennaio 2026 09:47

1. Scrivere 2 vettori V1 = (x1, y1, z1) e V2 = (x2, y2, z2)
2. Sommarli tra loro V1 + V2 = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)
3. Sostituire in f(V1 + V2) = funzione traccia
4. Verificare che f(V1) + f(V2) = f(V1 + V2)
5. Scrivere lambda v = (lambda x1, lambda y1, lambda z1)
6. Sostituire in f(lambda v)
7. Verificare che f(lambda v) = lambda f(v)

Matrici Associate

mercoledi 21 gennaio 2026 09:55

1. Scrivere M^A_B(f) = dove A = BASE Insieme Partenza, B = BASE Insieme Arrivo
2. Scrivere le Basi di A e B (CANONICHE se non specificate)
3. Trovare f(v_i), 1 per ogni VETTORE della Base di A dove sostitiamo quei valori in f(x,y,z) + tr=cc.
4. Poniamo per ogni incognita x vettore B = f(v_i)
5. Eseguiamo il Sistema
6. Mettiamo le incognite Trovate nelle Colonne di M(f)

Se Basi Canoniche <=> f(v_i) = Colonne di M(f)

Autovalori

mercoledi 21 gennaio 2026 10:06

Endomorfismo A = B = Z

1) Troviamo Matrice associata = M(f)

2) Troviamo Matrice H = M(f) - lambda I_z

3) Calcoliamo il det. H o P(lambda) o Polinomio caratteristico

4) Poniamo det. H = 0

5) Calcoliamo e quindi Troviamo i lambda = Autovalori (lambda != lambda_m => Endomorfismo semplice)

Autovettori

mercoledi 21 gennaio 2026 10:13

1. Trovare Autovalori
2. Poniamo f(Vm₂) = λVm₂
3. Poniamo H · (xyz) = 0
4. Svolgiamo Sistema per ogni Autovalore
5. Determiniamo le Soluzioni e una Base = Autovettore

Immagine & Nucleo

mercoledi 21 gennaio 2026 10:17

dim. Im(f) = r(M(f)) = m COLONNE !=0 INDIPENDENTI

dim. Ker(f) = dim. A - dim. Im(f) m RIGHE !=0 INDIPENDENTI

Molteplicità Algebraica & Geometrica

mercoledi 21 gennaio 2026 10:20

m_A = quanti: λ = λ si ripetono

m_G = m incognite dell'AutoVettore - m equazioni del Sistema

Endomorfismo Semplice <=> Sigma m_g = Z

<=> m_A = m_g

1 <= m_g <= m_A

Matrici Diagonalizzabile

mercoledi 21 gennaio 2026 10:27

A diagonalizzabile ? P (det. P + 0) Endomorfismo Semplice

P^-1 A P = D (Matrice Diagonale)

colonne ?

Diagonalizzabile M_A = Mg

1o) Trovare H

2o) Trovare P(lambda) = 0 (Autovalori)

3o) Svolgere H(lambda) -> Sistema (Auto Vettori)

4o) Trovare P = Autovettori in Colonna

5o) Scrivere D = Autovalori in Diagonale

6o) Calcolare P^-1 = 1/|P| * B^T dove B -> Laplace 1 e 1

Prodotto Scalare & Vettoriale

mercoledi 21 gennaio 2026 12:17

V = (x₁, y₁, z₁)

W = (x₂, y₂, z₂)

V . W = x₁ . x₂ + y₁ . y₂ + z₁ . z₂ ScALaRe

V x W = det = (i, j, k) VeTToRiAle

Eq. Retta

mercoledi 21 gennaio 2026 12:22

Parametrica

P₀ + tv =

x = x₀ + at

y = y₀ + bt

z = z₀ + ct

III modo

t = (x - x₀) / a = (y - y₀) / b = (z - z₀) / c

Cartesiana

ax + by + cz + d = 0

a'x + b'y + c'z + d' = 0

v = (a, b, c)

P₀ = (x₀, y₀, z₀)