Tabelle di Geometria su rette e piani

Posizione Rette e Piani

mercoledi 21 gennaio 2026 12:29

Siano r e r' due rette in R³, aventi rispettivamente come vettori di direzione v e v'

1. Le due rette sono parallele se v e v' sono un multiplo dell'altro

(v x v' = 0) (r r' → 0 Sol)

2. Le due rette sono incidenti se si intersecano in un punto

(v x v' = 0) (r r' → 1 Sol)

3. Le due rette sono coincidenti se si intersecano e v e v' sono uno multiplo dell'altro

(v x v' = 0 e v' = tv) (r r' → inf Sol)

4. Le due rette sono sghembe se non si intersecano e v e v' non sono uno multiplo dell'altro

(v x v' ≠ 0 e v x v' ≠ 0) (r r' → 0 Sol)

4 eq. - 3 incogn. (Matrice 4 x 3)

Rango A Rango A' Rango A''

=> INCOMPATIBILE (0 Sol.) (2 rette SGHEMBE)

=> 1 Sol. INCIDENTI

=> INCOMPATIBILE (0 Sol.) (2 rette // tra loro)

=> COINCIDENTI (∞ Sol)

Reciprocita Rette

mercoledi 21 gennaio 2026 12:30

1) Date 2 Rette Parametriche

2) Trovare Vettori delle 2 Rette

3) Trovare l = V' / V = a' / a = b' / b = c' / c

4) Se Trovato, Verificare l = d / d

Si -> Rette Coincidenti

No -> Rette //

5) Se Non Trovato, Svolgere Sistema {z = z' -> 1 Sol -> Incidenti

-> 0 Sol -> Sghembe

1) Date 2 Rette Cartesiane

2) Creare A e A'

A = [ a b ca' b' c'a'' b'' c''a''' b''' c''' ]

A' = [ a b c da' b' c' d'a'' b'' c'' d''a''' b''' c''' d''' ]

3) Identificare Tipo Retta -> z(A) e z(A')

4) Trovare le Soluzione

Retta Passante per P e Ortogonale a Retta

mercoledi 21 gennaio 2026 12:48

1⁰) Data 1 Retta Parametrica

2⁰) Trovare il suo Vettore

3⁰) Creare Q = (x, y, z) della Retta Parametrica

4⁰) PQ = (x - x_p, y - y_p, z - z_p) Questo e' il vettore della Nuova Retta

5⁰) Troviamo t -> V'.V' = 0

6⁰) Sostituiamo t in V'

7⁰) Scriviamo la Nuova Retta S:

• x = x_p + a'.k
• y = y_p + b'.k
• z = z_p + c'.k

Eq. Piano

mercoledi 21 gennaio 2026 12:56

pi : ax + by + cz + d = 0 Cartesiana

d = -axo - byo - czo d = 0 => pi passa per O

v ⊥ pi

v = (a, b, c)

Piano Passante per 3 Punti

mercoledi 21 gennaio 2026 12:59

1) Trovare AB e AC

2) Se V l pi => V l AB e AC ⇔ V = AB x AC

3) Scrivere pi trovato V

4) Scrivere pi passante per A,B,C. Basta sceglierne 1 e Trovare d

Passaggio Retta Cartesiana => Parametrica

mercoledi 21 gennaio 2026 13:06

1o) Prendere 1 tra x, y, z e porre =t

2o) Svolgere il Sistema per trovare le altre 2 variabili NON SCELTE

Passaggio Retta Parametrica => Cartesiana

mercoledi 21 gennaio 2026 13:08

1. Eguaglio t ad 1 delle 3 variabili
2. Sostituisco e svolgo il Sistema

Distanze

mercoledi 21 gennaio 2026 13:11

PUNTO- PUNTO

d = sqrt((x₀ - x₁)² + (y₀ - y₁)² + (z₀ - z₁)²)

PUNTO - PIANO

d(P,pi) = |ax₀ + by₀ + cz₀ + d| / sqrt(a² + b² + c²)

PUNTO- RETTA PARAMETRICA

pi(P) l v_r

1. Da r ricavo v_r e scrivo pi
2. Trovo H punto, eseguendo a Sistema { r -> sostituisco t e trovo H = (x, y, z) pi -> ricavo t }
3. d(P, H) = DISTANZA PUNTO- PUNTO

Distanza Piano-Piano

mercoledi 21 gennaio 2026 13:20

1°) Dati 2 Piani π, α

2°) Sappiamo V(π) // V(α)

3°) Troviamo λ = V(π) / V(α)

4°) Verifichiamo d(π) / d(α) = λ

Si congruenti

No //

5°) Se // => d(π, α) = d(Pπ, α)

6°) Troviamo Pπ ponendo x = 0, y = 0 e sostituisco in π

7°) Pπ = (0, 0, z)

8°) Distanza Punto-Piano