Geometria - Teoria

Teoria geometria

1. Dipendenza e indipendenza lineare

Dipendenza lineare

Due vettori sono dipendenti se uno è multiplo dell'altro.

→v1=(1,2), v2=(2,4) infatti si può scrivere v2=2v1

Indipendenza lineare

Due vettori sono indipendenti se non sono paralleli.

→v1=(1,0), v2=(0,1) uno punta verso destra, l’altro verso l’alto.

Nel caso di tre vettori sono indipendenti se non stanno tutti sullo stesso piano: (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1).

Sono dipendenti se uno dei tre è combinazione degli altri due, i tre restano nello stesso piano.

2. Sistemi di equazioni lineari

- Cos'è un sistema lineare? Un sistema di equazioni lineari è un insieme di equazioni di primo grado nelle stesse incognite. Può essere scritto in forma matriciale come: AX = B, dove è la matrice dei coefficienti, il vettore delle incognite e il vettore dei termini noti.

- Cos'è il rango di una matrice? Il rango di una matrice è il massimo numero di righe o colonne linearmente indipendenti. Il rango misura quante informazioni indipendenti contiene la matrice.

- Enuncia il teorema di Rouché-Capelli. Un sistema lineare è compatibile se e solo se il rango della matrice dei coefficienti coincide con il rango della matrice completa: rk(A)=rk(A∣B)

- Quando un sistema è compatibile? Un sistema è compatibile quando ammette almeno una soluzione. Può essere compatibile determinato (1 soluzione), compatibile indeterminato (infinite soluzioni) e incompatibile (non ha soluzioni).

- Cos’è il metodo di Gauss? È un procedimento che trasforma la matrice del sistema in una forma più semplice mediante operazioni elementari sulle righe.

Le operazioni consentite sono:

• Scambio di due righe;
• Moltiplicazione di una riga per un numero non nullo;
• Somma di una riga con un multiplo di un'altra.

Il metodo permette di determinare il rango e trovare le soluzioni del sistema.

- Differenza tra sistema omogeneo e non omogeneo? Un sistema è omogeneo quando tutti i termini noti sono uguali a 0. Se messe a sistema: 2x+y−z=0; x−3y+2z=0; 4x+y=0. Un sistema è non omogeneo quando almeno un termine noto è diverso da 0. Le soluzioni possono essere compatibile determinato (una sola soluzione); compatibile indeterminato (infinite soluzioni); e incompatibile (nessuna soluzione).

- Cosa sono le variabili libere? Le variabili libere sono le incognite di un sistema che non vengono determinate univocamente dalle equazioni. Possono assumere qualsiasi valore e le altre variabili dipendono da esse. Esempio: x+y=3 x=3−y; se y=0, allora x=3; se y=1, allora x=2 ….

- Cos'è il nucleo di un'applicazione lineare? Il nucleo (o kernel) di un'applicazione lineare è l'insieme di tutti i vettori che vengono trasformati nel vettore nullo.

- Quando un'applicazione lineare è iniettiva? Un'applicazione lineare è iniettiva se e solo se il suo nucleo contiene soltanto il vettore nullo:

3. Spazi vettoriali

Uno spazio vettoriale è un insieme di elementi chiamati vettori sul quale sono definite due operazioni:

1. Somma tra vettori
2. Moltiplicazione di un vettore per uno scalare (numero reale)

Che soddisfano determinate proprietà.

In Piano cartesiano: ℝ = (, )

Esempio: (1,2) + (3,4) = (4,6)

2(1,2) = (2,4)

In Spazio tridimensionale: ℝ = (, , )

Esempio: (1,0,2) + (3,1, −1) = (4,1,1)

Proprietà fondamentali

Per ogni vettore ogni scalare, , e , :

Somma

Commutativa

• + = +

Associativa

• ( + ) + = + ( + )

Esiste il vettore nullo

• +0 =

Esiste l'opposto

• + (−) = 0

Sottospazio vettoriale

Un sottoinsieme di uno spazio vettoriale è un sottospazio se:

1. Contiene il vettore nullo.
2. È chiuso rispetto alla somma.
3. È chiuso rispetto alla moltiplicazione per scalare.

W={(x,0)} è un sottoinsieme di uno spazio vettoriale V perché soddisfa le condizioni.

Combinazione lineare

Una somma di vettori moltiplicati per coefficienti