Appunti Geometria II

Numr geometria piano punti omogenei

NumrGEOMETRIA PIANO PUNTIO MOGENEENEL COORDINATE IMPROPRI,Vettori prodotto 1)y) (2(xlscalare e A .To==, ,,, inespresso Coordinate OMOGENEE :I- Ay .1(x)i t) tA + 0con== , ,-...m)(l 2 =Ex-b)(aV oppure x= =P,, T-----O N !V 1)( 2+ + -7= , aX 1)(22 2) tutte equivalenti141 2 ,, ,punto ,Ptrasliamo ,nello : è puntot IMPROPRIO :0 un=( 1)2- , Poparallelialtri y(Xsettori 0) (1 !: 0)= es IMPROPRIO2,, . ,,( 2)2 Possiamo4 ++= inanche coordinateesprimerei, 1)3 ( Pe2 Plano- prolettivo= NelCOMPLESSE Complesso- ,Esempio P ( i) i3(1oQ i)be)(02Tz 5= =# br) -(an -=e , ,,= , ? im/I coordinateomogeneequando :2es P(1 1), ,- improprioaltro puntoun :l 2)Ve4) (1# ( ie 0)(1 != C improprio= ,. = , ,!21

Distanza si due punti

DISTANZASi DUE PUNTITra (XB YB)Ya)(aA Bes =2 = ,,. 6)(53)(0# distanza. =2a := ,23 ! YB)XB)No (Xa (Ya+ --5perpendicolarirette Equazione RETTA: Dellaper Po1 tz ethe d(a (2 m)= = ,, .,ba)(e2uzbr)(enIn P=e (X y),= , = ,prodotti delleprodotto è sommalascolare deiil PPo//v- omonimeComponente &C:

Forma parametrica

PARAMETRIAFORMAbibe <Un 42) 0anaz + = =, Ex tutti puntila iatterrà+Xo della= rettae y yo mX+=(in 5) 3)((3 5=e= , , Es(4 15(2) 15 0+= =- P, rettoresubitotrovare perpendicolare puosiper unfare cosi : L# 7)(2 ↳ di (10)dellareri retta= -one, dicambiareparametriinvertire (1segnoi di passaggio 0)puntoebisognaora =laduesolo dei partoinformauno : cortesiana novendo .-:ovvero#2 =,(7 2) 0== , 4a by+ c+ + 0=-2X 2x= +

Forma cartesiana

CARTESIANA=- y-4 FORMA0=chiamatiedl DIRETTORIPARAMETRIsonoe mEserciziomeglioAnalirrando :inly bymx sostituisco0o +mx ?- - A (2= 0) 2 oEs y conecon=Iby ,ax c+ + 0= !3) APPARTIENE2-2(2 m)e(m o 0e) + =-, , Pa(a b) r ( -w 01 1== , , ,quindi due parallelerette quandosono * E Costituendo+ 2 = X y+ 2t- 0 0= =- := !1 APPARTENE1 + 0 0=---

Coordinate proiettive

Coordinate proiettive PUNTI INTERSEZIONEDiper TRA DUE RETTEby by 2 1-4y2xXax 05a 2 e+y 0ct ==+= +0c 0+ --==+ s'(2 4)r'(1 12) s>+ e =c= -,-,VALE 4) 11eSOLO (2PIANO quindiNEL (1 2)quindi Il r ,,Esercizio ?queste rette allesono Ecome: =E2) 3) 2x+ y 0=- parametricain formal'equazionericovareper↓ e2 5 S[x1x) (ascrivo b)mbito yla retta -(0 =+ , - =>Yy# (1 =perció1) ) +== 1 sC :1 , ,= sTr 1)(1 (l(1 (21) (2 m)z 1) m)c (2 1)= = =-, =, ,, ,1m ,= l'origine (279)l'origine passanon peranche in coordinateperrosse omogenee5t& E2y 0+ yoX = sePRODOTTO 0SCALARE -N sottraian=i: (proficoidede ean t 04y2x =r Te - -1-1= 0. = &=IMPROPRIOMono PERPENDICOLARI CEQUIVALENTE 20 e)SEformaforma cartesiana in cortesianain 2ys2 &: X: = volarediamo salecincognita unda alibera yx 2+ y 0=-X y 0= esempio- nullo,non& (2 0) Por1, ,E = SI Quando parallele,INCONTRANO puntodur ilrette capireNEL sono perpunto proprio (1 1) intersezionedi direttoriparametridirettamente i, sonodalla forma cartesiana quella parametricapassareper e

Fasci reti

FASCI RETTEDIun'incognitascegliete libera,parametro #un ·by ct2) ax + 0+ =.& beyEx a cetx1) ++ 0, =funzioneinesprimo dila x- h(ax c) (et)k(anxby biy+ +++ + 0=EX 1 intersecherannoinsr= ela primaconfronto rettaora con r :112 proppoin puntoy a-= m mite[t 11 [= sostituendo passanti= Po1 + : per2-= r//e interscherannosiseE Sen 1)PintersezioneHe~ Poltin ,PUNTO, oIMPROPRIOun %o,?PARALLECESONO ESERCIZIO3r)x (xt M+ yex ++y 00 = (A (0 1)21= 1) B = (-- 2)= - = :, , 21 ,y =1)EV (11)(1 + e+ r == ha- chedato(l m),, (1s non2): =/b/r ,1) di(1 1) coefficenti(1 punto, , B= -=, , 0 ·10E èpomaggio2Xs , -incontrerannoquindi Qpunto (t Z1)si proprioin un i= &(1X = y=> 12x 0+ =-(x y 1 0X 2- =- tsottraggo ris+ 3y + 0= ?dadistanzaFaço)2 rs+ - 2 0= ·(Po 2)1- -=X 1 =,= - d(0 1).Y --2=quindi intersezionedipuntoPo: a "n" panante3t)h(X t) k(x QPo 0) retta(1 (2 3)+ 0y + 2+y e- ver=- = = ,, ,

Determinare perpendicolare

Determinare perpendicolarela alhvoglio falciopassiK tali che retta eePo che 1)(2 Evia 2Q diparametri retto0 perciò direttoriper X= i= sono :una, , . 3y -= b)b)X(a(ak(21)h(2 3) ,0+ ++ 00- = ,- ↓ :h5k12 t5k>0 a)b)(0 >+ =b== u= commo=+- , ,(xt)5k(x 3t)++ y +y 0= 1X- -- x+ 1y -=- 4VXby 44x 2y2y8t +0 X+ + 0++ = =- -=4t3y 02x =-- 3t)h(xfacio -t) k(xildoto· + 0y + +y- =determinare impropriopuntoilretta panantela perPo (1 0)0= , , *h(1 3(0))k(10) 0+0 o+ + =- - h kkh 0 > -+ === 3t)k(xt)k(X 0+ y ++ =y --- E2x 4t 0=-2tY 0+ =

Distanza retta punto

DISTANZA RETTAPUNTO .by+ cax 0+ =(Xo yoPo = ,distanzelo ilè regmentominore che Porcollegaby +d(Po r) =, 22 b2+Es .2) Po (3y 1x 0 2)1- =- = -,e)d (Po 11-1)+E=,

Geometria nello spazio

EGEOMETRIA SPAZIONELLO passanteT per ipianol'equazione deldeterminareEn 00Oxyz I 10 1)(00 0 0 0= =, . .. .--P A 1)(1 A 1)(Xp &zp) -P (1- 12 2=↑yp - -=, ,M= ho, ,, , A'sottratto, Becon!C (1Bo 0p - 1I 1(Xp A'o Briscrivo poiXt)zp o,yp , ,= , , , 0d'ax byS d Solo+ (z+t 0+ + =0 I=zp= 1axthyt(zEyp == d -+a+ =0=Xp = ba+ cB'ax + 0=dby (z++ 0+ =Es =E2)(3P (3 (61)p5 5 272 -10- - =- 4= = doa valore, . 2(y, , CCz3X, ++ non, 0 un, =, -m)(lT esempio, 1come== m o,, Sm=ll Smm m= 2y= 3x z++ 0,w ,(en =-wil= mn, l'equazione pianodelquesta, è

Piani paralleli

PARALLELI : passante A B 0percostanteT I < ,se ,= Es(1 3)= 2= - /l,, poiche coefficente portantel'equazione pianol steno Tdi delhanno trova persono :m n= (2 6) , ,4 -= proporzionalità, , (x) A (2 (0 (0C0) B 1)0)0 01 === ., ., , ,

Piani perpendicolari

PERPENDICOLARI c)(a b: m = #, ,I v w 0e =. by dax 0+ cz+ + =l (1. + 0m mi + m m =. Al. AB + Me sonoTeramo↑ +(2 1) 0V1= (2)2, Ac ((0, 1)1 0)1 01+ + 2. . = 2 1 00= 0. = -= --(1 -a) ,,2= , .- 0), AB, (0 2 1 00 ( 0-- - = 2 1= , . - , ,

Piani nello spazio

PIANI NELLO SPAZIO prodottofaccio scalareil trovare nperiMI-by --dt+ cz+ El-2aax 0+ T SeE= + 0c = G1 +52x zy 0+ bZa =AB- 0- += -Y =?P -2)(1 Ent0= d2yX+ 2z+ + 0,, =oX Pet facendoloattengo puntoprendendo qualsiasial pararee2 un52 -- = l'equazione diner esempioIT Biquest'equazione perarrivati partendo dai ,siomo a d d perció2 0+ >= = -2= :Po (0 mazo)%o= # X 2y 2z+ + 2 0=,, - - =-/PP (x z) ·y E= , PIANI, Po PARACCELLPop (X-Xo E-zo)Y-Yo= #1, y2x 37, 58++ 0-= =c)b(am = , #z 6z, 7384x 02y =+ -= -PopquindiIPoP 0n.n = (21M1 (1)br= , ,Pop. a(x Xo) c(zb(y yo): zo)m + +- Mz (2)bc(220- - = = ,.by- costanteX-axo termine nota da + nelli //Izriassumo vedere(z-(zo+ per MrTr devanose M20 <overe :e=- EzVbyax d+ cz =+ + 0 costante= n =pianovettore +alcomponenti dellesono= W/Izin(2 1)m 1-= , , EsnZ

Retta nello spazio

RETTA NELLO PSPAZIO I- ~Oxyz ·T Po zo)(Xo Yo- , ,(lmv >-m) ! Y= ,I ZPop zo)(x y Yo zX0= - - - I -1 I, o, IA) 0=A21(yX +xo :== INCIDENTI COMPLANARIsonoyo o++= mz mtzo += 2001-# -l'intersecazioneCon di due - c'è colonna di 0V unapiani ottiene rettasi una determinante èil O semprelanche 0)dirigaEs Perrealtà ciòrettequeste vederein parallele.sonoE perA trovareAeBpana sola tra bisogna parametri direttoriuna i~[Es1 (lX m)r= (0 1)m(l 0=,,n(r (1 ,1) ,1m = -, ,, , IA042 +ex = 0(l 1)me 0+ m = ,, .,E GE S -Oilvoglio trovare piano it cheora .x1z 3z3 + = -= contiene entrambe rettele .?indietrotornarecome IindividuatoSappiamo èche pianoun 2Imme{{t Fr punti distintida 3prenonperx113 puntiprendiamo1z dalla+ (asez)retta== 2- :r

Quando due rette sono

QUANDO Due Rete I oSono BI:I// (2quando 0 0)P 10 B 1costX2 sonos 1 0e == = , ,, ,weReu 01)le P2 (0whe Oil 0(R =m= col =m . ,. ,,, S2 FA(lPa /d) 0(0 NPonm= ,, 1, 0= ,, . ·O0 %10Tquando 0 ↓o =1s =Te sono . ..(0 1)A 0=we , ,wbr (e CeleCl memetmens0 o= +m =m ., ., (2 0)B 1= ,,RETTE SCHEMBE 0 1)(0 0= ,,Due rette si dicono eghembe quando hanno aumnon B (2 %1= , ,punto in comune c)(0 bm = , ,E DayE by dzd +acx+ czax + +C z che+ dato A+ 0 0 chedato B= 0= 0= :m. = :nS .& b3y a(0) ((1)23x b(1)+ a(2)b(0)dby c(0)enx ++o +Cz Czz dz ++ 0++ + 0+= = =0= SSeb e(A) =rangoeb e =>II SGHEMBE 0=determinante