Algebra Lineare e Geometria - Corso completo (Parte I)

Algebra Lineare e Geometria — Corso Completo (Parte

CO R S O D I L A U R E A T R I E N N A L E I N M AT E M AT I C A / F I S I C A / I N G E G N E R I A

I)

Capitolo 1: Spazi Vettoriali, Indipendenza Lineare e Basi Docente: Prof. [Nome Docente]

1. STRUTTURA DI SPAZIO VETTORIALE

Sia un campo (tipicamente o ). Uno spazio vettoriale su è un insieme non vuoto dotato di due operazioni

K K V

ℝ ℂ

interne/esterne: la somma e il prodotto per uno scalare , che soddisfano gli 8 assiomi

+: V × V → V ·: K × V → V

fondamentali (commutatività, associatività, elemento neutro , elemento opposto, e proprietà distributive).

0

V

2. COMBINAZIONI LINEARI E GENERATORI

DEFINIZIONE 2.1 — SPAN E SISTEMA DI GENERATORI

Sia un sottoinsieme finito di vettori.

S = {v , v , ..., v } V

1 2 k ⊂

Un vettore si dice combinazione lineare dei vettori di se esistono scalari tali che:

v V S λ , ..., λ K

1 k

∈ ∈

i=1k

v = λ v + λ v + ... + λ v = ∑ λ v

1 1 2 2 k k i i

L'insieme di tutte le combinazioni lineari si indica con o ed è il più piccolo sottospazio vettoriale

Span(S) L(S)

di contenente .

V S

Se , l'insieme si dice sistema di generatori per .

Span(S) = V S V

3. INDIPENDENZA LINEARE

DEFINIZIONE 3.1 — VETTORI LINEARMENTE INDIPENDENTI

I vettori si dicono linearmente indipendenti se l'unica combinazione lineare che dà il

v , v , ..., v V

1 2 k ∈

vettore nullo è quella con tutti i coefficienti nulli: ⟹

λ v + λ v + ... + λ v = 0 λ = λ = ... = λ = 0

1 1 2 2 k k V 1 2 k

Se esistono scalari non tutti nulli tali che la combinazione dia , i vettori si dicono linearmente dipendenti.

0

V

4. CONCETTO DI BASE E DIMENSIONE

DEFINIZIONE & TEOREMA 4.1 — BASE DI UNO SPAZIO VETTORIALE

Un sottoinsieme ordinato si dice base di se soddisfa le seguenti due condizioni

B = (v , v , ..., v ) V V

1 2 n ⊂

equivalenti:

1. è un sistema di generatori per ed è costituito da vettori linearmente indipendenti.

B V

2. Ogni vettore si scrive in modo unico come combinazione lineare dei vettori di .

v V B

∈

Il numero di elementi di una base (che è un invariante per lo spazio ) definisce la dimensione dello spazio

n V

vettoriale, indicata con .

dim (V) = n

K

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5. TEOREMA DI ESISTENZA E COMPLETAMENTO A BASE

TEOREMA 5.1 — TEOREMA DEL COMPLETAMENTO A UNA BASE

Sia uno spazio vettoriale di dimensione finita .

V n

1. Sia un insieme di vettori linearmente indipendenti in con . Allora esistono vettori

{u , ..., u } V r < n n - r v ,

1 r r+1

tali che sia una base di .

..., v V B = (u , ..., u , v , ..., v ) V

n 1 r r+1 n

∈

2. Da ogni sistema finito di generatori per è possibile estrarre una base di .

V V

IDEA DELLA DIMOSTRAZIONE (ALGORITMO DI SCARTO/AGGIUNTA)

Se , esiste almeno un vettore . Si verifica facilmente che l'insieme

Span(u , ..., u ) ≠ V v V \ Span(u , ..., u ) {u ,

1 r r+1 1 r 1

∈

è ancora linearmente indipendente. Ripetendo il procedimento al più volte, poiché la

..., u , v } n - r

r r+1

dimensione è , il processo si arresta ottenendo una base.

n

6. ESERCIZIO UNIVERSITARIO GUIDATO

Problema: Nello spazio vettoriale , si considerino i vettori e .

3 T T

v = (1, 0, 1) v = (2, -1, 0)

ℝ 1 2

1. Verificare che e sono linearmente indipendenti.

v v

1 2

Completare l'insieme a una base di .

2. 3

{v , v } ℝ

1 2

RISOLUZIONE DELL'ESERCIZIO

1. Indipendenza Lineare: Impostiamo l'equazione vettoriale :

λ v + λ v = 0 3

1 1 2 2 ℝ

T T T ⟹

λ (1, 0, 1) + λ (2, -1, 0) = (0, 0, 0) \begin{cases} λ + 2λ = 0 \\ -λ = 0 \\ λ = 0 \end{cases}

1 2 1 2 2 1

La seconda riga dà subito , da cui segue . L'unica soluzione è quella banale, quindi e sono

λ = 0 λ = 0 v v

2 1 1 2

linearmente indipendenti.

2. Completamento a Base: Affianchiamo ai vettori dati la base canonica di , ossia

3 T

e = (1, 0, 0) , e = (0, 1,

ℝ 1 2

, e costruiamo la matrice:

T T

0) , e = (0, 0, 1)

3 A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Riducendo a scala con l'algoritmo di Gauss (operazione , poi ), otteniamo che i primi

R → R - R R → R - 2R

3 3 1 3 3 2

due pivot cadono sulle prime due colonne ( ) e il terzo pivot cade sulla terza colonna ( ).

v , v e

1 2 1

Pertanto, l'insieme costituisce una base ordinata di .

3

B = (v , v , e ) ℝ

1 2 1

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7. SOTTOSPAZI VETTORIALI E FORMULA DI GRASSMANN

Un sottoinsieme non vuoto è un sottospazio vettoriale se è chiuso rispetto alla somma e al prodotto per

W V

⊆

scalare: .

⟹

u, v W, α, β K αu + βv W

∀ ∈ ∈ ∈

DEFINIZIONE 7.1 — SOMMA E INTERSEZIONE DI SOTTOSPAZI

Siano due sottospazi vettoriali di .

U, W V V

⊆

L'intersezione è sempre un sottospazio vettoriale di .

U ∩ W = {v V : v U e v W} V

∈ ∈ ∈

La