Esercizi svolti Geometria

lineare

dei I

parametri ammette

ER

Valori il

(1)

Esercizio Quali

Determinare sistema lavica

M

: per un

, le

ed

ha soluzionei

quali .

soluzione

Soluzione Inoltre determinino

stabilisce se

si quali unica casi ne

non in

per

,

I X + y 5

2z

- =

17

y M

=

+ Rouché Capelli

di

Teorema .

2x 1z

3y 2

+ =

- !

7

& solo

Ha Se se plaie)

pel

e =

I XTy-2

svolgimento : Ha soluzioni plaib)

pla)

se >

a

lz

2x 3y 2 non

+ = se

soluzioni

ha plaib)

- pla) <

( )

( (AIB)

( )B

A = =

=

lal to.

pla) se

Rad

= )

) 2)

1(5 2]

2(l 41

(1 3

1 2 + 2

.

=

41 0

+ 21 a

= +

= =

- -

=

+ =

+

= +

- -

le /alfo ho soluzione

Quindi MEIR

ammette

se plas

quindi

+2 3 unica

e = sistema .

un

e e

. .

(1)

( IMal

(e)

A

l Mz

(AIB) 2-

se Se

2

+ =

=

· =

= = 8

u = -

/Al

secondo Minore Ua

pla) Questo se

2 caso

in o

=

= Ho

Se plaiB)

+-8 3

(alto

ie Non

=

plalbl Due

Se

2 ;

= solutioni

coincidono

Ranghi .

non 27

se Ho

l

-e

u 2

a =

=

avra soluzione

sistema non . Soluzioni

I .

I

o (115) &

s(x

calcolo Soluzione xtyt

(AIB) 52e

+y=

: 47

= 13

X +

=

= =

D-2t

= y 27

= 8

teIR - -

z t t

= z =

sc(([) ))

t(-

+ verifichi

fissato che

euclideo riferimento

Esercizio reale le

Nello spazio :

(2) si

cartesiano rece

: un ,

S distanza

: scheme

3 la

calcolarne

X y z 0

+ = S

- sono

- z

=

v e

2x 3 0

=

z

y

+ -

-

procesite

P

=t pr -Ce C.

=

(Frx).p

: Se schembe

to

schembe

studio sono .

se sono =

xV -

5() ( 4)

( 4) (e

(a)

= 20) 1270

4 Schembe

44 12

8 Son

0

+ =

+

= .

-

-

- . -

-

- -

( 4)

44 -

-

formula

calcolo distanza passante

della parallelo s

.

piano per

e

a

punto r

:

(VrxVs) .

c)

b

.

(a =

. y(y

= i(z

1)

(x 1) 0) 210)

P(

π + = 0

-

-

- -

-

z

x 0

1 y

+ 1 =

+

- -

- z

X X

+

- z

y ovvero y +

0

= - 0

.

- =

- ((r G (P

5) +t)

le stessa

distanza è

La il piano

t rete la

que il =

tra punto e ,

. ,

=

((P ) =

in /Ra IR Fl(xez)

Fl dove

l'applicazione

di leIR lineare

(3)

Esercizio Gli eventuali

Determinare

: valori cui :

per =

,

(5x x)

(1-2)z Ci l'inversa

l Fl

isoporfismo determina

Quali

è di

2y y valori si

+ ;

; per

un ,

- .

hin In

(0)

biettiva Der (f)

isomorfisto e

è .

3

Quando ossin

= =

un .

,

5)

(

A(f) In(f)

Lin

che

devo alt0

verificare poiche ratterebbe

lal 3

pla)

plas to si

perciò

=

= se e

=

.

Si isomorfisto

un .

nullo

La minore 2x2 non

/Alfo cerco un .

52)

( (2-17

IAl (2-1) l Sinteso

= Ovvero se lt2

l

-Elo 14 pla e

=

= 2

= =

( :

i )

l

( 2 ·

10 -

[1 2 - AT 1

per A : 2

scrivere = O

-

7

s( -

2(n 2) 2) O

- -

fornisca definizione dimostri colia

Sommasi

(4) la che

sottospati

Esercizio di si

vetoriali

si sua

a

tratta

si

: 2 e

di Vettoriale

sotospazio

un . Vww]

SueV freU

U v

w

+ n c

+

=

= ,

,

So}

vetoriale Un

Appartiene We

un

= +

. Vz wz

+

= uz chiusi

(uz (wi wa)

(un Sono sottospati

uz) vetoriali se

wi)

wi) UtW

(u sono

Vz

( =

+

= + + +

+

+ +

= .

wi)

l(u sorte

alla

lun al

rispetto

tw prodato

.

+ = +

, di Algebrica

la definizione Si

molteplicità

fornire Autovalore stabilire

geometrica

(i)

Esercizio e

un

e

relazione

che loro

intercorre tra . definisce polinomio

intesa sarà

la radice

Algebrica

molteplicit del

molteplician

per autovalore

di è

si

un come

indicata ma

con dell'autospazio

riferisce

moltiplicità geometrica relativo all'autovalore

di

Per Dimensione

Alla

autovettore si .

mg

un ,

F

entamorfisto my(10) (10)

lo Allora

è V--

Se V < ma

:

un (*) delle

è le

Cove incognite

il B

A seguenti

lineare

consideri B sono

Ax

Esercizio si il vatore e

sistema = ,

=

: dipendenti parametro Il

.

reale

Matrici da

B

(

A = Al .

Il

di

di

determina Variare

Rango

cal il a

( C (

C la fo

A Ldl .

sarà

Rango Marice

Se i esaument

= orati

dedi

Applico teorema :

vedendo Jet(a)

diversi

che minori si annullano

i valori Cerco 3x3

2x2 .

per

A e

2 (

R /

/2 )

- -

[ak r[ 7

2x] x)

x)

- 2

- 2x x 2x

-y-( m un

y sx 2x

3 + +2 =

+

+ - un

3 xx

- + 2

+

- - - +

-

-

+ -

- -

1] Tax 1)

x[zx

0 0

+ =

-

= -

-

22 x 2x 1 0

+ =

= +

- -

2x2 =

la) ekz

34 valori

1

+ sono

ci o

i

- = = 1

0 per =

(2

= C =

la=o

Questo Ha

marice se

la

In

= caso

(R3 (

= in Ha lal=o

K l

Anche Questo Kro

La Matrice se

caso 1 .

e

= =

1 2k

1 - le

che Se

prendiato #

il K

annulla 3x3

valore plal

3 perciò

1 3

Matrici

però =

noi quero

tuive = .

.

(

11 &

i /Rul

S /Ra)

sek = Subito Ho pi

A che a

1 Noto

· perciò

= =

=

1

1 1

-

Ho Quando

pla) R

2 1

= = . Ci

determinare

Cal Il soluzioni

Valori il ammette

Quali sistema :

per S 7

rouché

Per capelli soluzione

Ammette plai)

Teorema

il sistema pla)

si se =

& Soluzioni pali)

Pla)

se >

* soluziona se plal <plai)

C

( (Rz)

plaIBl /R3)

pla) Anche in

2

ser Questo

=

1 caso

=

· =

= l

- !

F

- l

)

plaiBl Ho Soluzione

no plan)=

E percio 1

per

= =

O 0

0

o o

determinare dimensione

di delle

l ha

Soluzioni

lo ha

valori spazio

( Quali

per spazio .

2

verificato lo delle

che

Avendo Già le soluzioni

rango è

spazio

no due 2

.

e

per =

(2) parametrica

delle

K soluzioni

della

Sia dirensione

Determinare rappresentazione

varici

-1 la sua

= una

e .

. 2)ux

) S () (i)

1 ()

3 yt

3+

- +

- + =

+ y

A E + e

X =

= 2

- )

,

Cartesiano (0 (2--)

5 A

5 euclideo

nello spazio

di considerino

riferimento

Esercizio Punti

: :

Fissato si

sistema

un , , ,

(3-10) .

B Li coordinate

e l'equazione B

della

determini A

passante

si cartesiana

cal .

reta r e

per

B(3

A(z 1) 10)

-e e -

-

AB" Ciretivo

il

è vatore .

= :

(3-10)-(2-1-1) / cartesian

(101) attengo forma

rett :

=

l'equazione

(b) C(1-2-1)

Cella

determini Si

r'parallela ( coordinate

Si il

ad passante punto

per

reca r e .

t()

=

//

L'e -e)

((1-2

passante

direttivi

di

Marro

perciò vettori

stessi

r e per

r abito

forma cart