Appunti di Analisi

Studiando esclusivamente su questi appunti di Analisi 1 ho preso 30 e lode. Si tratta di un quaderno manoscritto, ordinatissimo e interamente a colori. All'interno troverai tutta la teoria spiegata in modo chiaro (anche i teoremi più ostici e le dimostrazioni chiave!), accompagnata da esempi pratici ed esercizi svolti passo passo via via che si introducono i concetti. Alla fine del file troverai inoltre una sezione Esercizi di Riepilogo con simulazioni d'esame complete. Ecco il programma dettagliato che troverai all'interno: 1. Logica delle proposizioni: proposizioni, connettivi logici, tabelle di verità. 2. Logica dei predicati: quantificatori, negazione dei quantificatori e dei predicati. 3. Insiemi: rappresentazione tabulare, diagramma di Eulero-Venn, rappresentazione per proprietà o caratteristica. Inclusione e uguaglianza tra insiemi. Operazioni tra insiemi: intersezione, unione, differenza. Leggi di De Morgan. Definizione di coppia ordinata e di prodotto cartesiano tra insiemi. 4. Insiemi numerici: numeri naturali, interi, razionali, reali. Proprietà della operazioni di somma e prodotto di numeri reali e proprietà di ordinamento. Intervalli reali. Insiemi limitati e illimitati di R. Massimo e minimo di un sottoinsieme di R. Estremo superiore e inferiore di un sottoinsieme di R. 5. Funzioni: definizione, immagine, retroimmagine. Funzioni iniettive e suriettive. Composizione tra funzioni. Definizione di funzione inversa. Teorema (senza dimostrazione): equivalenza tra funzioni biunivoche e funzioni invertibili. Restrizione di una funzione. 6. Funzioni reali di variabile reale: insieme di definizione, funzioni limitate superiormente e/o inferiormente. Funzioni crescenti, decrescenti e monotone (strettamente). Massimo e minimo assoluti, estremo superiore e inferiore di una funzione. Funzione periodica. 7. Funzioni elementari: funzioni costanti, lineari, quadratiche (studio dell'immagine, monotonia, limitatezza). Funzioni polinomiali. Funzioni razionali fratte, funzioni radicali (studio dell'insieme di definizione). Funzioni esponenziali e logaritmiche (studio dell'insieme di definizione, monotonia, limitatezza). Funzioni definite a tratti: funzione segno e caratteristica (grafici). Valore assoluto (proprietà e grafico della funzione valore assoluto). Funzioni trigonometriche: seno, coseno e tangente (grafici e periodicità). Funzioni trigonometriche inverse: arcseno. arccoseno e arctangente. Grafici delle funzioni trigonometrchi inverse. Funzioni definite a tratta. Funzione segno. Calcolo dell'insieme di definizione di somma, prodotto, divisione e composizione di funzioni elementari. 8. Intorno centrato in un punto. Punto di accumulazione. Punto isolato. 9. Limiti di funzioni: definizione di limite finito e infinito. Teorema dell'unicità del limite (senza dimostrazione). Teorema della permanenza del segno (senza dimostrazione). Teoremi del confronto per limiti di funzioni (senza dimostrazione). Limite destro e sinistro e loro utilizzo nel calcolo dei limiti. Esempio di non esistenza del limite (caso finito ed infinito). Limiti agli estremi dell'insieme di definizione di una funzione. Teorema delle operazioni con i limiti di funzione: somma, prodotto, quoziente (senza dimostrazione). Calcolo di limiti. Operazioni con i limiti in senso esteso. Forme indeterminate. Limiti notevoli (con dimostrazione) e le loro applicazioni. 10. Continuità: definizione di funzione continua in un punto e funzione continua nel suo dominio. Continuità delle funzioni elementari. Continuità del valore assoluto. Continuità della somma, prodotto, quoziente e composizione (senza dimostrazione). Funzione discontinua in un punto. Classificazione dei punti di discontinuità. Teoremi di continuità (senza dimostrazioni): teorema di Weierstrass, teorema degli zeri, teorema dei valori intermedi. Teorema di continuità della funzione inversa (senza dimostrazione). 11. Derivata: introduzione, definizione di funzione derivabile in un punto, di funzione derivabile, di funzione derivata prima. Retta tangente. Derivata destra, derivata sinistra. Teorema di derivabilità della funzione potenza (dimostrazione del caso f(x)=x^2). Esempio di non derivabilità: funzione valore assoluto nel punto 0. Teorema di derivabilità dei radicali (dimostrazione del caso della radice quadrata, con incluso la non derivabilità in 0). Teorema: derivabilità implica continuità (con dimostrazione). Teorema di derivabilità delle operazioni tra funzioni e della composizione tra funzioni (senza dimostrazione). Teorema di derivabilità delle funzioni trigonometriche (dimostrazione del seno e della tangente). Teorema di derivabilità della funzione esponenziale (con dimostrazione). Derivabilità della funzione inversa (senza dimostrazione). Teorema della derivabilità del logaritmo (con dimostrazione del caso con base del logaritmo =e). Derivabilità delle funzioni trigonometriche inverse (dimostrazione dell'arcseno e dell'arcotangente). Teoremi di derivabilità: teorema di Fermat (con dimostrazione), teorema di Rolle (con dimostrazione), teorema di Lagrange (con dimostrazione). Applicazione del teorema di Lagrange. Teorema di relazione tra derivata prima e monotonia (con dimostrazione). Teorema: una funzione con derivata nulla in un intervallo è costante (con dimostrazione). Teorema: due funzioni con derivate uguali in un intervallo differiscono per una costante (senza dimostrazione). Derivata seconda: definizione. Applicazione della derivata seconda per stabilire se un punto stazionario è di massimo o minimo relativo (senza dimostrazione). Funzione convessa, funzione concava (senza dimostrazione). Teorema di relazione tra convessità/concavità e derivata seconda (senza dimostrazione). Studio di funzione. Teorema di de L'Hopital (senza dimostrazione). Esempi. Teorema: criterio per stabilire se una funzione è derivabile in un punto usando il limite della derivata (senza dimostrazione). Esempi. Teorema: monotonia implica iniettività. (senza dimostrazione). Applicazione della derivata per stabilire il numero di soluzioni di una certa equazione. Polinomio di Taylor, formula di Taylor con il resto di Peano (senza dimostrazione), opiccolo, algebra degli o-piccolo. Sviluppo di MacLaurin di alcune funzioni elementari. Applicazione nel calcolo dei limiti. 12. Integrale definito secondo Riemann: definizione di partizione, somma di Riemann superiore e inferiore. Definizione di funzione integrabile e di integrale definito. Proprietà degli integrali (senza dimostrazione). Teorema della media integrale (caso continuo, con dimostrazione). Funzione integrale. Teorema di derivabilità della funzione integrale (con dimostrazione). Funzione primitiva. Teorema fondamentale del calcolo integrale (caso continuo, con dimostrazione). Integrale indefinito. Metodi di integrazione: integrazione diretta, metodo di sostituzione (senza dimostrazione). Integrazione per parti (con dimostrazione). Integrazione di funzioni razionali fratte. Calcolo delle aree di regioni di piano delimitate dai grafici di due funzioni. 13. Introduzione alle funzioni di 2 variabili a valori reali, f : R^2 -> R. Dominio e grafico. Insieme di definizione. Distanza tra due punti in R^2. Intorno aperto. Punto interno, punto di frontiera e punto di accumulazione. Definizione di limite finito. Esempi di calcolo di limite e di non esistenza del limite. Definizione di continuità. Definizione di derivate parziali. Esempi di calcolo delle derivate parziali sia tramite la definizione che usando le regole di derivazione. Esempio di funzione non continua in un punto, ma che ammette entrambe le derivate parziali. Definizione di piano tangente. Definizione di funzione differenziale in un punto, tramite lo sviluppo del polinomio di Taylor al prim'ordine con resto di Peano. Teorema del differenziale totale.