Esercizi Analisi 1

Esercizi di riepilogo

Esercizio 1: Funzioni biunivoche e inverse

Mostrare che le seguenti funzioni sono biunivoche e determinarne la funzione inversa:

1. !: ℝ → ℝ, () = √3 +1.
2. "#: ℝ → ℝ, () = 2.
3. "ℎ: .− , +∞2 → ℝ, ℎ() = ln(4 + 5)

Esercizio 2: Insiemi di definizione

Determinare, per ciascuna delle seguenti funzioni, il relativo insieme di definizione (dominio):

1. !% &$() =
2. ! "% '"%'#() = 7
3. ( %&#!() =
4. # !')*(%'!)() ( = − 5 + 6√

Esercizio 3: Calcolo dei limiti

Calcolare, se esistono, i seguenti limiti:

1. (% '(% )lim sin(1. %→&.
2. "#0 '!lim2. !'123(%)%→/ $# "#0 &0 &#lim3. $##0 &$%→&.
3. (lim =√ + 4 − >4. %→&.

Esercizio 4: Studio degli asintoti

Per le seguenti funzioni determinare l'insieme di definizione e gli eventuali asintoti:

1. "(% &#() =
('%" %"#% &0() =
2. #%&"

Soluzione esercizio 1

1. "%'!'! () =
2. "√#!'! () = √
3. #0 '"'! ()ℎ =

Soluzione esercizio 2

1. ( {−2,2} − 4 ≠ 0. = ℝ ∖ Il denominatore non può essere nullo: Quindi .!

2. L'argomento della radice deve essere non negativo e il denominatore non nullo: %#' (−∞,≥ 0. = −3) ∪ [3, +∞). Quindi (%&# − 1 > 0 ⟹ > 1)

3. L'argomento del logaritmo deve essere positivo (e il − 1) ≠ 1 ⟹ − 1 ≠ ⟹ ≠ + 1). = denominatore non nullo (ln( Quindi #(1, ( + 1) ∪ + 1, +∞).

4. ( − 5 + 6 ≥ 0. L'argomento della radice deve essere non negativo: Le radici = (−∞, 2] ∪ [3, +∞). dell'equazione associata sono 2 e 3. Quindi "

Soluzione esercizio 3

1. 36*(5)'(% = → +∞ → 0. lim = 1. Sostituendo, per si ha il limite diventa 55→/ "%"%

2. ( → 0, − 1 ∼ 1 − cos() ∼ Usando le stime asintotiche per si ha e. Il limite "%lim = 2. è "% /(%→/ "%

3. Raccogliendo il termine di grado massimo sia a numeratore che a denominatore, i termini di grado inferiore tendono a zero. Il limite è .#" "

4. 9%8% &"'%(=√ + 4 + >, lim = Moltiplicando e dividendo per si ottiene "√% &"&%%→&."%lim = 2.)%(!&⋯%→&.

Soluzione esercizio 4

1. {2} = ℝ ∖ Dominio: . = 2. Asintoto verticale: La retta di equazione = Asintoto obliquo: Effettuando la divisione tra polinomi, la retta di equazione −2 − 4 è asintoto obliquo.

2. " = ℝ ∖ R− S. Dominio: # " = − Asintoto verticale: La retta di equazione .#'(% → +∞, Asintoto obliquo: Per il termine tende a zero. La funzione si "% % " = − comporta come, quindi la retta è asintoto obliquo destro. #% # ;

Esercizio 5: Estremi superiori, inferiori, massimi e minimi

ℝ Stabilire se i seguenti sottoinsiemi di sono limitati superiormente e/o inferiormente. Determinarne quindi estremo superiore ed estremo inferiore e stabilire se si tratta di massimi o minimi:

1. = =0, ∩ U√3, 4V√5>
2. ( = { ∈ ℝ: ∈ (−2,9]}

Esercizio 6: Continuità

∈ ℝ : ℝ → ℝ, Determinare per quale parametro la funzione definita come segue, risulta ℝ: continua su tutto ( + , ≤0() = [sin(2) , >0

Esercizio 7: Retta tangente

Trovare l'equazione della retta tangente ai grafici delle seguenti funzioni nei punti indicati:

1. !() (), = log = nel punto di ascissa! ( / ("%() =
2. , nel punto di ascissa( /"% &(

Esercizio 8: Limiti con il teorema di De L'Hôpital

Calcolare, se esiste, il seguente limite utilizzando il teorema di De L'Hôpital: (%ln( + )lim ln(1 + 4)%→/

Esercizio 9: Polinomio di Taylor

Calcolare il polinomio di Taylor fino al secondo ordine della seguente funzione nel punto indicato: / 1() = arctan(3) , = con / 3

Esercizio 10: Integrali indefiniti (parti e sostituzione)

Calcolare i seguenti integrali indefiniti:

1. ( (% 1. (Per parti)∫ " (%)<=1><*
2. (Per sostituzione)∫ "!&%

Esercizio 11: Calcolo di aree

! # = √ = Calcolare l'area della regione di piano delimitata dai grafici delle funzioni e [0,1] ∈ nell'intervallo.

Soluzione esercizio 5

1. = [√3, √5). Intersecando gli intervalli otteniamo. L'insieme è limitato sia superiormente che inferiormente. min = √3 sup = √5 √5(non è un massimo poiché ( ( (

2. ∈ (−2,9] ≤ 9 ≥ 0). La condizione equivale a (poiché è sempre Pertanto, [−3,3] = . min = −3, max = 3. L'insieme è chiuso e limitato.

Soluzione esercizio 6

= 0, Perché sia continua in il limite destro e sinistro devono coincidere con il valore della funzione nel punto. ((lim + ) = . Valore nel punto e limite sinistro: %%→/36*((%)lim = 2 Limite destro: (limite notevole).%&%→/ = 2. Uguagliando i risultati, otteniamo

Soluzione esercizio 7

1. '!(1/2) (2 ) = log = −1. Valore nel punto: ! (! ′() = Derivata prima: .! % )*(() ( ′(1/2) = Coefficiente angolare: .! )*(()( ! = . − 2 − 1. Equazione retta tangente: )*(() (!(1) =

2. Valore nel punto: .( # " " ((%)(%8% &(9'% "% ′() = = Derivata prima: .( " " " "(% (%&() &()" ′(1) = Coefficiente angolare: .( ;" ! " !( = − 1) + ⟹ = − Equazione retta tangente: .; # ; ;

Soluzione esercizio 8

/ = 0 Sostituendo otteniamo la forma indeterminata. Applichiamo il teorema di De L'Hôpital derivando numeratore e denominatore. "#(0 &! Derivata numeratore: ."#0 &%" Derivata denominatore: .!&"%

Riscriviamo il limite: (%2 + 1(% + lim 4%→/ 1 + 4# = 0, = 3 4. Valutando in il numeratore tende a e il denominatore tende a. Il risultato del !# limite è ."

Soluzione esercizio 9

= 1/3: Calcoliamo le derivate nel punto / (1/3) = arctan(1) = 43 3 3′() = ⟹ ′(1/3) = =(1 + 9 1+1 254 18 9′′() = − ⟹ ′′(1/3) = − =−(1 )( (+ 9 4 2

Il polinomio di Taylor è: ( 3 1 9 1() = + m − n − m − n( 4 2 3 4 3

Soluzione esercizio 10

1. ( (%() = ⟹ ′() = 2 ′() = ⟹ Usiamo l'integrazione per parti ponendo e! (%() = :( !( (% ( (% (% = − .∫ ∫( (% : Applichiamo nuovamente per parti per ∫! ! ! !(% (% (% (% (% = − = − .∫ ∫( ( ( "

   Sostituendo tutto: ! ! !( (% (% ( = . − + 2 + .∫ ( ( "

2. ! = arctan(), = . Sostituzione: Poniamo da cui l'integrale diventa: "!&%! ! (%)5 <=1><*( = + = + .∫ # #

Soluzione esercizio 11

! #[0,1] √ ≥ Nell'intervallo, la radice cubica è maggiore del cubo ( ). L'area si calcola con l'integrale definito: ! !! # !/# # = p = √ − > = p = − > / /!3 1 3 1 1"/# " = q − r = m − n − 0 =4 4 4 4 2/

Esercizio 12: Derivate e domini

Per le seguenti funzioni, determinare l'insieme di definizione (dominio) e calcolare la derivata prima:

1. "##%'0() =
2. "% &( ((4 )() = − ln(2 − )

Esercizio 13: Derivabilità (con la definizione di derivata)