Analisi 1

CONTINUITÀ E TEOREMI FONDAMENTALI Analisi 1 | pag. 1/10

1. Che cosa significa essere continua

Una funzione f è continua in un punto a se il suo valore nel punto è coerente con il comportamento nei

punti vicini. Formalmente occorrono tre condizioni: f(a) deve esistere, deve esistere lim x→a f(x), e

tale limite deve essere uguale a f(a). In simboli: lim x→a f(x)=f(a).

Interpretazione grafica Funzioni elementari

Una funzione continua non presenta “salti” o Polinomi: continui su R.

“buchi” nel punto considerato. L’idea del Razionali: continue dove il denominatore è diverso

“disegnare senza staccare la penna” è utile da 0.

intuitivamente, ma la definizione matematica resta Radici pari: continue nel loro dominio.

quella tramite limite. Exp, sin, cos: continue su R.

Logaritmo: continuo per argomento positivo.

Continuità su un intervallo

f è continua su un intervallo se è continua in ogni

punto interno e rispetta la continuità laterale agli

estremi inclusi.

Esempio

f(x)=x²+3x-1 è continua in x=2 perché è un polinomio. Quindi lim x→2 f(x)=f(2)=4+6-1=9.

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2. Continuità destra e sinistra

Nei punti interni di un intervallo la continuità richiede che i limiti destro e sinistro coincidano con f(a).

Agli estremi di un intervallo chiuso, invece, si usa la continuità unilaterale: a sinistra per l’estremo

destro, a destra per l’estremo sinistro. Funzioni definite a tratti

Continuità da destra Nei punti di raccordo occorre calcolare: limite

f è continua da destra in a se lim x→a+ f(x)=f(a). sinistro, limite destro e valore assegnato nel punto.

Se i tre valori coincidono, la funzione è continua.

Continuità da sinistra

f è continua da sinistra in a se lim x→a- f(x)=f(a).

Esempio

f(x)=x+1 per x<1, f(x)=3x-1 per x≥1. Limite sinistro in 1: 2. Limite destro: 2. f(1)=2. Quindi f è continua

in x=1.

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3. Classificazione delle discontinuità

Quando almeno una delle condizioni di continuità fallisce, si ha una discontinuità. La classificazione

aiuta a capire la forma del grafico e a scegliere la strategia di studio. I nomi più usati sono:

eliminabile, a salto, infinita/di seconda specie.

Eliminabile Infinita / seconda specie

Il limite finito L esiste, ma f(a)