Analisi 1 - Appunti completi + Esercizi

Esercizi di riepilogo

Esercizio 1: Funzioni biunivoche e inverse

Mostrare che le seguenti funzioni sono biunivoche e determinarne la funzione inversa:

• !: ℝ → ℝ, () = √3 +1.
• "#: ℝ → ℝ, () = 2.
• "ℎ: .− , +∞2 → ℝ, ℎ() = ln(4 + 5)

Esercizio 2: Insiemi di definizione

Determinare, per ciascuna delle seguenti funzioni, il relativo insieme di definizione (dominio):

• !% &$() =
• ! "% '"%'#() = 7
• ( %&#!() =
• # !')*(%'!)() ( = − 5 + 6√

Esercizio 3: Calcolo dei limiti

Calcolare, se esistono, i seguenti limiti:

• (% '(% )lim sin(1. %→&.
• "#0 '!lim
• !'123(%)%→/ $# "#0 &0 &#lim
• $##0 &$%→&. (lim =√ + 4 − >
• %→&.

Esercizio 4: Studio degli asintoti

Per le seguenti funzioni determinare l'insieme di definizione e gli eventuali asintoti:

• "(% &#() =
• ('%" %"#% &0() =
• #%&"

Soluzione esercizio 1

"%'!'! () =

"√#!'! () = √

#0 '"'! ()ℎ =

Soluzione esercizio 2

( {−2,2} − 4 ≠ 0. = ℝ ∖

1. Il denominatore non può essere nullo: Quindi .!2. L'argomento della radice deve essere non negativo e il denominatore non nullo:

%'# (−∞,≥ 0. = −3) ∪ [3, +∞). Quindi (%&# − 1 > 0 ⟹ > 1)

3. L'argomento del logaritmo deve essere positivo (e il − 1) ≠ 1 ⟹ − 1 ≠ ⟹ ≠ + 1). = denominatore non nullo (ln( Quindi #(1, ( + 1) ∪ + 1, +∞).

( − 5 + 6 ≥ 0.

4. L'argomento della radice deve essere non negativo: Le radici = (−∞, 2] ∪ [3, +∞). dell'equazione associata sono 2 e 3. Quindi "

Soluzione esercizio 3

36*(5)'(% = → +∞ → 0. lim =

1. Sostituendo , per si ha Il limite diventa 55→/ "%"% ( → 0, − 1 ∼ 1 − cos() ∼

2. Usando le stime asintotiche per si ha e . Il limite "%lim = 2. è "% /(%→/ "%

3. Raccogliendo il termine di grado massimo sia a numeratore che a !denominatore, i termini di grado inferiore tendono a zero. Il limite è .#" " 9%8% &"'%(=√ + 4 + >, lim =

4. Moltiplicando e dividendo per si ottiene "√% &"&%%→&."%lim = 2.)%(!&⋯%→&.

Soluzione esercizio 4

{2} = ℝ ∖

1. Dominio: . = 2.

Asintoto verticale: La retta di equazione =

Asintoto obliquo: Effettuando la divisione tra polinomi, la retta di equazione −2 − 4 è asintoto obliquo.

" = ℝ ∖ R− S.

2. Dominio: # " = −

Asintoto verticale: La retta di equazione .#'(% → +∞, Asintoto obliquo: Per il termine tende a zero. La funzione si "% % " = − comporta come , quindi la retta è asintoto obliquo destro.

#% # ;

Esercizio 5: Estremi superiori, inferiori, massimi e minimi

ℝ Stabilire se i seguenti sottoinsiemi di sono limitati superiormente e/o inferiormente. Determinarne quindi estremo superiore ed estremo inferiore e stabilire se si tratta di massimi o minimi:

• = =0, ∩ U√3, 4V√5>
• ( = { ∈ ℝ: ∈ (−2,9]}

Esercizio 6: Continuità

∈ ℝ : ℝ → ℝ, Determinare per quale parametro la funzione definita come segue, risulta ℝ: continua su tutto

( + , ≤0() = [sin(2) , >0

Esercizio 7: Retta tangente

Trovare l'equazione della retta tangente ai grafici delle seguenti funzioni nei punti indicati:

• !() (), = log = 1. nel punto di ascissa!
• ( / ("%() = = 1
• , nel punto di ascissa( /"% &(

Esercizio 8: Limiti con il teorema di De L'Hôpital

Calcolare, se esiste, il seguente limite utilizzando il teorema di De L'Hôpital:

(%ln( + )lim ln(1 + 4)%→/

Esercizio 9: Polinomio di Taylor

Calcolare il polinomio di Taylor fino al secondo ordine della seguente funzione nel punto indicato:

/ 1() = arctan(3) , = con / 3

Esercizio 10: Integrali indefiniti (parti e sostituzione)

Calcolare i seguenti integrali indefiniti:

• ( (% 1. (Per parti)∫ " (%)<=1><*
• (Per sostituzione)∫ "!&%

Esercizio 11: Calcolo di aree

! # = √ = Calcolare l'area della regione di piano delimitata dai grafici delle funzioni e [0,1] ∈ nell'intervallo .

Soluzione esercizio 5

= [√3, √5).

1. Intersecando gli intervalli otteniamo L'insieme è limitato sia superiormente che inferiormente.

min = √3

sup = √5 √5 ∉ ).

(non è un massimo poiché( ( ( ∈ (−2,9] ≤ 9 ≥ 0).

2. La condizione equivale a (poiché è sempre Pertanto, [−3,3] = .

min = −3, max = 3.

L'insieme è chiuso e limitato.

Soluzione esercizio 6

= 0, Perché sia continua in il limite destro e sinistro devono coincidere con il valore della funzione nel punto.

((lim + ) = .

Valore nel punto e limite sinistro: %%→/36*((%)lim = 2

Limite destro: (limite notevole).%&%→/ = 2.

Uguagliando i risultati, otteniamo

Soluzione esercizio 7

'!(1/2) (2 ) = log = −1.

1. Valore nel punto: ! (! ′() =

Derivata prima: .! % )*(() ( ′(1/2) =

Coefficiente angolare: .! )*(()( ! = . − 2 − 1.

Equazione retta tangente: )*(() (!(1) =

2. Valore nel punto: .( # " " ((%)(%8% &(9'% "% ′() = =

Derivata prima: .( " " " "(% (%&() &()" ′(1) =

Coefficiente angolare: .( ;" ! " !( = − 1) + ⟹ = −

Equazione retta tangente: .; # ; ;

Soluzione esercizio 8

/ = 0 Sostituendo otteniamo la forma indeterminata . Applichiamo il teorema di De L'Hôpital derivando numeratore e denominatore.

"#(0 &! Derivata numeratore: .

"#0 &%" Derivata denominatore: .!&"%

Riscriviamo il limite:

(%2 + 1(% + lim 4%→/ 1 + 4# = 0, = 3 4.

Valutando in il numeratore tende a e il denominatore tende a Il risultato del !# limite è ."

Soluzione esercizio 9

= 1/3: Calcoliamo le derivate nel punto /

(1/3) = arctan(1) = 43 3 3′() = ⟹ ′(1/3) = =(1 + 9 1+1 254 18 9′′() = − ⟹ ′′(1/3) = − =−(1 )( (+ 9 4 2

Il polinomio di Taylor è:

( 3 1 9 1() = + m − n − m − n( 4 2 3 4 3

Soluzione esercizio 10

( (%() = ⟹ ′() = 2 ′() = ⟹

1. Usiamo l'integrazione per parti ponendo e! (%() = :

( !( (% ( (% (% = − .∫ ∫( (% :

Applichiamo nuovamente per parti per ∫! ! ! !(% (% (% (% (% = − = − .∫ ∫( ( ( "

Sostituendo tutto: ! ! !( (% (% ( = . − + 2 + .∫ ( ( "

! = arctan(), = .

2. Sostituzione: Poniamo da cui L'integrale diventa:

"!&%! ! (%)5 <=1><*( = + = + .∫ # #

Soluzione esercizio 11

! #[0,1] √ ≥ Nell'intervallo , la radice cubica è maggiore del cubo ( ). L'area si calcola con l'integrale definito:

! !! # !/# # = p = √ − > = p = − > / /!3 1 3 1 1"/# " = q − r = m − n − 0 =4 4 4 4 2/

Esercizio 12: Derivate e domini

Per le seguenti funzioni, determinare l'insieme di definizione (dominio) e calcolare la derivata prima:

• "##%'0() =
• "% &( ((4 )() = − ln(2 − )

Esercizio 13: Derivabilità (con la definizione di derivata)