Analisi 1 - Successioni: definizione e primi esempi

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1. Successioni: definizione e primi esempi

Una successione reale è una funzione definita sui numeri naturali: a ogni n associa un numero a_n. Si

scrive (a_n). Studiare una successione significa descriverne il comportamento quando n cresce, in

particolare capire se tende a un limite, cresce, decresce o oscilla.

Esempi Rappresentazione

a_n=1/n → 0. Una successione si può vedere come una lista

a_n=n → +∞. a_1,a_2,... oppure come punti discreti (n,a_n) sul

a_n=(-1)^n oscilla tra -1 e 1 e non ha limite. piano. Non va confusa con una funzione definita su

a_n=(1+1/n)^n → e. tutto R, anche se spesso si estende per studiarla.

Esempio

Per a_n=(2n+1)/(n+3), dividendo per n si ottiene (2+1/n)/(1+3/n)→2.

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2. Limite di una successione

Si dice che a_n→L se, fissato qualunque ε>0, esiste un indice N tale che per ogni n≥N si ha |a_n-L|<ε.

È la versione discreta della definizione di limite: da un certo punto in poi tutti i termini entrano e

restano nella fascia di ampiezza ε attorno a L.

Convergenza Unicità

Se esiste un limite finito, la successione converge. Una successione convergente ha un solo limite.

Se tende a ±∞ diverge in senso infinito. Se non

ammette alcun limite, è divergente/indeterminata. Limitatezza

Ogni successione convergente è limitata, ma una

successione limitata può non convergere: (-1)^n è

l’esempio standard.

Esempio ε-N

a_n=1/n. Per ottenere 1/n<ε basta scegliere n>1/ε. Quindi si può prendere N maggiore di 1/ε.

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3. Monotonia e limitatezza

Una successione è crescente se a_(n+1)≥a_n e decrescente se a_(n+1)≤a_n. È limitata

superiormente se esiste M con a_n≤M per ogni n, e inferiormente se esiste m con a_n≥m.

Come provare la monotonia

Teorema di convergenza monotona Si studia a_(n+1)-a_n oppure, per successioni

Ogni successione crescente e limitata

superiormente converge al suo supremo. Ogni positive, il rapporto a_(n+1)/a_n.

successione decrescente e limitata inferiormente

converge al suo infimo.

Esempio

a_n=1-1/n è crescente e limitata superiormente da 1. Quindi converge; il limite è 1.

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4. Operaz