Appunti Analisi matematica 1: teoria degli integrali definiti e impropri

NTEGRAZIONE INDEFINITA F'(x)

dice dif

F

Def è

aperto che f(x)

Sia Si

. Prinitiva

IR

F AxeD

D-x

IR

DCIR D-

insieme : =

un sia e

ma

:

: e

x3

F f(x)

--IR

R

Es :

: =

"

=

Allora primitiva

è

F(x) una

Es F(x)

F IR-R =

: cenx

: Allora primitiva

è

F(x) una

= -cosx

In generale hanno seguenti problemi

i

si :

Data ?

primitiva di

e) I

F F

D-IR

: (la primitiva

relazione costante

stessa

2) tra primitive di diversal

esiste le

Che ?

funzione è perché una

mica sempre

una non posso agg .

↓

I cr primitiva primitiva

intervallo di

di allora

F

Proprietà G(x)

Fee F(x)

è

F

Sia G

: F

I-IR è CER

Ce c

+

ma

sia ma

un : =

e con

: ,

. c) primitiva

& F'(x) di

allora (F(x) f(x) Quindi GIX)

G'(x)

F(x)

G(x) F(x)

2 è

im c =

=

+ +

: = una

= , . .

-F(x))' G(x)

Viceversa primitiva #'(x)

(G(x) ExeI

di Allora

F(x)

che anche f(x)

G(x) f(x)

supponiamo sia

, -

= = 0

una =

- .

.

Poiché questo cioè

F(x)

implica T

intervallo de G(x)

ICEIR F(x)

G(x)

I è +

c

= =

c -

, . ,

.

=

F(x)

F

Es IR1504 -IR

:

: La primitiva IRI204

log(x) di c)

F(x) F ar

funzione lanche

è eog(x)

G(x)

= +

=

una en(x)

[enix) X60

c

+ . Fce CEIR

primitive .

le Funzioni

sono G(x)

anche

però = Xo

+

riguarda

quanto problema risposta

Per il seguente Teorema

dal

data

11 la :

è

, primitiva di

intervallo continua Allora

F di

I-R Juna

Sia F

IR

I

: .

,

, . SFIX)dx

Def primitive

tutte

di

Sia F indica

di

F le di

l'insieme

chiamo

D-IR FwD

Inrefinito

Integrale

si

: : e si con

, , c4

[G(x)

In (Fixidx

primitiva F(x)

particolare &(x)

intervallo F dife :

continua allora +

=

è =

I F 7

è I

se un N

e

, ,

X

f(x)

Es GER

=

: G &

Sxdx +

Fir

de =

210 e

. , F tool

(0 IR

&co >

:

se -

,

, E +

(xdx

1

2

2

.

L + =

- =

(7dx Glogx c4

1

2 = =

- = +

Metodi INTEGRAZIONE

Di : ju)g(x)dx

1) (XF(x) X(f(x)(x

F

Siano Allora jug(x)dx

I-VIR X

g : MEIR =

+ +

e

. , . MG(x))) XF'(x)

primitiva

Questa Allora

primitiva

#im G(x)

fatto (xF(x)

dal di

che yg(x)

di

FIx) X f(x)

g(x) MG(x)

è

è =

f(x)

: =

una + +

una

e +

segue ce .

.

Questo dimostra s .

(a per es ⑤

(f(x)

2) derivabili ) f(x)y'(x)dx

allora

F g(x)dx

Sia parti

Integrazione

f(x)g(x) > per

I ir

+ -

:

g = =

, , ((f(x)g(x))' (f(x)y(x)dx

(F(x)g(x))' (f(x)g

Aim Quindi

dal dk

Fatto (x)dx

f(x)g'(x)

f(x)g(x)

de

Legue ,

+ =

= +

: . Il

Ef(g(x) ch da la

cui

+ segue

. (F'(x)g(x)dx SFgi

Es f(x)g(x) 20102

= -

Jexexdx =

e(xe+ a(xe" exdx)

dx (1

xxe"

e

x

= = =

-

- .

- c)

(x 2)e dx

2xe (lo

e

- diverse

2xe 2ex

= 4

[

e

x costanti

può

perché

+

+

= insieme

+ scrico

- avere

come

- ...

(xsinx

Es x3(-cosx)

dx (3x2csxdx

= + =

: (6xsinxdx

x 3x2

= sinx =

- cosx + - J6csXdx

x 3x3

= sinx 6xcosx

+ =

cosx

- + -

( ch

x 3xsinx Scenx +

6xcox

= +

cosx

- + -

Je Se

dx "cosxdx

*

Es =

sinx -cosxe

: =

+ Gesinx-excosx ch

Jesindx

-cosxe dx

exsinx-Jesinx

+ a

= =

= +

c4

cosx)

(Gex(inx

Jesinxdx +

-

=

=

3) Integrazie sostituzione

per :

continua continua

derivabile

F l'

Siano + Allora :

e con .

①

↑

(f(((f) (f(x)dx(x

'()d+

+ = e(t)

=

"Sostituendo"

↳>

Q

Aim dive primitiva

equivale primitiva

La F(1(t))

F(x)

che +'(t)

è di

è

allora

di .

F(11)

f(x) una

una

a

: se ,

def di

Per F'(x)

primitiva FLx)

di F(x)

ha =

si

,

(F(1(f)' (e (t)

Quindi (f) ·(t)

F' f(

'()

+ + +

= =

.

F(f(t) (t))

primitiva di

Cioè F( 'It)

è +

+

una 5

Gf() = =

f(((x))

(tyxdx ( = x

Es f(x) cosx

=

=

: (

-(dx xt(E)

= - considero f(x) +'(x)

= Le cosx(0

= > =

cox eux

=

=

E 14

Gen

G cy

c) encoxx

ens(

= +

- + =

= +

-

cosx

= i

F(s) =

Siti

Es (x)

↑ +'(x)

: = cosX

sinx =

Jit/s Garety c4

(sinx)

= = +

cinx

=

La Q

Formula

O contrario

al

anche

può Cioè

usave

: si :

.

SF(((f))

SF(x)dx '(t)d + invertibile

+ (x)detè

= /f -

+

=

f(t)

sint =

=

x

Juin't

(mxdx costdf(t

Es -

=

: a)

=

cost

perche eut ( d

di =

= Ja

27 c (Mxdx

c1 (Alternativamente

SEdt E)costdT integro parti

= =

+

+ + =

+

= per

e

arcreux

=

mari

.

+ 4

INTEGRALi DEFINITi

La def definito

di integrale da

si in passi

a :

.

Integrale

e) scala

funzioni

di a

di

Integrale limitate

2) funzioni

Prima parte intervallo

Dato

(partizige) b]

Def alb

[a belR .

un a

: , ,

, , Ga b4

ordinato punti

Si di

chiama b]

[a

partizique insieme cui

in <

= <xn

Xo

di X1

un =

, ...

Def scal)

(funzione partizione

dice b) --IR

Si P

è

[a

che 7

S A scala

a : sopra,

come

una

ce

: , Xi)

T Axe(xi

i S(x)

SieIR Si

1 1

i

numeri = n

n =

e =

c -1

..... , ....

, . .

(Int

Def A scala) b)

[a scala

IR

Sia S

Di Funz : -

Ref sopra

come

a

: ,

.

. . . il

S(x)

di

chiama

Si [a b]

Definito

Integrale su numero

.

b =

(sxdx -Xi-1)Si Sy

I

② S(x x x

anche

posso scrivere

(raffinamento partizige) dice