Appunti Analisi 1

LIMITI DI FUNZIONI Analisi 1 | pag. 1/10

1. Idea di limite: avvicinarsi senza necessariamente arriva

Il limite descrive il comportamento di una funzione quando la variabile x si avvicina a un punto oppure

cresce senza limite. È un concetto locale: interessa ciò che accade vicino al punto, non

necessariamente nel punto stesso. Scrivere lim x→a f(x)=L significa che, scegliendo x

sufficientemente vicino ad a, i valori di f(x) diventano arbitrariamente vicini a L.

Tre idee fondamentali Limiti destro e sinistro

1) Il valore f(a) può essere diverso da L. Il limite destro considera x→a con x>a; il limite

2) f(a) può anche non esistere, mentre il limite sinistro considera x→a con x<a. Il limite bilatero

esiste. esiste ed è L solo se entrambi i limiti laterali

3) Il limite può essere finito oppure infinito. esistono e coincidono.

Esempio intuitivo Lettura grafica

Per f(x)=(x²-1)/(x-1), la funzione non è definita in Sul grafico si osserva dove tende la curva quando

x=1, ma per x≠1 vale f(x)=x+1. Quindi, ci si avvicina verticalmente alla retta x=a da

avvicinandosi a 1, f(x) si avvicina a 2. sinistra e da destra.

Esempio svolto

Calcolare lim x→2 (3x-1). Essendo una funzione lineare, basta sostituire: 3·2-1=5. Quindi il limite è 5.

Da ricordare: per funzioni elementari continue nel punto, il limite si calcola per sostituzione diretta.

Dispensa di Analisi 1 - teoria, formule, esempi ed esercizi LIMITI DI FUNZIONI - 1

LIMITI DI FUNZIONI Analisi 1 | pag. 2/10

2. Definizione formale ε-δ

La definizione rigorosa trasforma l’idea di “vicino” in una condizione quantitativa. Si dice che lim x→a

f(x)=L se per ogni ε>0 esiste δ>0 tale che 0<|x-a|<δ implica |f(x)-L|<ε. In parole semplici: qualunque

precisione ε si chieda sull’uscita, possiamo scegliere una distanza δ sull’ingresso che la garantisca.

Strategia nelle dimostrazioni

Significato dei simboli Si parte da |f(x)-L| e si prova a maggiorarlo con

ε controlla quanto f(x) deve essere vicina a L. un’espressione che coinvolge |x-a|. Poi si impone

δ controlla quanto x deve essere vicino ad a. tale espressione < ε e si ricava una scelta

La condizione 0<|x-a| esclude x=a, perché il limite opportuna di δ.

riguarda il comportamento nei punti circostanti. Caso lineare

Ordine logico Se f(x)=mx+q, allora |f(x)-f(a)|=|m||x-a|. Basta

Prima viene scelto ε, poi si trova δ in funzione di ε. scegliere δ=ε/|m|.

Esempio ε-δ

Dimostrare lim x→2 (3x+1)=7. Abbiamo |(3x+1)-7|=3|x-2|. Per ottenere 3|x-2|<ε basta imporre

|x-2|<ε/3. Possiamo quindi scegliere δ=ε/3.

Dispensa di Analisi 1 - teoria, formule, esempi ed esercizi LIM