Analisi 1 - Primitive e integrale indefinito

INTEGRALI Analisi 1 | pag. 1/10

1. Primitive e integrale indefinito

Una primitiva di f è una funzione F tale che F’=f. Se F è una primitiva, tutte le primitive sono F+C,

dove C è una costante reale. L’integrale indefinito ∫f(x)dx indica proprio questa famiglia di primitive.

Perché compare C? Notazione

La derivata di una costante è zero. Quindi funzioni ∫ f(x) dx = F(x)+C.

che differiscono solo per una costante hanno la f è l’integranda; dx indica la variabile di

stessa derivata. integrazione.

Esempio

∫2x dx = x²+C, perché d/dx(x²+C)=2x.

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2. Tabella degli integrali immediati

Molti integrali si risolvono riconoscendo direttamente la derivata di una funzione nota. È utile

memorizzare una tabella di base e allenarsi a usare linearità e fattori costanti.

Formule base Altre formule

∫x^n dx=x^(n+1)/(n+1)+C, n≠-1. ∫sin x dx=-cos x+C.

∫1/x dx=ln|x|+C. ∫1/cos²x dx=tan x+C.

∫e^x dx=e^x+C. ∫a^x dx=a^x/ln a + C, a>0,a≠1.

∫cos x dx=sin x+C. Linearità

∫(af+bg)=a∫f+b∫g.

Esempio

∫(3x²-4x+5)dx = x³-2x²+5x+C.

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3. Integrazione per sostituzione

La sostituzione è l’inverso della regola della catena. Quando nell’integranda compare una funzione

composta insieme alla derivata della parte interna, conviene porre u=g(x) e trasformare l’integrale in

una forma più semplice.

Schema Riconoscimenti tipici

Se u=g(x), allora du=g’(x)dx. Un integrale del tipo g’/g → logaritmo.

∫f(g(x))g’(x)dx diventa ∫f(u)du. g’e^g → e^g.

g’ cos g → sin g.

g’/(1+g²) → arctan g.

Esempio

∫2x cos(x²) dx. Poni u=x², du=2x dx. Ottieni ∫cos u du=sin u+C=sin(x²)+C.

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4. Integrazione per parti

La formula per parti deriva dalla regola di derivazione del prodotto. È utile quando l’integranda è un

prodotto in cui una parte diventa più semplice derivandola e l’altra è facilmente integrabile.

Idea

Formula La scelta deve rendere il secondo integrale più

∫u dv = uv - ∫v du. semplice del primo. Talvolta bisogna applicare la

formula più volte.

Scelta di u

Spesso si preferiscono logaritmi, funzioni inverse,

polinomi e poi esponenziali/trigonometriche.

Esempio<