Appunti Analisi 1: sottosuccessioni, Cauchy, medie e successioni ricorsive

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Soro Successione

Def sia and strettamente crescente

N-rN

successione g

una sia ;

: :

e indicizzata

Zana4

definita la

allora

g(r) FKEN K

con

successione

poniamo e

= nk .

, estratta

o .

succ

Questa Stessa

(ma

di

softosuccessione ottenuta alcuni

prendendo della

solo

chiama elem

Canz succ

succ

si una .

.

Gank] le

Gaak 13 dispari

= indici

sottosu

la corrispondente

1 +

an +

es nk =

: a

Cand = An An As au

, , ...

,

Gaz 3 91

= 95

93

+ 1 , ...

, Gar

Cann Sau

?

~ an an

= ans

= ag

n

es : = , , , ...

Proprietà allora

strett crescente FreN

sia nuk

nu

: .

Aim (xinduzi

esercizio

: per

Proprietà (fin inf)

[an4 allora

limite limite

lo stesso

sottosuca

ammette ha

ogni

se

: sua

O ,

. soddisfa

dal

& fatto allora

definitivamente sottosuca

che fand

im una

segue

: ogni

prop

se .

,

soddisfa definitivamente

la stessa propr . .

Corollario limiti

Ganz sottospazi Gany

allora limite

diversi

ammette ha

se 2

: con non

,

(-1)"

an =

es in

: converge

↓

azn 1

>1

azn 1 1

- -

- -

1

ha mentre En

En acn-1

azn -1

si = =

, dispari

Pavi

Successioni Cauchy

di

Lef di

dice Eans F

Ingen

che Emin=ne

Vero

Cauchy

successione

e

si se

: ma c

. .

lan-am) c E

ha

si

Proprietà [an] limite finito di

ammette allora Cauchy

se

: è

,

fin er

an

Lim a

=

che

supponiamo ;

: lan-alcE/

T

allora la

Incen

Eco

fix nana .

si

c

. . Triang

dis .

a-aml =lan-al 1a-am)

lan-aml-lan-a E

Se +

na +

nimana si "E" <E/2

di

questo che

implica Ean3 Cauchy

è .

H

Vale il considero dei

anche dimostrarlo intermedi

risultati

viceversa ; per

Proprietà limitata

[any di Cauchy allora

è e

: se ,

Aim def

ad nella

Scegliamo di di

1

E Cauchy

: es succ i

=

.,

, . .

lan-anel

allora F 1

Enz na

In EN si

ne

c

. . Fissato

num .

/an-and

lanl 1am)

Allora = =

+ 19

lanel lan-and laz-anal lane-an

maxEe thew

= + .

, , , ...,

[an

questo limitata

implica che è

c'entra

non

Teorema Bolzano

(di Cauchy

[Any allora

limitata soffocuccessione

ammette convergente

sia , una

#im Land limitata

Poiche +

JacB B FueN

an

G

: ;

: c

.

, .

medio az

considero il punto · 7

I

d B

! Termini

B)

Allora della

B)

[a [B

dei

almeno sottointervalli , contiene

o

uo

, ,

corrispondenti indici

infiniti

successione a .

[21 Br) [B]

[c ..Te

tali

di

Chiamiamo intervalli analogamente intervalli

degli

;

uno mo

, [22

term. tale

Chiamiamo int

B2]

contiene della proprietà

corrispondenti intervalli

infiniti .

con

un

a

succ . .

,

.

Iterando il Ganl

due

procedimento [Bn]

ottengono proprietà

seguenti

le

successioni

si :

con

, ,

1) contiene

[an Bn] termini indici

infiniti

corrispondenti a

,

2) (a) B

I n

= . . .

an

G -

(Bc)Be Bz Bn

= = . . . a

=

3) Bn - an (a B)

Abbiamo dimostrato

Poiché quindi Fat

limitata

an Fliman a eR a

: =

su con

=> ,

. t Lim anlim B

Poiché lim b2

be

lim

↓ inf 7

Bu Br e

: a c

con

. = => .

.

. Bran a

dalla 3) 1

Inoltre =

na

si

,

Definita 4

Lanx seguenti

modi

successione nei

una :

[an Br]

f

indice e

primo

poniamo ann i

=

ne c .

. [az B2)

/ f

< Ance

me

= c

nz .

. ,

auxe[ax Bx)

F

indice

primo < nu-1

n = c ,

.

.

Per definizione il t dei

B carab

ha &K ank

si ank

per .

Proprietà limite finito

Ganz ammette

di allora

Cauchy

è

: se ,

Dim due sottosuccessione Gann3 .

f

precedenti

risultati esistono atR

:

per Anna

i

: una im

c

, .

c lank-al Essendo

lim

Fissato di

Lank

E

. IneeN

Cauchy

Akka

Eco Anka ha

Ken si

per . ,

, Eka nah Fake

Fana

lan-amlE Poniamo

f i

.

ha

An ha

ma si max

=

c

. , ,

.

Osservo (dalla proprietà

che dis Triang

nã = Uma .

ann-allan-anl

E -E

lan-al-lan-an lank-alde

Sia ha +

n si

ne + vale h a

per Ka

=

-

vale na

per Ume

?

l'arbitrarietà ·

Quindi E

di ha M

an a

si an

per =

n 300

-

altri

Trova Gli

Limiti Notevoli a

(1 + *

him

allora

↓ antoo

se Im 1/an

lim an)

too(

else odn =

to

an 0 &

+

e =

-

n + 1/an a)" *

(n (1

an)

= )

+ (per

-sot =

o +

+

-- *