Appunti Analisi 1: teoria delle successioni, teoremi sui limiti e forme indeterminate

/og

23

VALORE ASSOLUTO dix

S valore il reale

chiama

XEIR si num

ass .

.

2 X20

Se

(x) x)

1

(x|

= = -

sexc

x

Ix1

Oss FxEIR

=0

.

Proprietà :

· Se

e

#X-CIR by + 0

,

y) (x)

(x Triangolave

(y) (Disuguaglianza Ex XeR

+

=

+

· ,

1)

((x) y)fx

(x

1x = yeR

-

· - ,

Sia (x1 =

= ac-a[x a

· aso (x

Sia = aux-a o = a

· x

aso l'insieme (non

Lemma superiormente maggiorantil

illimitato ammette

di Archimede N e

· : ,

questo implica che T

I

ExeR new n X

c

. .

Def INTERA

PARTE Z

t

intera t

intero

Sia parte il

chiama

XeR di [x]

si x num c

, .

. .

[x][X[x] (aoi(x) il dem minori/uguali

degli

Z di

1

+ è z

e massimo x

a

.

(4) = 1

(2) 2

=

[ 1) 1

= -

-

SUCCESSIONI Rl

la valori reali in

,

Dof F

chiama N

Si un'applicazione R

&

in

successione -

:

f(e)

E

F(n) f(z)

i E

= 1

=

e =

= f()

F(n) f(z)

= 4

=

= 1

= =

n

= alternand

(i

F(n) 1) f(t) 1jf(z)

f(z)

( j

> = 1

= 1

= = =

- -

-

Notazione solito

Di f(n) dove della

termine

chiama n-esimo successione

si

pane an

=

si an .

,

[any

La indica

successione si ann,

alternativo

lo modo

194

=

an

& in

Def Si superiormente (o

dice la (an) inferiormente

che è Limitata

successione Co anLM)

f dice an e

che

JMER EnEN ;

anEM si

5 c

. inferiormente dire

equivalente

superiormente +

che 7M30

ciò è

Limitata a

-

e c

. .

FEN

laul [M

-21/14

es : (aperiormente )

lim

1/12

ha 1

si .

(inferiormente lim

ha 1/n

<

si o

quindi 1/n

< LIMITATA

< =

0 1

En'}

· (inf lim)

ha n2

<

o

si .

limitata JMERF N

↓

n'IM AneN

NON perché

che

apponiamo e

sup -- nei

siamo

C vero

. .

↓ FreN

avrebbe che nqn2M n IM

si = ↳ di

il lemma Archimede

Assurdo per

[(-1)") Cimitata

e 1)"

(

ha

Si 1

=

1 =

-

- monotonal

(successione

Def [any

dice [Decrescente]

Si la

che è Crescente

successione 1]

[an FueN

=

an-ante an

so +

↓

La dice crescente/decrescente

successione si strettamente se

1/andante EneN

< an

an + (porchinil

[1/n] Ente

Decrescente FueN

>

es Ster .

En'Y n" c 1)"

(n

Siet Crescente +

.

(1)"Y

[ infatti

e

Non monotona ,

an(az > as

11 Il 1)

1 1c 1 può ess.

- non

= Cresc .

pl

Non Ess

DECRE

[an)

Oss Aman

I

= am

an

.

Def proprietà

dice

Si f

In

certa

che EN

Soddisfa definitivamente se

una

succ

una c

.

. .

proprietà soddisfatta

la n In

è

Limiti

Def all'infinito

dice tende

Si er

la tende

che che

per

an

successione n

a scrive

si

a e

lim

minito (cio

lim e)

lan-al se

tic

IngeN ha

Anche

fEso <a

a-Ecan

An=a si

se +

.

n 00

>

- limito

Notazione dice che

and

Se eR

ha CONVERGENTE

si

a ,

(si al

anche

può --

scrivere an

Gen) positi

es forza

X

=ce nt

=f

/E-ole

deve =

Fix eso essere

n (1)

Se infatti n

, h

lim

↳ quindi 0

=

n >00

-

Proprietà : Cany

lirite)

(uvicità

el Teorema fic

a eR

Sia .

successione siano ata

e

ma

del a

: ,

lim lim

Allora può An Q a

non essere e

= an =

n >00

- lim

Dim entrambi

assurdo valgano limiti lim

che

Sia per a

al supponiamo

a i an a a

e

=

fail

= nella

Poniamo (perché

def

o

E a

. lan-alce

f a fic

J

Ana

Ine

Quindi EN

la =

en ne

ha e

si

c

. .

, =

lan-alce

Una ne ha

si

↓ nal

Posto maxana sila

ne na

se

= na ,

, alla al

la an

la -all an)

an +

an

= + -

- - -

la-alclarale

~ + -al assolto

la-al cio

=

2) convergente

Teorema limitata

è

ogni successione

: La Corralma

Dim

Sia -Se

succession

lan-al An n

ha <1 cioè 1

+

-1 cana =

si a

,

Sa An

ant