Esercizi Analisi 2

Analisi Matematica II

Serie di funzioni

Esercizio 1. Studiare la convergenza puntuale e uniforme delle seguenti successioni di funzioni negli

intervalli specificati. Determinare, in seguito, il generico insieme di convergenza uniforme.

x −n|x|

e , in

(1) f (x) = R,

n 1

|x| + n

p

n 2n

(2) f (x) = 1 + x , in [−1, 1],

n n

arctg(x )

(3) f (x) = , in R,

n n

2 2 2

−

(n x ) , in

(4) f (x) = R,

n 2 2 2

−

1 + (n x )

1 n

1

, in (0, 1], o in [

(5) f (x) = log 1 + , 1],

n 2

x

2

x n

, in [−1, 0],

(6) f (x) = 1 +

n n

n n 1

(7) f (x) = x log(x ), in (0, 1], o in (0, ],

n 2

 1

n 1

0 <x<

x sin √

 n

n π in

(8) f (x) = x R,

n 0 altrove,



n

x sin(nx)

(9) f (x) = , in [0, 1].

n x+1

n ∈

Esercizio 2. Indicata, per ogni n con f la soluzione del problema di Cauchy, verificare che

N, n

{f } converge uniformemente nell’intervallo I indicato

n 2

 1 + y

0

y =

 2

(1) I = [2, 3],

2t y

−n

y(1) = e ,

 y

 0

y =

 1

t +

(2) I = [0, 2],

n 1

y(1) = 2 + ,

 n

( 0 −n

y = y + t + 2

(3) I = [0, 3],

−2,

y(1) =

 1

y + t + 2

0 n

 √

y =

 I = [1, 3],

(4) t

5

−



y(1) = ,

 2

( 00 0 t

y + 3y + 2y = e

(5) I = [−1, 1].

0 1

y(0) = 0, y (0) = ,

n 1

Esercizio 3. Studiare la convergenza puntuale e uniforme delle seguenti serie di funzioni negli

intervalli specificati. Determinare, in seguito, il generico insieme di convergenza uniforme.

∞ x

arctg

X n

√

(1) , in [−2, 2],

n

n=1

∞ 1

X

(2) , in [1, +∞),

p x 2

n (n + 1)

n=1

∞ 2x −

n 1

X

(3) , in (−∞, 0],

3

n + 1

n=1

∞ 2

x−2 4−x

n + n

X −2],

(4) , in (−∞,

2

n

n=1

∞ 2

−nx

e

X ∞),

(5) n sin , in [1,

n

n=1

∞ √ x

X , in [−1, 1],

(6) sin n sin 2

n

n=1

∞ n

−

(1 x)

X

(7) , in [1, 2],

x

n

n=1

∞ 2

x n

X −

(8) 1 , in [0, 3],

n

n=1

∞ n

x

X 12 1

, in [− , ],

(9) 2

2

1 + nx

n=1

∞ x

X −n ∞),

(10) 3 , in [1,

n=1

∞ n

X −x /n ∞),

(11) n , in [2,

n=1

∞

X −x

log log n ∞),

(12) x n , in [2,

n=3

∞ √

3

X n x 12

n , in [0,

(13) x ].

n=1

Esercizio 4. Studiare la convergenza (puntuale e) uniforme delle seguenti serie di funzioni.

∞ n

x

X ,

(1) n

n2

n=1

∞ 3 n

n x

X

(2) ,

n!

n=1 2

+∞ 2n−1

x

X ,

(3) −

n(2n 1)

n=1

+∞ n

x log n

X √ ,

(4) 1 + n

n=1

+∞

X n n

(5) (−1) (n + 1)x ,

n=1

+∞ 1 n

−

(x )

X 2

(6) ,

log n

n=2

+∞ n

−

(3 x)

X √

(7) ,

n 2 −

3 n 1

n=1

+∞ 2 n

n (x + 1)

X √ ,

(8) 2 n

−

n 1 + 3

n=1

∞ 2

n

x

X ,

(9) n

n=1

∞ 5

X n n!

(10) 3 x ,

n=1

+∞ 2 n

X −

(11) n x 1 ,

3

n=1 √

+∞ n+1 2 −

(−1) n 1

X

(12) ,

n

(x + 1)

n=1

+∞ n

x +1

X 2 ,

(13) (n + 2) −

x 1

n=1

+∞ n+1

2

X

(14) ,

nx

e

n=1 √

+∞

n +2

X x n

−

(15) (4 3 ) tg ,

2

n + n

n=1

∞ 2

X −nx

n

(16) x e ,

n=1

∞ log n

X n

(17) (cos x) ,

n

n=1

+∞ n n

2 (sin x)

X

(18) .

n

n=1 3

Analisi Matematica II

Serie di funzioni

Esercizio 1. Studiare la convergenza puntuale e uniforme delle seguenti successioni di funzioni negli

intervalli specificati. Determinare, in seguito, il generico insieme di convergenza uniforme.

x −n|x|

e , in

(1) f (x) = R,

n 1

|x| + n

p

n 2n

(2) f (x) = 1 + x , in [−1, 1],

n n

arctg(x )

(3) f (x) = , in R,

n n

2 2 2

−

(n x ) , in

(4) f (x) = R,

n 2 2 2

−

1 + (n x )

1 n

1

, in (0, 1], o in [

(5) f (x) = log 1 + , 1],

n 2

x

2

x n

, in [−1, 0],

(6) f (x) = 1 +

n n

n n 1

(7) f (x) = x log(x ), in (0, 1], o in (0, ],

n 2

 1

n 1

0 <x<

x sin √

 n

n π in

(8) f (x) = x R,

n 0 altrove,



n

x sin(nx)

(9) f (x) = , in [0, 1].

n x+1

n ∈

Esercizio 2. Indicata, per ogni n con f la soluzione del problema di Cauchy, verificare che

N, n

{f } converge uniformemente nell’intervallo I indicato

n 2

 1 + y

0

y =

 2

(1) I = [2, 3],

2t y

−n

y(1) = e ,

 y

 0

y =

 1

t +

(2) I = [0, 2],

n 1

y(1) = 2 + ,

 n

( 0 −n

y = y + t + 2

(3) I = [0, 3],

−2,

y(1) =

 1

y + t + 2

0 n

 √

y =

 I = [1, 3],

(4) t

5

−



y(1) = ,

 2

( 00 0 t

y + 3y + 2y = e

(5) I = [−1, 1].

0 1

y(0) = 0, y (0) = ,

n 1

Esercizio 3. Studiare la convergenza puntuale e uniforme delle seguenti serie di funzioni negli

intervalli specificati. Determinare, in seguito, il generico insieme di convergenza uniforme.

∞ x

arctg

X n

√

(1) , in [−2, 2],

n

n=1

∞ 1

X

(2) , in [1, +∞),

p x 2

n (n + 1)

n=1

∞ 2x −

n 1

X

(3) , in (−∞, 0],

3

n + 1

n=1

∞ 2

x−2 4−x

n + n

X −2],

(4) , in (−∞,

2

n

n=1

∞ 2

−nx

e

X ∞),

(5) n sin , in [1,

n

n=1

∞ √ x

X , in [−1, 1],

(6) sin n sin 2

n

n=1

∞ n

−

(1 x)

X

(7) , in [1, 2],

x

n

n=1

∞ 2

x n

X −

(8) 1 , in [0, 3],

n

n=1

∞ n

x

X 12 1

, in [− , ],

(9) 2

2

1 + nx

n=1

∞ x

X −n ∞),

(10) 3 , in [1,

n=1

∞ n

X −x /n ∞),

(11) n , in [2,

n=1

∞

X −x

log log n ∞),

(12) x n , in [2,

n=3

∞ √

3

X n x 12

n , in [0,

(13) x ].

n=1

Esercizio 4. Studiare la convergenza (puntuale e) uniforme delle seguenti serie di funzioni.

∞ n

x

X ,

(1) n

n2

n=1

∞ 3 n

n x

X

(2) ,

n!

n=1 2

+∞ 2n−1

x

X ,

(3) −

n(2n 1)

n=1

+∞ n

x log n

X √ ,

(4) 1 + n

n=1

+∞

X n n

(5) (−1) (n + 1)x ,

n=1

+∞ 1 n

−

(x )

X 2

(6) ,

log n

n=2

+∞ n

−

(3 x)

X √

(7) ,

n 2 −

3 n 1

n=1

+∞ 2 n

n (x + 1)

X √ ,

(8) 2 n

−

n 1 + 3

n=1

∞ 2

n

x

X ,

(9) n

n=1

∞ 5

X n n!

(10) 3 x ,

n=1

+∞ 2 n

X −

(11) n x 1 ,

3

n=1 √

+∞ n+1 2 −

(−1) n 1

X

(12) ,

n

(x + 1)

n=1

+∞ n

x +1

X 2 ,

(13) (n + 2) −

x 1

n=1

+∞ n+1

2

X

(14) ,

nx

e

n=1 √

+∞

n +2

X x n

−

(15) (4 3 ) tg ,

2

n + n

n=1

∞ 2

X −nx

n

(16) x e ,

n=1

∞ log n

X n

(17) (cos x) ,

n

n=1

+∞ n n

2 (sin x)

X

(18) .

n

n=1 3

Analisi Matematica II

Serie di funzioni (svolgimenti)

Svolgimento esercizio 1 −n|x|

|x|e

|f |

(1) Osserviamo che f (x) := lim f (x) = 0, e occorre calcolare sup = sup . Studiamo,

n→∞ n n 1

|x|+ n

1

−ny −ny −ny

−nye

−ny (e )(y+ )−ye −ny

ye 0 e 2

≥ − −

, y 0. Si ha g (y) = = ny

quindi, la funzione g (y) := n

n n

1 1 1

2 2

) )

y+ (y+ (y+

n n n

√

√ √

√ 5−1

−

5−1 5−1 5−1

1

≥ ⇐⇒ ≤ ≤ 6→

|f

y + 0 0 y = 0, e quindi

, per cui sup (x)| = g e

√ 2

n n

x∈R

n 2n 2n 5+1

→

6

f f in R.

n → |f

Determiniamo ora il generico intervallo di convergenza uniforme. Per ogni a > 0, si ha sup (x)−

n

|x|≥a

→ −a] ∪

→ f in (−∞, [a, +∞).

f (x)| = f (a) 0, e quindi f

n n → ( |x| ≤

1, 1, 0

∈

(2) Osserviamo che, per ogni x si ha f (x) := lim f (x) = Poiché f (x) =

R, n→∞ n n

2 |x|

x , > 1. √

1 −1

1 2n 2n−1 n

|f − −

≥ ⇐⇒ ≥ − →

(x) f (x)| = f (1) 1 =

(1 + x ) 2nx 0 x 0, si ha sup 2 1 0, per

n n n

|x|≤1

n √ √

2

n

2n n

→ |f −x −

n

(x)−f (x)| = sup

cui f f , in [−1, 1]. Inoltre, sup 1 + x = sup 1 + y

n

n |x|>1 |x|>1

→ y>1

√ √

(a) 0

n n

→ −y, ≥

n (y) =

2−1 0 [dove in (a) si è usato il fatto che, posto g (y) := 1 + y y 1, si ha g

y = n n

1

1−

n−1 n n−1

1 −(1+y

y ) n

−1

1 n−1 n n 1/n

n n−1 ≥ ⇐⇒ −(1+y ≥ ⇐⇒ −(1+y ≥

−1 0 y ) 0 y ) 0,

(1+y ) ny =

n n

1

n 1−

n

(1+y ) n

→

mai]. Quindi f f in R.

n → π

n |f

| ≤ ]. Si ha sup (x)−f (x)| =

(3) Osserviamo che f (x) := lim f (x) = 0 [perché arctg(x )| n

n→∞ n x∈R

2

π →

→ 0, per cui f 0 in R.

n →

2n 1

∈ |f

(4) Osserviamo che f (x) := lim f (x) = 1, x Inoltre, sup (x)−f (x)| = sup =

R.

n→∞ n n

x∈R x∈R 2 2 2

−x

1+(n )

→

6→ 6

1 0, per cui f f in R.

n →

Determiniamo ora il generico intervallo di convergenza uniforme. Per ogni a > 0, n > a, si ha

1

1 → →

→ 6

|f − f in ma f f

= 0, per cui f

sup (x) f (x)| = sup R, n

n

n → →

x∈[−a,a] x∈[−a,a] 2 2 2 2 2 2

−x −a

1+(n ) 1+(n )

in [−a, a], a > 0. 1

{x ∈ −1) ∪ ∈

(5) Osserviamo che dom f = : 1 + > 0} = (−∞, (0, +∞), mentre lim f (x)

R

n n→∞ n

x

1 e 1

⇐⇒ ∈ ⇐⇒ ∈ − ∪

log 1 + (−1, 1) x (−∞, ) ( , +∞), e quindi si ha f (x) :=

R x e−1 e−1

 e 1

∈ − ∪

0, x (−∞, ) ( , +∞),

e−1 e−1



 1 →

6

∈ f in (0, 1], perché non c’è

lim f (x) = Si ha f

+∞, x (0, ),

n→∞ n n →

e−1

 e −1).

∈ ,

x (−



@, e−1 1

n →

|f − 6→ 6

nemmeno convergenza puntuale, e sup (x) f (x)| = (log 3) 0, per cui f f in [ , 1].

1 n n →

[ ,1] 2

2 |f −

Determiniamo ora il generico intervallo di convergenza uniforme. Si ha sup (x)

e n

x∈(−∞,− )

e−1

e 1

→

|f − 6 −

f (x)| = sup (x) f (x)| = 1, per cui f f in (−∞, ) e in ( , +∞). Inoltre, per

1 n n →

x∈( ,+∞) e−1 e−1

e−1 e

|f − |f |f −

− →

ogni δ > 0, si ha sup (x) f (x)| = (− (x)

δ)| 0, e sup

e 1

n n n

−δ]

x∈(−∞,− x∈[ +δ,+∞)

e−1

e−1 e−1

1 e 1

→

|f → − − ∪

f (x)| = ( + δ)| 0, per cui f f in (−∞, δ] [ + δ, +∞), δ > 0.

n n →

e−1 e−1 e−1 x

2

(6) Osserviamo che f (x) := lim f (x) = lim exp n log(1 + ) = lim exp nx(1 +

n→∞ n n→∞ n→∞

n



0, x < 0,





→

6

o(1)) = Poiché f non è continua in x = 0, f f in ogni insieme che contiene 0.

1, x = 0, n →



+∞, x > 0.

 1 |f

Determiniamo ora il generico intervallo di convergenza uniforme. Per ogni δ > 0, si ha sup (x)−

n

x∈(−∞,−δ]

|f −

f (x)| = +∞, mentre, per ogni a > δ > 0, si ha, per ogni n > a, sup (x) f (x)| =

n

x∈[−a,−δ]

→

|f → −δ],

(−a)| 0, per cui f f in [−a, a > δ > 0.

n n → ( ∈

0, x (0, 1], 0 n−1

(7) Osserviamo che f (x) := lim f (x) = Osserviamo che f (x) = nx (n log x+

n→∞ n n

+∞, x > 1.

1 1 1 →

≥ ⇐⇒ ≥ |f − |f 6→ 6 0 in (0, 1].

1) 0 x . Quindi sup (x) f (x)| = ( )| = 0, per cui f

√ √

n n n →

x∈(0,1]

n n e

e e 1

1 →

|f − |f →

Mentre si ha sup f in (0,

(x) f (x)| = ( )| 0, per cui f ]. In generale, per ogni

1 n n n →

x∈(0, ] 2 2

2 →

|f − |f − → −

δ > 0, si ha sup (x) f (x)| = (1 δ)| 0, per cui f f in (0, 1 δ], δ > 0.

n n n →

x∈(0,1−δ] ≤ ∨ ≥ ∈

(8) Osserviamo che f (x) := lim f (x) = 0 [perché, se x 0 x 1, è ovvio, e, se x (0, 1),

n→∞ n q

1 2

2

n n n →

≤ → |f − ≥ 6→ 6

x sin( x 0]. Poiché sup (x) f (x)| f (

segue da ) ) = 0, si ha f 0

n n n →

x∈R

n

x 3π 3π

in R. |f

Determiniamo ora il generico intervallo di convergenza uniforme. Per ogni δ > 0, si ha sup (x)−

n

x∈(−∞,1−δ]

n n → − ∪

≤ → |f − f in (−∞, 1 δ]

f (x)| sup x = δ 0, e sup (x) f (x)| = 0, per cui f

n n →

x∈[0,1−δ] x∈[1,+∞)

[1, +∞), δ > 0. ( ∈

0, x (−1, 1], |f − ≤

(9) Osserviamo che f (x) := lim f (x) = Si ha sup (x) f (x)|

n→∞ n n

x∈[0,1]

altrimenti.

@,

1 1 →

→

sup = 0, per cui f f in [0, 1].

n →

x∈[0,1] x+1 n

n |f − ≥

Determiniamo ora il generico intervallo di convergenza uniforme. Poiché sup (x) f (x)|

n

x∈(−1,1] n

|x|

→

|f | 6→ 6

(−1)| = sin n| 0, si ha f 0 in (−1, 1]. Osserviamo, inoltre, che la funzione g (x) :=

n n n

→ x+1

n

1

n

7→ |x| 7→ sono decrescenti, mentre g è crescente in

è decrescente in (−1, 0], in quanto x e x n

x+1

n

0 −(x+1) n

n−1 log n − ≥ ⇐⇒ ≤ . Quindi, per ogni δ > 0,

[0, 1], in quanto g (x) = x e (n x log n) 0 x

n log n

n

|x| 1

n →

|f − ≤ − } →

si ha sup (x) f (x)| sup = max{(1 δ) , 0, per cui f f in

n n →

x∈[−1+δ,1] x∈[−1+δ,1] x+1 2

n n

[−1 + δ, 1], δ > 0.

Svolgimento esercizio 2 y dy 1

dt 12 2

R R −

⇐⇒ log(1 + y ) = + c, e dalla

(1) L’equazione è a variabili separabili, e si ha =

2 2 2t

1+y 2t

−n −n

1

2 − ⇐⇒

condizione iniziale segue che 2c = 1 + log(1 + e ), per cui log(1 + y ) = + 1 + log(1 + e )

t

1

−n 1−

2 , e quindi

1 + y = (1 + e )e t q 1

1−

−n −

f (t) = (1 + e )e 1 ,

t

n q 1

1−

1 −

. Ora f (t) := lim f (t) = e 1, t > 1, e si ha

che è definita per t > t

n

−n

1+log(1+e ) n→∞ 1

−n 1−

q

q e e t

1 1

1− 1−

−n

|f − − − −

sup (t) f (t)| = sup (1 + e )e 1 e 1 = sup

t t

n q

q 1 1

t∈[2,3] t∈[2,3] t∈[2,3] 1− 1−

−n − −

(1 + e )e 1 + e 1

t t

2

−n

e e 3

≤ → 0,

q

q 1 1

−n − −

(1 + e )e 1 + e 1

2 2

→

cioè f f uniformemente in [2, 3].

n 2

dy dt 1

R

R ⇐&