Matrici

Lezione 29

Moltiplicazione per uno scalare

Definizione ∈ M(m, ∈

A

La moltiplicazione di una matrice n) per uno scalare α R

∈ M(m,

B

è una nuova matrice n) tale che

·

B A

= α = (αa ).

ij

Esempio. La moltiplicazione della matrice



 0 1

√

4 2 2

+

√ 

 2 3

√

per lo scalare 2 risulta

α = √ √

√

   

· · 0

0 2 1 2 2

√ √ √ √ √ √

B · ·

2A

= = =

4 2 2) 2 4 2 2 2 2

(2 + +

√ √ √ √

   

· ·

2 2 3 2 2 3 2 dsm

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Lezione 29

Algebra lineare

Osservazione

La somma tra matrici e la moltiplicazione per uno scalare godono delle

M(m,

stesse proprietà viste per i vettori. Quindi n) è uno spazio

vettoriale.

Esiste una stretta analogia tra vettori e matrici. Provate a completarla

rispondendo alle seguenti domande:

Qual è la base canonica per lo spazio vettoriale delle matrice

1 M(3, M(m, M(m,

2)? Ed in generale per n)? Qual è dim n)?

M(4,

Mostrare che il sottoinsieme di 4) formato dalle matrici

2 triangolari superiori è un sottospazio vettoriale. Qual è la sua

dimensione? E nel caso generale?

E se fossero triangolari inferiori? E se fossero simmetriche? E se

3 fossero antisimmetriche? dsm

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Lezione 29

Prodotto matriciale

Definizione A B

Diciamo che due matrici e sono conformabili se il numero di

∈ M(m,

A B, A

colonne di coincide col numero di righe di cioè se p) e

∈ M(p,

B n).

Esempio. Le due matrici

 

0 1

2 2 2 2

A B

1 1 e

= =

  3 4 1 5

0 3

sono conformabili mentre non lo sono

 

0 1 1

2 2

A B

1 1 1 e

= =

  3 3

0 3 1 dsm

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Lezione 29

Prodotto matriciale

Definizione

∈ M(m, ∈ M(p,

A B

Siano p) e n) due matrici conformabili. Il prodotto

· ∈ M(m,

A B C

matriciale è una nuova matrice n) avente la A

componente c uguale al prodotto scalare tra la riga i–esima di e la

ij B,

colonna j–esima di cioè j

hA i.

B

c = ,

ij i

Esempio. Date le due matrici conformabili

0 1 2 2

A B

e

= =

1 1 3 0

si ha

h(0, h(0,

1), 3)i 1), 0)i 3 0

(2, (2,

AB = =

h(1, h(1,

1), 3)i 1), 0)i 5 2

(2, (2, dsm

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Lezione 29

Prodotto matriciale

Esempio. Date le due matrici conformabili

 

0 1

2 2 2

A B

1 1 e

= =

  3 4 1

0 3

   

h(0, h(0, h(0,

1), 3)i 1), 4)i 1), 1)i 3 4 1

(2, (2, (2,

h(1, h(1, h(1,

AB 1), 3)i 1), 4)i 1), 1)i 5 6 3

(2, (2, (2,

= =

   

h(0, h(0, h(0,

3), 3)i 3), 4)i 3), 1)i 9 12 3

(2, (2, (2,

Osservazione AB BA.

In alcuni casi si può fare solo ma non In altri si possono fare

entrambe le moltiplicazioni: ad esempio se sono entrambe quadrate

∈ M(m, ∈ M(n,

A B

dello stesso ordine oppure se n) e m). dsm

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Lezione 29

Prodotto matriciale

Proprietà (del prodotto matriciale)

A, B, C

(m1) Associativa: per ogni matrici conformabili nell’ordine, si ha

A(BC)

(AB)C =

(m2) Distributiva a destra e a sinistra rispetto alla somma tra matrici:

A, B, C

per ogni si ha A(B C) AB AC

+ = +

e C)A BA CA

(B + = +

ogni volta che i prodotti siano ben definiti.

A, B

(m3) Prodotto e trasposizione: per ogni conformabili si ha dsm

| | |

B A

(AB) =

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Lezione 29

Commutatività del prodotto matriciale

Le precedenti proprietà ricordano quelle della moltiplicazione tra

numeri: di seguito evidenzieremo analogie e differenze tra le due

operazioni. ∈

Il prodotto tra numeri è commutativo cioè se a, b allora ab ba

=

R

Il prodotto matriciale non gode della proprietà di commutatività anche

AB BA

quando sia sia sono definiti.

Esempio. Le due matrici quadrate conformabili

0 1 2 2

A B

e

= =

1 1 3 0

non commutano tra loro; infatti

3 0 2 4

AB BA

mentre

= =

5 2 0 3 dsm

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Lezione 29

Legge di annullamento del prodotto

Il prodotto tra numeri verifica la legge di annullamento del prodotto cioè

· ⇐⇒

a b 0 a 0 oppure b 0.

= = =

Il prodotto matriciale non verifica la legge di annullamento del prodotto.

Esempio. Date le due matrici quadrate conformabili

−3

2 1 1

A B

e

= =

−4 −2 −2

6

si ha

0 0

AB = .

0 0

AB A

Il prodotto si è annullato sebbene nessuna delle componenti di e

B

di sia nulla. dsm

A B?

Domanda: come sono state costruite le due matrici e

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Lezione 29

Esistenza dell’elemento neutro

Nel prodotto tra numeri esiste un elemento, il numero 1, detto

elemento neutro che verifica la seguente proprietà

· · ∀a ∈

1 a a 1 a,

= = R.

M(n, ∈ M(n,

I

Nell’insieme n) la matrice identità n) gioca il ruolo di

elemento neutro per il prodotto matriciale cioè

∀A ∈ M(n,

AI IA A, n).

= = dsm

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Lezione 29

Matrice inversa (prima parte) −1 −1

6 ·

Nel prodotto tra numeri per ogni a 0 esiste a per cui a a 1.

= =

Riproponiamo la domanda per le matrici.

∈ M(n,

A 0

Domanda: se n) è diversa dalla matrice nulla esiste una

−1 ∈ M(n,

A

matrice n) per cui

−1 −1

AA A A I?

= =

La risposta è parzialmente negativa.

Esempio. La matrice

5 9

A = 1 2

è invertibile e la sua matrice inversa è

−9

2

−1

A = dsm

−1 5

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Lezione 29

Matrice inversa (prima parte)

Infatti

−9

5 9 2

−1 ·

AA = −1

1 2 5

· · · ·

5 2 9 5 9 5

+ (−1) (−9) +

= · · · ·

1 2 2 1 2 5

+ (−1) (−9) +

1 0

= 0 1

Analogamente

−9

2 5 9

−1 ·

A A = −1 5 1 2

· − · · − ·

2 5 9 1 2 9 9 2

= −1 · · −1 · ·

5 5 1 9 5 2

+ +

1 0

= 0 1 dsm

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Lezione 29

Matrice inversa (prima parte)

Mostriamo invece che la matrice

−1

2

B = −4 2

non ammette inversa. Se esistesse, sarebbe una matrice

a b

−1

B = c d

per cui

−1 − −

2 a b 2a c 2b d 1 0

−1 ·

BB = = =

−4 −4a −4b

2 c d 2c 2d 0 1

+ +

Quindi i coefficienti a, b, c e d devono risolvere il seguente sistema dsm

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Lezione 29

Matrice inversa (prima parte)  −

2a c 1

=



 −

2b d 0

=

 −4a 2c 0

+ =



 −4b 2d 1

+ =



Tuttavia la prima e la terza equazione sono tra loro incompatibili (così

B

come la seconda e la quarta). Quindi il sistema è impossibile e non

ammette matrice inversa.

Attraverso il calcolo del determinante di una matrice saremo in grado

di individuare una condizione necessaria e sufficiente per l’invertibilità

delle matrici quadrate (conseguenza del Teorema di Cramer). dsm

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In questo materiale didattico vengono trattati i seguenti argomenti. Matrici: definizioni principali ed esempi. Sottomatrici di una matrice fissata. Trasposta di una matrice, matrici triangolari (superiori ed inferiori), matrici diagonali; matrici simmetriche e matrici antisimmetriche. Operazioni tra matrici: somma tra matrici, moltiplicazione di una matrice per uno scalare; algebra lineare degli spazi di matrici. Prodotto matriciale e sue proprietà: assenza della commutatività e della legge di annullamento del prodotto. Matrice inversa.