Compendio di geometria nello spazio ottimo per scuola secondaria e matematica a26 concorso scuola secondaria.

ESERCIZI DI RIEPILOGO

− −

A

( 2

,

5

,

3

) , B

(

3

, 1

, 4

)

1) Determinare la distanza tra i punti

( ) ( ) ( )

= − + + − =

2 2 2

AB 5 6 1 62 . − −

A

( 2

,

5

,

3

) , B

(

3

, 1

, 4

)

2) Determinare il punto medio dei punti

− +

 2 3 1

= = −

x

 2 2

 −

 5 1

= =

 y 2

2

 +

 3 4 7

= =

z



 2 2  

= − +

 x 2 5

t



 

− − = −



A

( 2

,

5

,

3

) , B

(

3

, 1

, 4

) r : y 5 6

t

3) Determinare la retta per i punti  



 

= +

z 3 t

 





= + = +

 x 2 k t x 2 kt



 = + = +

 

r : y 2 kt s : y 1 2 kt

4) Per quale valore di k le due rette sono perpendicolari ?

 

= − +

 z 5 2

t 1

 = −

z t

 2

 

1

−

 

w k , 2 k ,

r ha direzione , s ha direzione

v (

1

, k , 2

)  

2

⊥ ⊥

r s se e solo se v w ; − 1

−  +

 

( ) 1 1 1 8

− = + − = = = 

  2 1 .

1

, k , 2 k , 2 k , k 2 k 1 0 ; k

 

2 4 2

( ) ( )

− −

5) Determinare il piano assiale del segmento di estremi A 2

,

1

,

3 , B 4

, 2

, 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

− + − + − = − + + + +

2 2 2 2 2 2

x 2 y 1 z 3 x 4 y 2 z 2

− + + − + + − + = − + + + + + + +

2 2 2 2 2 2

x 4 x 4 y 2 y 1 z 6 z 9 x 8 x 16 y 4 y 4 z 4 z 4

− + − + − + = − + + + + +

4 x 4 2 y 1 6 z 9 8 x 16 4 y 4 4 z 4

− − = +

4 x 6 y 10 z 10

− − =

2 x 3 y 5 z 5

Il risultato è corretto ? 79

+

 2 4

= =

x 3

 2

 −

 1 2 1

= = −



M y

Devo controllare che il piano passi per il punto medio di AB , 2 2

 −

 3 2 1

= =

z



 2 2

 

1 5 3 5

 − − − = + − =

 

2 3 3 6 5

 

2 2 2 2

Poi che il piano sia perpendicolare alla retta AB . La direzione di AB è

( ) ( ) ( )

− = − − − = −

A B 2

,

1

,

3 4

, 2

, 2 2

,

3

,

5 ( )

− − = − − = − −

2 x 3 y 5 z 5 ha vettore perpendicolare 2

, 3

, 5 ( A B

)

ESERCIZI DI RIEPILOGO

( ) + + + +

i aj bk i 2 j 5

k

1. Esiste una sola terna per cui perpendicolare a e parallelo a

a

, b

, c

+ +

ci j 2

k . Vero o falso ?

 

 

( ) 1 1

= − − −

 

Vero

; a , b

, c , , 12

 

 

 

12 6 = +

 x 2 t

  

7

= − −

 5

P (

3

, 4

, 2

)

2) Determinare la distanza tra il punto e la retta r: y 1 2

t  

3

 =

 z 2

t 80

 

( ) ( ) ( )

=  − − −

w 1

, 2

, 4 ; per gli altri due una possibilit à è u 4

,

0

,

1 , v 2

, 17

, 8

[Sghembe]

 

( ) ( )

= − + − − − − + = − −

i ) z 3 x 2 y 2

; n 3

, 2

, 1 ; ii

) x 2 y 2 z 5 0 ; n 1

, 2

, 2

**8. Determinare la distanza tra i punti e i piani assegnati

 

6 6

; 3 ;

 

 

3 3

Basta mettere a sistema le quattro equazioni ottenendo 81

− =

 x 2 y 1

 − =

 x z 1

 + =

x y 1



 − =

 y z 0

− − − −

       

1 2 0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2 0 1

       

− − − −

       

1 0 1 1 0 2 1 0 0 2 1 0 0 2 1 0

  

       

1 1 0 1 0 3 0 0 0 0 3 0 0 0 3 0

       

       

− −

       

0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 2 0 0 0 0 0

Per cui le rette sono incidenti nel punto .

A

(

1

,

0

,

0

)

Il piano cercato è quello di asse una contenente un punto dell’altra diverso da quello di intersezione.

( )



− − + − − =

Il fascio di asse r è x 2 y 1 x z 1 0 3

 

− − = = −

3 2 0 ;

Passa per se per cui il piano cercato è

(

0

,

1

,

1

) 2

( )

3

− − − − − = − − + + =

x 2 y 1 x z 1 0 ; x 4 y 3 z 1 0

.

2

 

+ + =

 k l m 1



 

i ) No ii ) Si + − =

 k 2

l m 0

 

 

( ) ( ) ( )

1 1 1

− − − − −

7

,

1

,

1 ; 12

, 25

, 10 ; 3

, 2

, 1

 

 

51 763 14

 

= −

a 6 82

=

 x 2 y  

= +



15. Siano r la retta e il piano . Spiegare perché una retta s in che incontra r

x y z

=

 2 y z =

 x at

 

=



ha necessariamente equazione e trovare le condizioni su a,b,c per cui s sia ortogonale

R

s : y bt

 =

 z ct + + =



2 a b 2

c 0

⊥

nell’origine. 

a r . [Perché la retta incidente al piano se ]

s r − − =



a b c 0

 

1 1

+ + =

i ) 3 ii ) x y z 1 iii )

 

 2 3  

− 53

A

( 2

,

5

,

0

) , B

(

3

, 1

, 4

)

1) Determinare la distanza tra i punti  

 

5

−  

;

2

;

2

 

A

( 2

,

5

,

0

) , B

(

3

, 1

, 4

)

2) Determinare il punto medio dei punti  

 

2 83

 

= − +

 x 2 5

t



 

= −

− 

AB y 5 4

t

3) Determinare la retta per i punti A

( 2

,

5

,

3

) , B

(

3

,

1

,

0

)  



 

= −

z 3 3

t

 



= +

 

x 2 k t = +

x 2 kt

   

= + = −

= +

 

r : y 2 kt

4) Per quale valore di k le due rette sono perpendicolari ? k 1

s : y 1 2 k



 = − + 1

 z 5 2

t  = −

z t

 2  

( )

− + − = −

l’origine e

5) Determinare il piano assiale del segmento di estremi A 2

, 4

, 6 2 x 4 y 6 z 8

Trovare la distanza trai seguenti punti e i seguenti piani. = +

 x 2

t 3



( ) = −

− 

r : y 2

t 1

Determinare la distanza del punto P( dalla retta

P 2

, 2

,

3  = −

 z t 4

Determinare la distanza tra le seguenti coppie di piani

 

5



 − + + = − + − + =  

,

: x 2 y z 3 0 : x 2 y z 2 0

1 2  

6

 

3



 − + + = − + =  

,

: x 2 y z 3 0 : x 2 y z 0

1 2  

6

=

 x t + + =



 x y z 3 ( )

−

= 



Date le rette: e il punto determinare l'equazione del

s :

, P 1

,

0

, 2

r : y 2

t − =



2 x y 0

 =

 z t  

− =

piano passante per P e parallelo alle due rette. 2 x y 2 84

LA SFERA ( ) =

− −

Determinare l’equazione della superficie sferica di centro

1) e raggio .

r 3

C 2

, 1

,

1 ( )

Basta applicare la formula della distanza tra due punti. Il punto dello spazio ha distanza 3

P x

, y

, z

( )

− −

da se

C 2

, 1

,

1 ( ) ( ) ( )

= + + + + − =

2 2 2

PC x 2 y 1 z 1 3

( ) ( ) ( )

+ + + + − =

2 2 2

x 2 y 1 z 1 9 ( ) =

Determinare l’equazione della superficie sferica di centro

2) e raggio .

r 2

C 2

,

1

,

0

( ) ( )

− + − + =

2 2 2

x 2 y 1 z 4

Come nel caso della circonferenza nel piano, sussiste il problema inverso.

+ + − + − =

2 2 2

Data la superficie sferica trovare centro e raggio.

x y z 2 x 4 y 8 z 4

−

 2

= − =

x 1

 2



 4

= − = −



C y 2

2

 −

 8

= − =

z 4



 2

= + + + =

r 1 4 16 4 5 ( ) ( ) ( )

− + + + − =

2 2 2

Controllare che l’equazione sia equivalente a x 1 y 2 z 4 25

( ) ( )

− − −

3) Determinare l’equazione della superficie sferica di diametro AB con A 4

,

0

,

1 , B 2

, 2

, 1

Come nel caso della circonferenza di diametro assegnato nel piano il centro è il punto medio di AB

e il raggio è la metà della lunghezza AB.

− −

 4 2

= = −

x 3

 2

 +

 0 2

= =



C y 1

2

 −

 1 1

= =

z 0



 2

( ) ( ) ( )

1

= − + − + =

2 2 2

R 2 2 2 3

2 ( ) ( )

+ + − + =

2 2

cui l’equazione richiesta è 2

x 3 y 1 z 3

per

Notare come le circonferenze di diametro AB nello spazio siano infinite; la loro unione da la

superficie sferica trovata. 85

( ) ( )

− −

4) Determinare l’equazione della superficie sferica di centro passante per

C 4

,

0

,

1 B 2

, 2

, 1

Come nel caso della circonferenza di centro assegnato e passante per un punto nel piano il raggio è

la distanza CB ( ) ( ) ( )

= = + − + =

2 2 2

R CB 6 2 2 44

( )

− + + − =

2