Matematica generale

R

8 2

1. a+(b+c) = (a+b)+c a, b (proprietà associativa dell’addizione), per cui si può scrivere tranquillamente

a + b + c; R;

8 2

2. esiste un unico elemento, 0, tale che 0 + a = a + 0 a

R

8 2

3. a esiste uno ed un solo elemento a, elemento opposto di a tale che a + ( a) = a + a = 0;

R

8 2

4. a + b = b + c a, b (proprietà commutativa dell’addizione);

• \ {0}, ·)

(R è un gruppo commutativo, ovvero

R

· · · · 8 2

1. a (b c) = (a b) c a, b (proprietà associativa della moltiplicazione), per cui si può scrivere

· ·

tranquillamente a b c; R;

· · 8 2

2. esiste un unico elemento, 1, diverso da 0, tale che 1 a = a 1 = a a

R 1 1 1

8 2 \ {0} · ·

3. a esiste uno ed un solo elemento a , elemento inverso di a, tale che a a = a a = 1;

R

· · 8 2

4. a b = b c a, b (proprietà commutativa della moltiplicazione);

• R

· · · 8 2

a (b + c) = a b + b c a, b, c (proprietà distributiva);

•  ·,

è compatibile con + e ovvero R,

  8 2

1. se a b, allora a + c b + c c

   ·

2. se 0 a e 0 b, allora 0 a b;

• )

(R, è completo.

4 Preliminari

Osservazione 1.3.2. 1. In realtà si dimostra che, in e↵etti, un tale insieme esiste ed è unico.

·

2. È consuetudine omettere il segno di moltiplicazione e scrivere ab in luogo di a b. Q.

3. Senza la richiesta finale della completezza, gli stessi assiomi sono soddisfati anche da

  6

4. Se x y scriveremo anche y x. Se poi x y e x = y scriveremo, com’è naturale, x < y o x > y.

R

5. Le prime 3 proprietà dicono che è un campo.

In alcuni testi l’ultimo assioma di completezza viene presentato tramite un altro principio, ovviamente equivelente,

noto come R R

⇢ [

Principio di Dedekind: Siano A, B due sottoinsiemi non vuoti e disgiunti tali che A B = e a < b per ogni

R); R

2 2 2  

a A e per ogni b B (si dice in tal caso che (A, B) è una sezione di allora esiste c tale che a c b per

2 2

ogni a A e per ogni b B. 2 2

Gli studenti più distratti leggono questo assioma nel modo seguente: per ogni a A e per ogni b B con a < b

R

2  

esiste c tale che a c b, che è un’a↵ermazione ben diversa, si guardi l’enunciato del successivo Teorema 1.3.5.

R,

⇢ 6 ;,

Definizione 1.3.3. Se A A = è illimitato superiormente (risp. inferiormente), si pone sup A = +1 (risp.

1).

inf A = R R

1 1.

Per questo motivo risulta allora sup = e inf = N

2

Teorema 1.3.4 (Assioma di Archimede). Per ogni x, y > 0 esiste n tale che nx > y.

Q). R Q

2 2

Teorema 1.3.5 (Densità di Per ogni x, y con x < y esiste q tale che x < q < y.

Questo è un risultato utilissimo nella pratica, perché implica che ogni numero reale può essere approssimato, con la

precisione richiesta, da un numero razionale. N

Teorema 1.3.6 (Principio d’induzione). Sia P una proprietà definita in un sottoinsieme M di tale che

• P (1) è vera,

• N,

2

da P (n) discende P (n + 1) per ogni n

N.

8 2

allora P (n) è vera n

Il supporre vera P (n) per poi verificare P (n + 1) è comunemente chiamato passo induttivo o ipotesi induttiva.

Anche se a prima vista non se ne capisce il motivo, il teorema precedente è equivalente al

N

Teorema 1.3.7. Ogni sottoinsieme non vuoto di ammette minimo.

N

2

Esempio 1.3.8. Per ogni n la somma dei primi n numeri naturali è

n(n + 1)

S(n) = 1 + 2 + . . . + n = .

2

Infatti se n = 1, S(1) = 1. Se poi supponiamo che sia vera la S(n) (ipotesi induttiva), abbiamo

n(n + 1) (n + 1)(n + 2)

S(n + 1) = S(n) + n + 1 = + n +1= ,

2 2

che è la formula di S(n + 1). 6

Esempio 1.3.9. Dimostriamo per induzione che per ogni q = 1 risulta

n

X n+1

1 q

k

q = .

1 q

k=0

1 q

Infatti se n = 0 risulta 1 = . Supponiamo vera la formula per n e dimostriamola per n + 1:

1 q

n+1 n

X X n+1 n+2

1 q 1 q

k k n+1 n+1

q = q + q = (per ipotesi induttiva) + q = ,

1 q 1 q

k=0 k=0

cioè P (n + 1).

1.4 Il valore assoluto 5

R̄ R [ {1, 1},

Può anche essere utile introdurre la nozione di retta reale estesa = che per brevità viene scritta

1, 1]. ±1

anche come [ Osserviamo però che questa scrittura è solo un simbolo, e non deve far pensare che siano

R. R

1 1 8 2

numeri, benché, in e↵etti, sia vero che < a < a Tra l’altro, alcune proprietà di (ma non tutte) si

R̄,

possono estendere facilmente a ad esempio

• R;

1 1 8 2

a + = a

( 1 se a > 0,

• · 1

a = ;

1 se a < 0

• 1 · 1 1;

=

( 1 se a > 0,

1

• = ;

a 1 se a < 0

• R;

a 8 2

= 0 a

1 ( 1 se a > 0,

• a

1 = 0 se a < 0. 1 1

In definitiva, non si riesce a dare un senso a e 0·1, che potremo comunque recuperare, in alcuni casi, intendendo

quei valori come limiti (si vedano i Capitoli 2 e 4).

Per il futuro sarà anche utile introdurre la terminologia seguente, del tutto coerente con il sentire comune.

Definizione 1.3.10. Diremo che un numero reale x è positivo se x 0, strettamente positivo se x > 0, negativo se



x 0 e strettamente negativo se x < 0.

R R R R

+ {x 2 1) {x 2  1,

Porremo anche con = : x 0} = [0, e = : x 0} = ( 0].

1.4 Il valore assoluto

R

In introduciamo una funzione importantissima, detto valore assoluto o modulo.

R

2

Definizione 1.4.1. Se x definiamo valore assoluto di x il numero

( x se x 0,

|x| = 

x se x 0.

Risulta facile dimostrare le seguenti disuguaglianze:

• R

|x| 8 2 |x|

0 x e = 0 se e solo se x = 0;

• R;

±x  |x| 8 2

x

• R 1 1

|xy| |x||y| 8 2 | |x| |x | |x| 6

= x, y (da cui x| = e = se x = 0);

• R

|x  |x| |y| 8 2

+ y| + x, y (disuguaglianza triangolare);

• R;

|x| |y|  |x 8 2

y| x, y

• R

|x|    8 2 8

M se e solo se M x M x e M > 0. R, R R R

⇥ !

Il valore assoluto definisce naturalmente una distanza ( metrica) in cioè una funzione d : tale che

• R

8 2

d(x, y) 0 x, y e d(x, y) = 0 se e solo se x = y;

• R

8 2

d(x, y) = d(y, x) x, y (proprietà di simmetria);

• R

 8 2

d(x, y) d(x, x) + d(z, y) x, y, z (disuguaglianza triangolare). R.

|x

Infatti basterà definire d(x, y) = y| e verificare che in e↵etti questa funzione è una distanza in

x

6 2 {

Infine, se x = 0 chiameremo segno di x il numero segn(x) := 1, 1}.

|x|

6 Preliminari

R

1.5 Topologia in R

2

Definizione 1.5.1. Sia x e r > 0. Si chiama intorno sferico di centro x e raggio r l’insieme I(x , r) di tutti i

0 0 0

numeri reali che istano da x meno di r, ovvero

0 R

{x 2 |x |

I(x , r) = : x < r}.

0 0

Un qualsiasi insieme U contenente un intorno sferico di centro x si dice intorno di x .

0 0

In definitiva, ogni intorno di un punto contiene un intorno sferico centrato nel punto stesso.

Esempio 1.5.2. Gli insiemi [ 1, 1], ( 1, 1), [ 1, 1), ( 1, 1] sono tutti intorni del punto 0. Non lo sono invece gli

R

insiemi ( 1, 0] o [0, 1]. Invece è sempre intorno di ogni suo punto.

±1

Benché non siano numeri reali, è utile anche definire gli intorni di infinito. Più precisamente:

R

1 2 1) ⇢

Definizione 1.5.3. Si dice che U è un intorno di se esiste a tale che (a, U . Analogamente diremo che

R

1 2 1, ⇢

V un intorno di se esiste b tale che ( b) V . Q

3 1) [ { 1, 1,

Esempio 1.5.4. L’insieme (14 , 13} è un intorno di mentre non lo è. Analogamente, ( ⇡] è un

R

1, 1 1.

intorno di e lo è sia di che di

Quindi, una volta individuato un intorno U , ne troviamo infiniti altri prendendo insiemi che contengono U . Cosa

succede se invece prendiamo degli insiemi contenuti in U ? Se la scelta è fatta in maniera oculata, otteniamo ancora un

intorno. Infatti, indicando con x anche infinito, abbiamo, in modo pressoché automatico dalla definizione di intorno:

0

Teorema 1.5.5. Sia U un intorno di x , allora esiste un intervallo V contenuto in U che è ancora intorno di x .

0 0

R̄.

2 \

Siano U e V due intorni di x Allora anche U V è un intorno di x .

0

0

Vale un altro risultato, piuttosto utile, ad esempio per dimostrare l’unicità del limite (quando esiste), comunemente

noto come R̄,

2 6

Teorema 1.5.6 (Separabilità della topologia euclidea). Siano x, y x = y. Allora esistono un intorno U di x e

\ ;.

un intorno V di y tale che U V =

R

⇢ 2

Definizione 1.5.7. Sia A e x A. Si dice che x è un punto interno ad A se esiste un intorno di x contenuto

0 0 0

in A. R

⇢

Un insieme A si dice aperto se ogni suo punto è interno.

R R

⇢ \

Un insieme C si dice chiuso se C è aperto.

La parte interna di un insieme A, denotata con , è l’unione di tuti i suoi punti interni.

A

È facile dimostrare la seguente

Proposizione 1.5.8. Un insieme è aperto se e solo se coincide con la sua parte interna.

R R

2 {x 2

Se a, b indichiamo con (a, b) l’intervallo : a < x < b}, che risulta aperto, e infatti è chiamato

R

{x 2  

intervallo aperto. Invece, posto [a, b] = : a x b}, risulta che questo intervallo è chiuso, in quanto

R \ 1, [ 1),

[a, b] = ( a) (b, che è aperto. Per questo motivo [a, b] si chiama intervallo chiuso. Notiamo che un aperto

R

di non ha mai massimo o minimo, mentre se è chiuso li ha solo se è limitato, e non ne ha se è illimitato: [a, b] ha

1, 1)

minimo a e massimo b, il chiuso ( 3] non ha minimo (ma ha massimo in 3) e il chiuso [2, non ha massimo (ma

ha minimo in 2). 1) 1,

D’altra parte, gli intervalli [a, b) e (a, b] non sono né aperti né chiusi. Inoltre (a, e ( b) sono aperti, cosı̀ i

1, 1)

loro complementari ( a] e [b, sono chiusi.

R

Ovviamente anche è aperto, per cui l’insieme vuoto è chiuso. Ma anche l’insieme vuoto soddisfa la definizione di

R R ;

aperto, per cui il suo complementare è anche chiuso. Si può dimostrare in e↵etti che e sono gli unici sottoinsiemi

R.

contemporaneamente chiusi e aperti in

R

Infine sono aperti in gli insiemi R R, R N,

\ {a} 8 2 \

a

mentre sono chiusi gli insiemi R, N, Z.

{a} 8 2

a

R

1.5 Topologia in 7

Teorema 1.5.9. L’unone di una famiglia qualsiasi di aperti è un aperto.

L’intersezione di una famiglia qualsiasi di chiusi è un chiuso.

L’intersezione di un numero finito di aperti