Argomenti di matematica e geometria utile per concorsi scuola a26 a27 a28.

ESERCIZI

−    

2 x 1 2

= =

= − = = =

y y

y 2

; x 3 y 0

; x 3

− −

3 x 3 x

 

− 2  

2 x 1 2 x

= =

= = = − =

y ; x 0

y y

  y 2

; x 3

−

3 x 3 x

3  

 

1 2 x 2 2

= = = = −

= =

y 0

; x 3

y y y ; x

 

− +

3 x 3 x 2 3 3

− −

   

5 x 1 2 x

5

= =

= = − = =

y 1

; x 3

y y

y ; x 3

 

+ −

3 x 3 x

3 1

= −

xy

2) Determinare fuochi e vertici dell’iperbole 4

l’iperbole con l’asse trasverso, in questo caso la retta

I vertici si trovano intersecando    

1 1 1 1

= − − −

   

y x V ; , V ;

da cui le coordinate dei vertici    

1 2

2 2 2 2

l’eccentricità 2

Le coordinate dei fuochi essendo si trovano moltiplicando le

   

2 2 2 2

   

− −

2 F ; , F ;

coordinate dei vertici per , ottenendo    

1 2

   

2 2 2 2

ESERCIZI

Determinare fuochi e vertici delle seguenti iperboli

 

   

   

1 1 1 1 1 2 2 2 2

   

= − − − −

   

 

xy V ; , V ; , F ; , F ;

   

   

1 2 1 2

   

4 2 2 2 2 2 2 2 2

 

 

( ) ( ) ( ) ( )

− − − −

= V 3 ; 3 , V 3 ; 3 , F 6 ; 6 , F 6 ; 6

xy 3 1 2 1 2 68

Determinare l’iperbole

3) con asintoti paralleli agli assi passante per

  ( ) ( )

1 −

  .

A 1

, , B 1

,

5 , C 3

,

1

 

3 +

ax b

=

La curva richiesta ha equazione per cui occorrerebbero quattro punti per

y +

cx d 

determinarla. Dato però che necessariamente è la curva può essere scritta come

c 0

+

ax b

=

y +

x d

Imponendo il passaggio per i punti si ottiene il sistema

+

 a b 1

=  3

 =

+ a



1 d 3 + − =



 3

a 3

b d 1 2



− +

 

a b = − + − = − = −

  

5 a b 5

d 5 b 1

− +

1 d

  

+ − =

 1

3

a b d 3

+

  =

3

a b d

= 

1

 2

+

 3 d 3 −

x 1 −

3 x 2

2

da cui l’equazione = =

y +

1 2 x 1

+

x 2 −

3 x 2

=

Determinare i vertici dell’iperbole y

4) .

+

2 x 1

I vertici di un’iperbole con asintoti paralleli agli assi sono le intersezioni della retta

parallela a una bisettrice dei quadranti passante per il centro.

Il centro C dell’iperbole ha coordinate

+ =

 2 x 1 0

  

1 3

−

 



C , C ;

3 x 3

= =  

2 2

y

 2 x 2 −

dell’iperbole ha 1

In base al disegno l’asse trasverso coefficiente angolare per cui

+ =

x y 1

ha equazione −

 3 x 2

= −

 y 3 x 2

− =

+

 1 x

Segue che i due vertici sono dati dal sistema 2 x 1 +

2 x 1

 + = = −

x y 1 ; y 1 x

− 

1 7

+ − = =

2 da cui i due vertici

2 x 2 x 3 0 ; x 2

 − +

1 7

=

 x

 2



V

1 −

 3 7

=

y



 2 69

 − −

1 7

=

 x

 2



V

2 +

 3 7

=

y



 2

che il punto medio coincida con il centro dell’iperbole.

Verificare

Verificare inoltre che l’asse non trasverso ossia la retta per C di coefficiente angolare

− = − non interseca l’iperbole.

x y 2

ossia

1

C’è un modo alternativo e più diretto per determinare i fuochi di un iperbole che non

ha centro nell’origine.

Una volta trovato il centro, dato che il determinante della matrice 2x2 dei coefficienti

dell’iperbole è

−

3 2

− 2 1 7

= −  per cui l’asse trasverso ha coefficiente angolare

0 -1

4 4  

 

1 3 7

+ − = −

 

 

Segue che l’equazione dell’iperbole è (controllare che sia

x y

 

 

2 2 4

equivalente all’equazione di partenza)

considerazione dell’asse trasverso

In base alla i vertici si trovano sommando e

7 7

− =

sottraendo opportunamente alle coordinate del centro, ottenendo

4 2

 

1 7 1 7

= − + − = − − −

 

x x

 

2 4 2 4

 

V V

1 2

 

3 7 3 7

= − − = + −

y y

 

 

2 4 2 4

Con questo metodo si trovano immediatamente i fuochi, in quanto basta

7 14

=

2

sommare/sottrarre alle coordinate del centro ottenendo

2 2

 

1 14 1 14

= − + = − −

 

x x

 

2 2 2 2

 

F F

1 2

 

3 14 3 14

= − = +

y y

 

 

2 2 2 2 ( )

−

Determinare l’iperbole con asintoti paralleli agli assi C 2

, 3

5) di centro passante

( )

−

A 1

, 1

per 70

+

ax b

=

Come per la determinazione dell’iperbole per tre punti sia l’equazione

y +

x d

dell’iperbole; dalle coordinate del centro si ottengono le equazioni degli asintoti

 

 

= = − = −

x 2 d d 2

 

= − = = −

 

y 3 a a 3

 

− + +

a b b 3

 

− = − = + = = −

1 1 ; b 3 1

; b 2



+ −

 1 d 1 2 − −

3 x 2

=

l’equazione dell’iperbole

da cui y −

x 2 −

2 x 1

= −

y 1

6) Determinare il grafico della funzione . Determinare inoltre

−

x 2

l’immagine della funzione, giustificando i passaggi.

Il grafico un’iperbole con asintoti paralleli agli assi dato che si tratta di una funzione

omografica. Occorre prima sommare ottenendo

− − + +

2 x 1 x 2 x 1

= =

y ; y

− −

x 2 x 2

L’iperbole ha asintoti

− = =

x 2 0 ; x 2

x

= =

y 1

x  

1

−

 

P 0

,

e passa per il punto  

2 ( ) ( )

= −   +

sull’asse verticale Im f ,

1 1

,

Proiettando il grafico si ha che +

ax b

=

Dimostrare che l’immagine di una funzione omografica y è

+

cx d

   

a a

= −   +

   

Im f , ,

   

c c ESERCIZI

Determinare l’iperbole con asintoti paralleli agli assi passante per i tre punti

indicati − − +

   

2 x 1 2 x 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

= =

− − − − −

A 1

, 1 , B 1

,

1 , C 3

,

5 A 1

,

1 , B 1

, 1 , C 3

, 5

y y

   

− −

  

x 2 x 2 71

DISEQUAZIONI

Il grafico di una funzione omografica permette di risolvere per via analitica

disequazioni fratte in cui il denominatore sia di primo grado e il numeratore sia di

primo o secondo grado.

+

2 x 3  +

1) 2 x 3

+

x 1

Si tratta di determinare per quali ascisse l’iperbole sta sotto la retta.

L’iperbole ha asintoti

+ = = −

x 1 0 ; x 1

2 x

= =

y 2

x ( )

P 0

,

3

e passa per il punto

La retta interseca l’iperbole nei punti dati da

+

2 x 3 = + + − =

2

2 x 3 ; 2 x 2 x 1 0

+

x 1

−  + − 

1 1 2 1 3

= =

x 2 2

In base al disegno e al verso della disuguaglianza le soluzioni sono date da

− − − +

1 3 1 3

  −  

x 1 x

2 2

−

x 4

−  

1 3

2) −

x 2

Algebricamente si tratta di un sistema di disequazioni fratte; dal punto di vista

−

x 4

=

geometrico le soluzioni sono date dai punti dell’iperbole y compresi tra le

−

x 2

= − =

y 1

e y 3

rette orizzontali .

L’iperbole ha asintoti

− = =

x 2 0 ; x 2

x

= =

y 1

x ( )

P 0

, 2

e passa per il punto

−

x 4 = − =

1

; x 3

−

x 2

−

x 4 = =

3 ; x 1

−

x 2

In base al disegno e al verso della disuguaglianza le soluzioni sono date da

 −  

x 1 x 3 72

TANGENTI A UNA FUNZIONE OMOGRAFICA

Anche le tangenti a una funzione omografica da un suo punto si possono trovare con

le formule di sdoppiamento, dopo avere scritto l’equazione come zeri di un

polinomio. L’unica differenza è la presenza del termine in xy che deve essere

sostituito nell’equazione con

( )

1 +

x y xy

o o

2

Esempi −

x 1

= nel punto di intersezione con l’asse delle ascisse.

Determinare le tangenti a y +

x 2

( )

Il punto richiesto ha coordinate . Per usare le formule di sdoppiamento occorre

P 1

,

0

scrivere l’equazione dell’iperbole in forma implicita

+ − + =

xy 2 y x 1 0

Tenendo presente il termine in xy si ottiene

+

1 y x 1

( ) + − + =

y 2 1 0

2 2 2

+ − − + =

y 2 y x 1 2 0

− + =

3 y x 1 0 73

Determinare gli asintoti delle seguenti funzioni omografiche.

− −

   

3 x 2 3 1 1 1

x 2

= =

= = − = = −

y y

y ; x y ; x

   

+

+    

2 x 1

2 x 1 2 2 2 2

−

   

1 1 1

2 x 2

= =

= = − = − =

y y

y 0 ; x y ; x

   

+ −

   

2 x 1 1 2 x

2 2 2

− +

   

x 2 x 2

= = &