Fac simile esame Matematica generale I

Esercizio 2. Calcolare i seguenti limiti: √ 3

2 ln(1 + )

2 x + x + sin(x) x

√

lim , lim .

1

3

x + tan(x) + x

3 ln(1 + )

x→+∞

+

x→0 x

+

→ ∼

Soluzione 2. Nel primo limite, abbiamo tutti infinitesimi per x 0 . Utilizzando gli asintotici sin(x) x e

+

∼ →

tan(x) x per x 0 ed il teorema di eliminazione degli infinitesimi di ordine superiore, abbiamo

√

√ 2 2

2 x + x + sin(x) x 1

√ √

= lim = lim 2x

lim = 0.

6

3

x + tan(x) + x x

3 3

+ +

+ x→0 x→0

x→0 3 3 1

00

∼ ∼

Nel secondo limite abbiamo una forma di indecisione tipo , utilizzando gli asintotici ln(1 + ) , ln(1 + )

x x x

1 , otteniamo

x 3

3 )

ln(1 + x x

= lim = 3.

lim 1 1

)

ln(1 + x→+∞

x→+∞ x x

Esercizio 3. Si consideri la funzione 3 −

x 1

f (x) = 2 −

x 2

se ne calcoli il dominio e gli eventuali asintoti.

Soluzione 3. Il dominio della funzione è dato dai valori di x per cui il denominatore non si annulla. Risolvendo

√

2 − ±

x 2 = 0, otteniamo x = 2. Pertanto, il dominio della funzione è:

√

\ {±

D = 2}

R

f

√ √

−

La funzione ha due asintoti verticali: x = 2 e x = 2, infatti

3 3

− −

x 1 x 1 −∞

lim = +∞ lim =

√ √

2 2

− −

x 2 x 2

−

+

x→ 2 x→ 2

3 3

− −

x 1 x 1 −∞

lim = +∞ lim =

√

√ 2 2

− −

x 2 x 2

−

+ x→−

2 2

x→−

3 3

−1 −1

x x −∞,

Poiché lim = +∞ e lim = non ci sono asintoti orizzontali.

x→+∞ x→−∞

2 2

−2 −2

x x

Cerchiamo gli asintoti obliqui: 3 3

− −

x 1 x 1

lim = lim = 1 = m,

2 3

− −

x(x 2) x 2x

x→±∞ x→±∞

cerchiamo il termine q 3 3 3

− − − −

x 1 x 1 x + 2x 2x 1

−

lim x = lim = lim =0= q

2 2 2

− − −

2 2 2

x x x

x→±∞ x→±∞ x→±∞

quindi l’asintoto obliquo è: y = x.

Esercizio 4. Calcolare analiticamente e rappresentare graficamente il dominio della seguente funzione a due variabili:

√

−

f (x, y) = log y x Calcolare analiticamente e rappresentare graficamente le curve di livello 0 ed 1.

Determinare il gradiente della funzione. √

−

Soluzione 4. Il dominio della funzione f (x, y) = log y x è dato dalla regione sopra la retta y = x (retta

esclusa), ovvero y > x. 2

y

2 x

−3 −2 −1 1 2 3

−2 √ −

La curva di livello 0 si trova ponendo f (x, y) = 0, ossia y x = 1, quindi la curva di livello 0 è y = x + 1.

√ 2

−

La curva di livello 1 si trova ponendo f (x, y) = 1, ossia y x = e, quindi la curva di livellola 1 è y = x + e .

y

10

5 x

−10 −5 5 10

√

−

Il gradiente di f (x, y) = log y x è dato da:

1

1

∇f − ,

(x, y) = − −

2(y x) 2(y x)

Esercizio 5. Studiare la seguente funzione (dominio, segno, intersezione con gli assi, eventuali simmetrie, limiti agli

estremi del dominio, asintoti, monotonia, punti estremanti, eventuali punti di non derivabilità, non è richiesto lo

studio della derivata seconda) x−2

e

f (x) = −

x 2

e tracciarne un grafico qualitativo.

Soluzione 5. La funzione è definita per tutti i valori di x tranne x = 2, dove il denominatore si annulla. Pertanto,

il dominio della funzione è: ∪

D = (−∞, 2) (2, +∞)

f

Per analizzare il segno della funzione, dobbiamo studiare il numeratore e il denominatore separatamente:

x−2 ∈ −

è sempre positivo per ogni x Il denominatore x 2 cambia segno in x = 2.

Il numeratore e R.

Pertanto, la funzione f sarà positiva quando x > 2 e negativa quando x < 2. Non è definita in x = 2.

( + se x > 2

Segno di f (x) = − se x < 2

Per trovare l’intersezione con l’asse y, dobbiamo calcolare il valore della funzione per x = 0:

−2 −2

0−2

e e e

−

f (0) = = =

− −2

0 2 2

−2

e

−

Quindi la funzione interseca l’asse y nel punto 0, .

2

Per trovare le intersezioni con l’asse x, dobbiamo risolvere l’equazione f (x) = 0, cioè:

3