Matematica generale

C

Esempio

plice per un tempo calcolare il montante della seguente operazione

i t, M

8 C = 10000

>

< i = 10% = 0; 10 :

> 9

: mesi anno

t = 9 = 12

Si ha 9

M = 10000 1 + 0; 10 = 10000 (1 + 0; 075) = 10750:

12

Osserviamo che è il fattore di montante nel regime di

f (t; i) = 1 + it

capitalizzazione semplice. Se è il fattore di sconto coniugato, si parla

(t; i)

allora di regime dello sconto razionale e si ha

1 :

(t; i) = 1 + it

Tassi non annui e tassi equivalenti

Se vogliamo misurare il tempo in mesi, poiché in anni ci sono mesi,

t 12t

per ottenere il tasso d’interesse mensile in modo che la legge …nanziaria

i 12

di capitalizzazione sia la stessa, dovremo chiedere che

1 + it = 1 + i 12t

12

da cui i

i = :

12 12 1

In generale, se si considera una frazione d’anno , si ottiene il tasso

m

periodale i m i :

i =

m m

In questo caso, e si dicono tassi equivalenti in capitalizzazione sem-

i i m

plice, in quanto essi generano lo stesso fattore di capitalizzazione.

Si consideri una legge di capitalizzazione semplice il cui tasso

Esempio

annuo varia con la durata secondo lo schema seguente

t i

0 5 10%

5 10 11%

10 15 12%

7

Scrivere l’espressione del fattore di capitalizzazione semplice f (t).

Se il tasso è …sso, il fattore di capitalizzazione semplice è f (t) = 1 + it.

Nel nostro caso, il fattore di capitalizzazione è pari a

8 1 + 0:10t 0 t 5

< 1 + 0:10 5 + 0:11 (t 5) 5 < t 10

f (t) = :

: 1 + 0:10 5 + 0:11 5 + 0:12 (t 10) t > 10

Si consideri una legge di capitalizzazione semplice al tasso

Esempio

annuo del Si calcoli il tasso d’interesse trimestrale equivalente .

12%. i m

Ricordiamo la de…nizione: tassi equivalenti generano lo stesso fattore di

capitalizzazione, quindi 1 + it = 1 + i mt

m

1 è la frazione d’anno.

dove m

Per un trimestre quindi

m = 4, 1 + it = 1 + i 4t

4

i = 3%

i =

4 4

Si consideri una legge di capitalizzazione semplice con tasso

Esempio

di interesse annuo nell’intervallo di tempo e si pensi di spezzare

i 0 T

l’investimento al tempo , reinvestendo il montante ottenuto per

x, 0 < x < T

il tempo rimanente.

1. Scrivere l’espressione del fattore di montante

2. Determinare l’interruzione ottima (che massimizza il montante in ).

T

8

1. Il montante al tempo sarà mentre il montante alla

x M = C (1 + ix)

x

…ne dell’operazione sarà

M = M (1 + i (T x)) = C (1 + ix) (1 + i (T x))

T x

quindi il fattore di montante sarà

f (x) = (1 + ix) (1 + i (T x)) =

= (1 + ix)(1 + iT ix) =

2 2 2

= 1 + iT ix + ix + i xT i x =

2 2 2

= 1 + iT + i xT i x :

2. Si tratta di un problema di ottimizzazione in una variabile, Si ha

x.

df (x) T

2 2

= i T 2i x = 0 =) x = :

dx 2

Titoli di puro sconto (zero-coupon bond)

Nel caso di zero-coupon bond, o titolo senza cedola, si chiama rendimento

semplice a scadenza (simple yield to maturity) il tasso di interesse semplice

r

tale che il montante del prezzo di acquisto uguagli il valore di rimborso

A N

alla scadenza, dopo anni

T A(1 + rT ) = N:

Da questa relazione, si possono ricavare, in funzione degli altri dati, il rendi-

mento semplice a scadenza e il prezzo di acquisto

r A

N A

r = AT :

1

A = N 1 + rT

Sono un esempio di zero-coupon bond i BOT (Buoni Ordinari del Tesoro).

Compro oggi a euro uno zero-coupon bond con scadenza

98

Esempio

mesi. Il suo valore nominale (e di rimborso) è pari a euro. Calcolare il

6 100

rendimento semplice a scadenza r. 6

La durata dell’operazione è di mesi, ossia di anno. Il rendimento

6 12

dell’operazione su mesi è

6 N A 100 98

= :

A 98

Trattandosi di interesse semplice. il rendimento semplice a scadenza è

100 98 = 0:04081 = 4:081%

r = 6

98 12 9

Si investe in un BOT a mesi emesso oggi la somma di

3 4000

Esempio

euro. Alla scadenza vengono rimborsati euro. Calcolare il tasso di

4050 i

rendimento annuo semplice.

Si ha 4050 4000

i = = 0:05 = 5%

3

4000 12

E’frequente che non si aspetti la scadenza del titolo ma lo si venda prima.

In questo caso, volendo calcolare il tasso annuo di rendimento dell’operazione,

si determina la durata dell’operazione, si calcola il tasso di rendimento cor-

rispondente a tale durata ed in…ne si calcola, in capitalizzazione semplice, il

rendimento su base annua.

Si acquista un BOT con scadenza mesi al prezzo di

6 100.

Esempio

Vendendolo ad un prezzo dopo mesi, qual è il tasso annuo di

V = 102:5 3

rendimento in capitalizzazione semplice i? 3 di anno. Il rendimento

La durata dell’operazione è di 3 mesi, ossia 12

dell’operazione su tale durata è

102:5 100

V A = = 0; 025 = 2:5%:

A 100

Trattandosi di interesse semplice. il tasso annuo di rendimento semplice

è 102:5 100 = 0:10 = 10%:

3

100 12

1.3.2 Capitalizzazione composta

La proprietà caratteristica della capitalizzazione composta è la capitaliz-

zazione degli interessi maturati alla …ne del periodo: essi diventano parte

del capitale e fruttano a loro volta interessi nei periodi successivi.

Se consideriamo inizialmente euro, dopo un anno avremo (dove

1 1 + i

è il tasso annuo di interesse semplice). Se consideriamo ora il capitale di

i dopo un altro anno avremo

C = 1 + i, 2

M = Cf (2) = (1 + i) (1 + i) = (1 + i)

e così via. Dopo periodi interi, da un capitale unitario, otteniamo un

n

montante pari a n

M = (1 + i) :

Possiamo quindi a¤ermare che: 10

il fattore di montante nel regime della capitalizzazione composta è

t

f (t; i) = (1 + i)

il fattore di sconto nel regime dello sconto composto (fattore coniugato)

è 1

t

(t; i) = (1 + i) = t

(1 + i)

dove è detto tasso annuo di interesse composto.

i Calcoliamo il montante della seguente

Esempio (capitalizzazione)

operazione 8 C = 1000

< anni

t = 3 :

: i = 10%

Si ha 3 3

M = C (1 + i) = 1000 (1 + 0; 10) = 1331:

Calcoliamo il valore attuale della seguente

Esempio (attualizzazione)

operazione 8 S = 1000

< anni

t = 2 :

: i = 10%

Si ha 1

1 = 1000 = 826; 45:

A = S (t; i) = S 2 2

(1 + i) (1 + 0; 10)

Tassi non annui e tassi equivalenti

1

Il tasso periodale , riferito a di anno, deve veri…care l’uguaglianza

i m m mt t

(1 + i ) = (1 + i) :

m

Per anno si ha

t = 1 p

1

m m

)

(1 + i ) = 1 + i i = (1 + i) 1= 1+ i 1:

m

m m

In questo caso, e si dicono tassi equivalenti in capitalizzazione com-

i i m

posta. 11

Esiste un altro modo di calcolare l’equivalenza tra tasso annuo e periodale:

si de…nisce il rapporto tra il tasso periodale e l’ampiezza del periodo

j m i m

j = = m i :

m m

1=m

In questo caso, si chiama tasso annuo nominale convertibile volte

j m

m

l’anno. Sia del il tasso d’interesse quadrimestrale in capitaliz-

4%

Esempio

zazione composta. Calcolare:

1. il tasso d’interesse annuo equivalente (detto e¤ettivo)

2. il tasso d’interesse annuo nominale convertibile volte l’anno.

4

1. Si ha Partendo dal tasso d’interesse quadrimestrale, calcoliamo

m = 3.

il tasso annuo equivalente 3

1 + i = (1 + i )

3

3 3

i = (1 + i ) 1 = (1 + 0:04) 1 = 0:12486:

3

2. Si ha Partendo dal tasso d’interesse annuo (e¤ettivo) appena

m = 4.

ottenuto, calcoliamo il tasso trimestrale equivalente i 4

4

1 + i = (1 + i )

4 1

1 1 = (1 + 0:12486) 1 = 0:0298515:

i = (1 + i) 4 4

4

Pertanto j = i 4 = 0:119406:

4 4

Qual è il più conveniente tra questi due investimenti:

Esempio

1) 3 mesi a interessi semplici con tasso annuo 20%

2) 3 mesi a interessi composti con tasso annuo 22%.

Occorre confrontare i fattori di capitalizzazione f (t):

1) Interessi semplici: f (t) = 1 + it

3 3

f = 1 + 0; 20 = 1; 05:

12 12

t

2) Interessi composti: f (t) = (1 + i)

3 3

f = (1 + 0; 22) = 1; 051:

12

12

Se ne conclude che è più conveniente il secondo.

12

In capitalizzazione composta si impiega un capitale per anni

t

Esempio 1 di anno .

al tasso periodale i m m

1. Quanti anni occorrono perché il montante sia il doppio del capitale?

2. Qual è il tasso di interesse semplice che ha lo stesso e¤etto sulla durata?

1. Poiché t mt

M = C (1 + i) = C (1 + i )

m

e deve essere mt

(1 + i ) = 2

m

si ottiene log 2 :

t = m log (1 + i )

m

2. In regime di capitalizzazione semplice, si ha

M = C 1 + it

1 + it = 2

quindi m log (1 + i )

1 m

=

i = :

t log 2

1.3.3 Sconto commerciale (e interessi semplici anticipati)

La proprietà caratteristica di questo regime …nanziario è che lo sconto è

proporzionale alla somma a scadenza e alla scadenza dell’impiego.

S t

Si ha quindi D = kSt

dove è la costante di proporzionalità.

k

Ricordando il signi…cato di tasso annuo di sconto si ha e

d d = k 1 1

quindi D = Std

da cui seguono A = S D = S Std = S (1 td)

(t; d) = 1 td (td < 1) :

Il regime di attualizzazione con fattore di sconto

(t; d) = 1 td

si dice regime dello sconto commerciale.

13

Il regime di capitalizzazione con fattore di interesse coniugato

1

f (t; i) = 1 td

si dice regime di capitalizzazione ad interessi semplici anticipati.

Un credito di 10000 viene scontato per 2 anni con valore at-

Esempio

tuale 8000. Qual è il tasso applicato all’operazione, nei casi di sconto sem-

plice, sconto composto e sconto commerciale?

Sconto semplice 1

10000 = 8000

1 + it

10000 5 5 1 :

) ) )

1 + it = 1 + 2i = 2i = 1=

8000 4 4 4

1 = 0; 125 = 12; 5%

i = 8

Sconto composto 1

10000 = 8000

t

(1 + i)

r r

5 5 5

2 ) ) )

(1 + i) = 1+ i = i = 1

4 4 4

i = 11; 8%:

Sconto commerciale 10000 (1 td) = 8000

4 1

4 ) )

2d = 1 =

1 2d = 5 5 5

1

d = = 10%:

10

Un’impresa deve riscuotere 100000 fra 3 anni. Può scontare

Esempio

questo credito a sconto commerciale con tasso d.

1. A quale tasso annuo di interesse composto deve investire tale valore

i

per ottenere 100000 fra 3 anni?

2. A quale tasso annuo di interesse semplice de