Appunti di Algebra

Dal corso del Prof. M. Citterio

Università Politecnico di Milano

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Appunti di algebra e geometria lineare. Contiene la definizione e degli esempi di operazioni tra vari sottospazi. Ad esempio intersezione, unione, somma e somma diretta e tra più sottospazi oltre che la definizione di prodotto tra sottospazi. Scarica il file in formato PDF!

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Spazi e sottospazi vettoriali, applicazioni e combinazioni lineari - Algebra e gemetria lineare

Esame Algebra e geometria lineare

Dal corso del Prof. M. Citterio

Università Politecnico di Milano

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Contiene definizione e svariati esempi di spazi e sottospazi vettoriali, oltre che la definizione di applicazioni e combinazioni lineari e i relativi esempi. Infine contiene anche una spiegazione riguardante i vettori generatori di un sottospazio. Scarica il file in formato PDF!

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Prodotto vettoriale e misto - Algebra e geometria lineare

Esame Algebra e geometria lineare

Dal corso del Prof. M. Citterio

Università Politecnico di Milano

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Contiene la definizione del prodotto vettoriale, le sue proprietà e i metodi di applicazione sui vettori. Contiene informazioni anche riguardo ai fasci di piani, prodotto misto e le formule principali di aree e volumi calcolabili con i due prodotti. (vettoriale e misto)

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Basi di spazi e sottospazi, Teorema del completamento - Algebra e geometria lineare

Esame Algebra e geometria lineare

Dal corso del Prof. M. Citterio

Università Politecnico di Milano

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Contiene la definizione del concetto di base per uno spazio o sottospazio vettoriale e le loro proprietà. Definizione di coordinate di un insieme di vettori, il concetto di dimensione per spazi e sottospazi vettoriali ed infine il teorema del completamento di una base.

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Rette e piani nello spazio - Algebra e geometria lineare

Esame Algebra e geometria lineare

Dal corso del Prof. M. Citterio

Università Politecnico di Milano

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Appunti riguardanti la definizione di rette e piani nello spazio, del prodotto scalare tra due vettori e le sue proprietà. Rappresentazione di rette e piani nello spazio tramite equazione parametrica o cartesiana ed infine metodi per riconoscere la posizione reciproca delle rette nello spazio.

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Vettori Geometrici, Spazio Vettoriale Reale - Algebra e geometria lineare

Esame Algebra e geometria lineare

Dal corso del Prof. M. Citterio

Università Politecnico di Milano

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Appunti personali riguardanti i primi argomenti del corso di geometria e algebra lineare. Contiene la spiegazione di argomenti fondamenti del corso, ovvero dei vettori geometrici e dello spazio vettoriale reale basati su appunti personali del publisher presi alle lezioni del prof. Citterio.

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Esercitazione algebra e geometria

Esame Algebra e geometria

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. L. Giuzzi

Università Università degli Studi di Brescia

Esercitazione

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Esercizi svolti durante il corso di algebra e geometria elaborati dal publisher sulla base di appunti personali e frequenza delle lezioni del professore Giuzzi, dell'università degli Studi di Brescia - Unibs. Scarica il file con le esercitazioni in formato PDF!

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Corso Algebra I

Esame Algebra I

Dal corso del Prof. M. Buratti

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Insiemi numerici classici: N, Z, Q e R. Principali motivazioni che hanno portato, via via, all'ampliamento di N a Z fino ad arrivare ad R. Dimostrazioni per assurdo e dimostrazioni per induzione. La radice di un numero primo è un numero irrazionale. L'insieme C dei numeri complessi. Definizione di somma e prodotto. Numeri complessi coniugati. Reciproco di un numero complesso. Rappresentazione cartesiana e trigonometrica dei numeri complessi. Modulo e anomalia di un numero complesso. Formula di De Moivre. Calcolo delle radici n-me dell'unità nel campo dei numeri complessi. Teorema fondamentale dell'algebra (senza dimostrazione). Ogni equazione algebrica di grado dispari a coefficienti in R ammette almeno una soluzione reale (dimostrazione algebrica e analitica). Operazioni elementari tra insiemi. Prodotto cartesiano. L'insieme delle parti di un insieme. Un insieme X con n elementi ha 2n parti (dimostrazione per induzione e dimostrazione con l'uso della funzione caratteristica di X: vi è corrispondenza biunivoca tra P(X) e {0,1}n). Coefficienti binomiali e loro significato. Triangolo di Tartaglia. Applicazioni. Applicazioni iniettive, suriettive, biettive. Relazioni. Relazioni d'ordine. Relazioni di equivalenza. Insieme quoziente. Relazione di equipotenza fra insiemi. Cardinalità di un insieme infinito. Insiemi numerabili. Numerabilità di Q con il metodo delle diagonali di Cantor. L'insieme delle parti di un insieme X ha cardinalità strettamente superiore a quella di X. L'insieme R non è numerabile. Cenni sull'ipotesi del continuo di Cantor e sul teorema di indecidibilità di Godel. Numeri primi. La divisione euclidea. Algoritmo di Euclide per determinare il massimo comun divisore tra due interi. L'identità di Bezout. Lemma di Euclide: se un primo p divide il prodotto di due interi, allora p divide almeno uno dei due interi. Teorema fondamentale dell'aritmetica. Teorema di Euclide sull'infinità dell'insieme dei numeri primi. Congruenze in Z. Proprietà elementari. Equazioni congruenziali di primo grado. Cenni sulle equazioni diofantee. Sistemi di equazioni congruenziali. Il Teorema Cinese dei resti. La dimostrazione dei criteri di divisibilità per 3, 4, 9, 11. Il piccolo Teorema di Fermat. Funzione di Eulero phi. Calcolo di phi(n) per ogni intero positivo n. Il Teorema di Eulero. Il Teorema di Wilson. La congruenza x2=-1 (mod p) con p primo dispari ammette soluzione se e solo se p=1 (mod 4). Interi esprimibili come somma di due quadrati. Determinazione dell'insieme delle terne pitagoriche. Cenni su problemi classici di teoria dei numeri (risolti e non risolti): congettura di Goldbach; la congettura dei numeri primi gemelli; l'ultimo teorema di Fermat. Strutture algebriche con una o più operazioni. Semigruppi. Monoidi. Gruppi. Esempi di gruppi abeliani e non abeliani. Il gruppo delle matrici invertibili ad elementi in R. Il gruppo simmetrico Sn di grado n. il gruppo booleano dell'insieme delle parti di un insieme X rispetto all'operazione di differenza simmetrica. Sottogruppi di un gruppo. Criterio per stabilire se un sottoinsieme S di un gruppo G è un sottogruppo di G. Ordine (o periodo) o(x) di un elemento x di un gruppo G. Il sottogruppo generato da x. Se o(x)=n, allora xh ha ordine n/MCD(n,h). Per qualunque elemento x di un gruppo moltiplicativo G di ordine n, si ha xn=1. Laterali destri e laterali sinistri. Teorema di Lagrange: se H è un sottogruppo di un gruppo finito G, allora l'ordine di H è un divisore dell'ordine di G. Definizione di anello e di campo. Esempi di anelli con particolare attenzione all'anello delle classi resto modulo n.

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Algebra commutativa e computazionale - Seconda parte

Esame Algebra commutativa e computazionale

Dal corso del Prof. A. Lorenzini

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Seconda parte varieta' proiettive. Teoremi degli zeri di Hilbert (proiettivi). Varieta' di ideali monomiali e loro dimensione. Funzione e polinomio di Hilbert. Dimensione di varieta' affini e proiettive. Anelli di frazioni e localizzazioni. Altezza e dimensione di Krull e sua relazione con la dimensione di una varieta' affine o proiettiva. Bracci robotici. Dimostrazione automatica di teoremi di geometria.

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Algebra commutativa e computazionale - Prima parte

Esame Algebra commutativa e computazionale

Dal corso del Prof. A. Lorenzini

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Polinomi in piu' indeterminate. Ideali monomiali. Lemma di Dickson. Ordinamenti monomiali. Algoritmo di divisione. Basi di Groebner. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Criterio e algoritmo di Buchberger. Algoritmo di appartenenza. Criterio e algoritmo di appartenenza al radicale. Eliminazione e algoritmo di intersezione. Decomposizione primaria in anelli noetheriani. Varieta' affini. Teoremi degli zeri di Hilbert (affini) e algoritmo di compatibilita'. Ideali omogenei e prima parte varieta' proiettive.

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Equazioni differenziali

Esame Equazioni differenziali

Dal corso del Prof. T. Cardinali

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Teoremi di punto fisso. Esistenza di soluzioni in senso classico o assolutamente continue per problemi di Cauchy e per problemi periodici in cui figurano sistemi differenziali o inclusioni differenziali. Dipendenza continua dai dati iniziali. Teoremi di selezione per multimappe. Cenni sull'applicazione dei teoremi di punto fisso per multifunzioni nello studio di equilibri in economie astratte di tipo deterministico o random e cenni di problemi che si possono studiare con le inclusioni differenziali.

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Algebra II - anelli

Esame Algebra II

Dal corso del Prof. A. Lorenzini

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Appunti di algebra II sui seguenti argomenti trattati: Strutture algebriche. Teorema fondamentale degli omomorfismi per anelli. Ideali primi e massimali. Anelli euclidei, principali e fattoriali. Appunti basati su appunti personali del publisher presi alle lezioni della prof. Lorenzini. Scarica il file in formato PDF!

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Algebra II - gruppi

Esame Algebra II

Dal corso del Prof. A. Lorenzini

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Appunti di algebra II sui seguenti argomenti: Strutture algebriche. Permutazioni. Omomorfismi. Prodotti diretti. Gruppi ciclici. Normalita' e coniugio. Teorema di Cauchy e teoria di Sylow. Teorema fondamentale degli omomorfismi per gruppi. Appunti basati su appunti personali del publisher presi alle lezioni della prof. Lorenzini. Scarica il file in formato PDF!

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Algebra II - Campi

Esame Algebra II

Dal corso del Prof. A. Lorenzini

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Appunti di algebra II sui seguenti argomenti trattati: strutture algebriche, caratteristica di anelli e campi, anelli di polinomi, estensioni di anelli e di campi basati su appunti personali del publisher presi alle lezioni della prof. Lorenzini. Scarica il file in formato PDF!

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Algebra e geometria

Esame Algebra e geometria lineare

Facoltà Ingegneria aeronautica e dello spazio

Dal corso del Prof. F. Malaspina

Università Università degli Studi di Roma La Sapienza

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Appunti di algebra e geometria basati su appunti personali del publisher presi alle lezioni del prof. Malaspina, dell’università degli Studi del Politecnico di Torino - Polito, facoltà di ingegneria I, Corso di laurea in ingegneria aerospaziale. Scarica il file in formato PDF!

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Algebra I

Esame Algebra

Università Università del Salento

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Appunti di algebra con spiegazione estesa del corso di algebra 1, con appunti presi a lezione: aritmetica sui numeri interi, strutture algebriche, gruppi, azioni di un gruppo basati su appunti personali del publisher presi alle lezioni dell’università degli Studi del Salento - Unisalento, facoltà di Scienze matematiche fisiche e naturali. Scarica il file in formato PDF!

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Algebra 1 - teoria ed esercizi

Esame Algebra e matematica discreta