Appunti di Algebra

Dal corso del Prof. M. Buratti

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Insiemi numerici classici: N, Z, Q e R. Principali motivazioni che hanno portato, via via, all'ampliamento di N a Z fino ad arrivare ad R. Dimostrazioni per assurdo e dimostrazioni per induzione. La radice di un numero primo è un numero irrazionale. L'insieme C dei numeri complessi. Definizione di somma e prodotto. Numeri complessi coniugati. Reciproco di un numero complesso. Rappresentazione cartesiana e trigonometrica dei numeri complessi. Modulo e anomalia di un numero complesso. Formula di De Moivre. Calcolo delle radici n-me dell'unità nel campo dei numeri complessi. Teorema fondamentale dell'algebra (senza dimostrazione). Ogni equazione algebrica di grado dispari a coefficienti in R ammette almeno una soluzione reale (dimostrazione algebrica e analitica). Operazioni elementari tra insiemi. Prodotto cartesiano. L'insieme delle parti di un insieme. Un insieme X con n elementi ha 2n parti (dimostrazione per induzione e dimostrazione con l'uso della funzione caratteristica di X: vi è corrispondenza biunivoca tra P(X) e {0,1}n). Coefficienti binomiali e loro significato. Triangolo di Tartaglia. Applicazioni. Applicazioni iniettive, suriettive, biettive. Relazioni. Relazioni d'ordine. Relazioni di equivalenza. Insieme quoziente. Relazione di equipotenza fra insiemi. Cardinalità di un insieme infinito. Insiemi numerabili. Numerabilità di Q con il metodo delle diagonali di Cantor. L'insieme delle parti di un insieme X ha cardinalità strettamente superiore a quella di X. L'insieme R non è numerabile. Cenni sull'ipotesi del continuo di Cantor e sul teorema di indecidibilità di Godel. Numeri primi. La divisione euclidea. Algoritmo di Euclide per determinare il massimo comun divisore tra due interi. L'identità di Bezout. Lemma di Euclide: se un primo p divide il prodotto di due interi, allora p divide almeno uno dei due interi. Teorema fondamentale dell'aritmetica. Teorema di Euclide sull'infinità dell'insieme dei numeri primi. Congruenze in Z. Proprietà elementari. Equazioni congruenziali di primo grado. Cenni sulle equazioni diofantee. Sistemi di equazioni congruenziali. Il Teorema Cinese dei resti. La dimostrazione dei criteri di divisibilità per 3, 4, 9, 11. Il piccolo Teorema di Fermat. Funzione di Eulero phi. Calcolo di phi(n) per ogni intero positivo n. Il Teorema di Eulero. Il Teorema di Wilson. La congruenza x2=-1 (mod p) con p primo dispari ammette soluzione se e solo se p=1 (mod 4). Interi esprimibili come somma di due quadrati. Determinazione dell'insieme delle terne pitagoriche. Cenni su problemi classici di teoria dei numeri (risolti e non risolti): congettura di Goldbach; la congettura dei numeri primi gemelli; l'ultimo teorema di Fermat. Strutture algebriche con una o più operazioni. Semigruppi. Monoidi. Gruppi. Esempi di gruppi abeliani e non abeliani. Il gruppo delle matrici invertibili ad elementi in R. Il gruppo simmetrico Sn di grado n. il gruppo booleano dell'insieme delle parti di un insieme X rispetto all'operazione di differenza simmetrica. Sottogruppi di un gruppo. Criterio per stabilire se un sottoinsieme S di un gruppo G è un sottogruppo di G. Ordine (o periodo) o(x) di un elemento x di un gruppo G. Il sottogruppo generato da x. Se o(x)=n, allora xh ha ordine n/MCD(n,h). Per qualunque elemento x di un gruppo moltiplicativo G di ordine n, si ha xn=1. Laterali destri e laterali sinistri. Teorema di Lagrange: se H è un sottogruppo di un gruppo finito G, allora l'ordine di H è un divisore dell'ordine di G. Definizione di anello e di campo. Esempi di anelli con particolare attenzione all'anello delle classi resto modulo n.

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Algebra commutativa e computazionale - Seconda parte

Esame Algebra commutativa e computazionale

Dal corso del Prof. A. Lorenzini

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Seconda parte varieta' proiettive. Teoremi degli zeri di Hilbert (proiettivi). Varieta' di ideali monomiali e loro dimensione. Funzione e polinomio di Hilbert. Dimensione di varieta' affini e proiettive. Anelli di frazioni e localizzazioni. Altezza e dimensione di Krull e sua relazione con la dimensione di una varieta' affine o proiettiva. Bracci robotici. Dimostrazione automatica di teoremi di geometria.

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Algebra commutativa e computazionale - Prima parte

Esame Algebra commutativa e computazionale

Dal corso del Prof. A. Lorenzini

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Polinomi in piu' indeterminate. Ideali monomiali. Lemma di Dickson. Ordinamenti monomiali. Algoritmo di divisione. Basi di Groebner. Anelli noetheriani. Teorema della base di Hilbert. Criterio e algoritmo di Buchberger. Algoritmo di appartenenza. Criterio e algoritmo di appartenenza al radicale. Eliminazione e algoritmo di intersezione. Decomposizione primaria in anelli noetheriani. Varieta' affini. Teoremi degli zeri di Hilbert (affini) e algoritmo di compatibilita'. Ideali omogenei e prima parte varieta' proiettive.

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Equazioni differenziali

Esame Equazioni differenziali

Dal corso del Prof. T. Cardinali

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Teoremi di punto fisso. Esistenza di soluzioni in senso classico o assolutamente continue per problemi di Cauchy e per problemi periodici in cui figurano sistemi differenziali o inclusioni differenziali. Dipendenza continua dai dati iniziali. Teoremi di selezione per multimappe. Cenni sull'applicazione dei teoremi di punto fisso per multifunzioni nello studio di equilibri in economie astratte di tipo deterministico o random e cenni di problemi che si possono studiare con le inclusioni differenziali.

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Algebra II - anelli

Esame Algebra II

Dal corso del Prof. A. Lorenzini

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Appunti di algebra II sui seguenti argomenti trattati: Strutture algebriche. Teorema fondamentale degli omomorfismi per anelli. Ideali primi e massimali. Anelli euclidei, principali e fattoriali. Appunti basati su appunti personali del publisher presi alle lezioni della prof. Lorenzini. Scarica il file in formato PDF!

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Algebra II - gruppi

Esame Algebra II

Dal corso del Prof. A. Lorenzini

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Appunti di algebra II sui seguenti argomenti: Strutture algebriche. Permutazioni. Omomorfismi. Prodotti diretti. Gruppi ciclici. Normalita' e coniugio. Teorema di Cauchy e teoria di Sylow. Teorema fondamentale degli omomorfismi per gruppi. Appunti basati su appunti personali del publisher presi alle lezioni della prof. Lorenzini. Scarica il file in formato PDF!

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Algebra II - Campi

Esame Algebra II

Dal corso del Prof. A. Lorenzini

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Appunti di algebra II sui seguenti argomenti trattati: strutture algebriche, caratteristica di anelli e campi, anelli di polinomi, estensioni di anelli e di campi basati su appunti personali del publisher presi alle lezioni della prof. Lorenzini. Scarica il file in formato PDF!

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Algebra e geometria

Esame Algebra e geometria lineare

Facoltà Ingegneria aeronautica e dello spazio

Dal corso del Prof. F. Malaspina

Università Università degli Studi di Roma La Sapienza

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Appunti di algebra e geometria basati su appunti personali del publisher presi alle lezioni del prof. Malaspina, dell’università degli Studi del Politecnico di Torino - Polito, facoltà di ingegneria I, Corso di laurea in ingegneria aerospaziale. Scarica il file in formato PDF!

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Algebra I

Esame Algebra

Università Università del Salento

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Appunti di algebra con spiegazione estesa del corso di algebra 1, con appunti presi a lezione: aritmetica sui numeri interi, strutture algebriche, gruppi, azioni di un gruppo basati su appunti personali del publisher presi alle lezioni dell’università degli Studi del Salento - Unisalento, facoltà di Scienze matematiche fisiche e naturali. Scarica il file in formato PDF!

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Algebra 1 - teoria ed esercizi

Esame Algebra e matematica discreta

Dal corso del Prof. A. Facchini

Università Università degli Studi di Padova

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Logica proposizionale. Insiemi. Corrispondenze e applicazioni. Applicazioni composte. Numeri naturali e numeri interi. Il sistema posizionale in base b. Numeri complessi. Equivalenze e partizioni. L'insieme delle classi resto. Cardinali di insiemi, tecniche di enumerazione. Ordinamenti. Reticoli, reticoli booleani. Grafi. Semigruppi. Monoidi. Quozienti. Gruppi. Permutazioni. Sottogruppi normali e classi resto. Omomorfismi di gruppi. Anelli. Ideali. Polinomi. L'anello delle classi resto e la caratteristica di un anello. Domini euclidei e teorema di Ruffini.

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Matrici simmetriche e forme quadratiche

Esame Algebra e geometria lineare

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. F. Bonetti

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Appunti di algebra e geometria t basati su appunti personali del publisher presi alle lezioni del prof. Bonetti dell’università degli Studi di Bologna - Unibo, facoltà di ingegneria, Corso di laurea in ingegneria meccanica. Scarica il file in formato PDF!

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Spazi vettoriali e trasformazioni lineari

Esame Algebra e geometria lineare

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. E. Bonetti

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Appunti di algebra e geometria lineare su spazi vettoriali e trasformazioni lineari basati su appunti personali del publisher presi alle lezioni della prof. Cattabriga, dell’università degli Studi di Bologna - Unibo, facoltà di ingegneria, Corso di laurea in ingegneria meccanica. Scarica il file in formato PDF!

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Sistemi lineari e matrici

Esame Algebra e geometria lineare

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. A. Cattabriga

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Appunti di algebra e geometria lineare su sistemi lineari e matrici basati su appunti personali del publisher presi alle lezioni della prof. Cattabriga, dell’università degli Studi di Bologna - Unibo, facoltà di ingegneria, Corso di laurea in ingegneria meccanica. Scarica il file in formato PDF!

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Modelli lineari

Esame Algebra e modelli lineari

Facoltà Scienze statistiche

Dal corso del Prof. A. Montanari

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Schemi riassuntivi di tutto il programma, per una preparazione veloce ma esaustiva. Argomenti: formula del modello di regressione, stima dei coefficienti, inferenza sul modello, test, diagnostica, errori di specificazione del modello, ANOVA sotto forma di modello di regressione.

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Metodi risolutivi Temi Esame algebra e geometria E.Zizioli

Esame Algebra e geometria

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. E. Zizioli

Università Università degli Studi di Brescia

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Metodi risolutivi temi esame di algebra e geometria. Spiegazione di come risolvere punto per punto i temi esame: - Sistemi lineari - Es. sulle matrici - Spazi euclidei - Sup. di rotazione - Coniche e Quadriche - Rette e piani - Piani e sfere Scarica il file in PDF!

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Algebra Lineare - Determinante di matrici - esercizi svolti e proposti

Esame algebra lineare e geometria

Dal corso del Prof. F. Dalla Volta

Università Università degli Studi di Milano - Bicocca

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Appunti presi a lezione su determinante di matrici che sono elaborati dal publisher sulla base di appunti personali e frequenza delle lezioni del professore Dalla Volta, dell'università degli Studi di Milano Bicocca - Unimib. Scarica il file con le esercitazioni in formato PDF!

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Sistemi lineari - Esercizi svolti

Esame algebra lineare e geometria