Applicazioni lineari

Applicazioni lineari

Arlieaaani neat de saz uett oral Ve WD e - la funzione L: V > W è un'appieazioneline are e ualcaoro e seguent p op°eta:

• A) Abdiuita Y, , eV y . V ) = L/y,) +L(Va)
• 2) Omoeneita L(t)= t 2(y)t e IR E V, ¥ Vi 4 ° 6rado

Condizioni

Condizig (aCondizie aecessaoIG suEiete)nona eneasea ff.nche cfattse to e YeV => Loy): oLlY)

Alcuni esempi

• A) LR R Lx)xnon neae ache se Lt0) = 0L(3+5) 64 # L(3) + L(5)= 3t 23infatt
• 2) R R, L(x)= m eineareinfatt 4(x,+ x,) = m(x, +*2)-m (x}t m(x,) = Lo,)+ Llx2)L(Ex) = m(tbe) = t(mx) t L(x)
• 3) L IR R, Z(x) tsas lazicne di on uetto re M la,b)nooe linecse perche L(o.0) # (0,0) a meo che H =
• A) L R ,R2 L)= attoco ad di un agolorotaaionein verso antiorao. Telineare perche 2(0a) =0 0)2 (0tV) = 2(U) FL(v)LEV) = t L(V)

Osservazioni

Oss£ruazioni La koeione identita L v ,L(y) =V lineaeL o tomioe nula L: V w, L (v) =e lioea/

Nocleo e immagine di un'applicazione lineare

Nocleo e immaóine di un applicatlone lin.De d a a vn'agplcozicre lease L V W, si chiama nucleod i l ottoi nSieme c V dei ettos d U ehe hannopes iMmaq n e 2 E WkerL {veV: Ly)= a "(a) wKerL e un sottosoii ettoriale di V

Teorema sul Ker L

Teorema Ker L #0 peche ¬ ker Ls e V.z e ker L + (V,+Y) ¬ KerL (LN *2) + e = Q)t eR ker L (ty) KerLvese e (Lity)= tLlY) =t.c-)bef V s d i c e

Immagine

MmagineWLcne lnearecaza laatod 2 i ottoinseme d wFormato dalle M Mande vetto dIm

Teorema su Im L

Teorema Im L e attopazio e t o r a k d VWse 2(y4) e =i(V,)DM D e 2 E ImL, c o eallo ra w+W e ImL nfattL(V.*Y2)=L/v,¥L(Y) u, Fse te IRe we TmL cice se u=L(v) allcro t u e Ialih fat

Funzioni lineari iniettive e suriettive

Foneioni line ri inietti ve e suriettiveati due spat vettooial. Ve W, tal he dimVrn e dim W= m,L W e suriettiva e ImL WLV w e an é surietiua e e solo e dim Lm=dmv >W e iniettiv se L(L)=L(V) »e e Sdo se V , V

Teorema caratterizzazione delle funzioni lineari iniettive

Teorema (Cara tteciTzozica delle tunZian Loeari inie.ctive)L: V w iineare e (niettiuc se e solo se kesL:fsiM- (=7) se e i niettiua albs se L(e)=,sccme L(e)= 2, allora = 2( s e Ker iiet allcroaL einiectiuaseinf otti L(V2),( L ) acese L ) -L ) oL(v,- V2)= - v , ¬ ker L

Funzione lineare tra spazi vettoriali

Una fuzione linea re tro s t i vettoricl L V w (doue dim V:nela ualorie dim UW n)eunivocomente indNIduaCVdidi ebe t l o unaSuhe aI3umeSe a uA, V n e una kase d Ve V S i ho dhe L(V) 2(*Y, +.+X, Vn)x,L(v,) + .. +XnL()Soe e coc odinate diYC Spettobdoue XAalla ba reIm L:}L(V) vEV}{xiL(V) +...t X,L/), x,X.*n E Rspan( L), (Vn))e unc bose d. Vdoue a,EX Sia A Mto ceUm mMxne nxdX ettoreun Ax = Mx1R R, ) =A x con E R e Ax e RDiostso Che Le n am c a z e ineae4)LATs) = a( x,*%): A x, +AX L(x.)+L(a?2) L(tx= Alts): tA() t L(s)S a:e,.ez, en a bOse d: IR"canonicaSo he LmL (Lle,), - -,L(E)