Spazi vettoriali

Lo spazio vettoriale

Definita un'unità di misura, due segmenti orientati sono equivalenti se il modulo e la direzione sono gli stessi. Un vettore è una famiglia di tutti i segmenti orientati equivalenti. Ad esempio, se A, B e C sono punti, allora i vettori AB e AC sono uguali se i segmenti orientati AB e AC hanno lo stesso modulo e direzione.

Operazioni tra vettori

Nello spazio vettoriale, ci sono alcune operazioni fondamentali tra vettori:

• Somma di vettori: La somma di due vettori dà un nuovo vettore che segue le proprietà commutativa e associativa.
• Prodotto di un vettore per uno scalare: Il prodotto di un vettore dato per uno scalare cambia il modulo del vettore mantenendo la direzione.

Proprietà dello spazio vettoriale

Uno spazio vettoriale ha alcune proprietà fondamentali che devono essere verificate:

• Commutativa: U + V = V + U
• Associativa: (U + V) + W = U + (V + W)
• Elemento neutro: Esiste un vettore nullo 0 tale che U + 0 = U per ogni vettore U.
• Inverso: Per ogni vettore U, esiste un vettore -U tale che U + (-U) = 0.
• Distributiva rispetto alla somma di vettori: a(U + V) = aU + aV
• Distributiva rispetto alla somma di scalari: (a + b)U = aU + bU

Esempi di spazi vettoriali

Un esempio comune di spazio vettoriale è l'insieme delle n-uple ordinate di numeri reali, con le operazioni di somma e prodotto per uno scalare definite come segue:

• Somma: (x₁, x₂, ..., xn) + (y₁, y₂, ..., yn) = (x₁ + y₁, x₂ + y₂, ..., xn + yn)
• Prodotto per uno scalare: a(x₁, x₂, ..., xn) = (ax₁, ax₂, ..., axn)

Un altro esempio è l'insieme dei polinomi con coefficienti reali, dove le operazioni sono definite come somma di polinomi e prodotto per uno scalare.

Combinazione lineare

In uno spazio vettoriale V, una combinazione lineare di vettori V₁, V₂, ..., Vk con coefficienti c₁, c₂, ..., ck è data da:

c₁V₁ + c₂V₂ + ... + ckVk

Dove i coefficienti sono numeri reali.

In generale, se V è uno spazio vettoriale su Rⁿ, una n-upla (x₁, x₂, ..., xn) è una combinazione lineare dei vettori base.