Algebra commutativa e computazionale - Prima parte

Ricordando,

(A, +, •) anello (A, +) gruppo abeliano (assoc. + elem. neut. + inverso) (A, •) associativo e distributivo (A, +, •) dominio anello con unità ∀ a ≠ 0 ∃ b ≠ 0 tale che a•b=0 A campo (A, +) gruppo abeliano; (A, •) gruppo abeliano; distributivo.

A anello (I, +) ⊆ (A, +) sottogr. ∀ a, b ∈ a + aβ ∈ I e α a ∈ I A anello con unità ≤ a ∈ A a ∈ anello unità + non invert. u | ∃ b | : a | b a | a(b/c) se b/c ≠ 1.

A dominio a primo => a irriducibile A ≤ ∑a così unit. a(n - n.a. + dom.ino, A anello euclide ∃ g ≤ ∑a così unit. a(n • da(a: b) v. • a, | a | : {a n.a. ∑a | a}).

A così unit. P.N. A anello a dom.ino a(I) a = Iµ µ non vale bezout {∃ a, f primo : ∃, f | irr.ore A dominio => a(a/ a ≠ 1 : b • x/a • x verde) è sempre possibile è un'equazione euclidea.

Teorema (algoritmo a divisione)

∀ f, g ∈ k[x], ∃! q, r ∈ k[x], (q - r : deg(f) : (q : f)] se f = 0 => q = 0 = r ✓ se deg(f) ≥ deg(g) => q : 0 = (r se f =0 deg(f) se deg(g) = 0 = deg(f) : 0 => q • f : fq = 0 se deg(g) > 0 ren. se deg(g) > 0 ren.nazione su m : deg(g).

Ricordando

(A, +) anello ↔ (A, +) gruppo abeliano (assoc. + elem. neut. + inverso) (A, ·) associativo e distributivo (A, +, ·) dominio ↔ 1) anello con 1 unità + A ≠ ∅ “∀ a ∈ A, 1 · a = a” ∧ “∀ a ∈ Q ↔ n.d., n.d. (Idea a · b = 0) A campo ↔ (A, +) gruppo abeliano, (A, ·) gruppo abeliano, distributivo A anello Z/0 (I, +) ⊆ (A, +) sottogr. F, I ←→ ∀a ∈ Q, a ∈ HOM (AXH), a.core t.

A anello con 1 unità a ∈ A a prime¬+A (TFA: a ∈ A|bc, a|ibc2 solo b vale O, ∃tbc ↑ o/I) irriducibile (solo f, t, hom+∀oE.c = 1) ∀bc = 0 L.R. o inv. A dominio a prime → a irriducibile A+(e)(∀a) con 1: A. con cui A se ti esegue solo l A se f(A, b), Äa, b∈ A (so: te q. a--_{) {0, ∀ a--•3, ∀0 •a mod(|1 − 2v.}3YK=E se vale bellato (val di A ^ö∞, μ ∈ A; MCD A(b)= d ox.stereotype.).

A+(e) (Isto Courl unit) ∇ A Docmlinga anello a nual |DINIC y&Mef2.(I) |A = A cont. I: isvale A cbIA{∀l. ID+I } ESE&FR;S cn A medita aVAO L] (2)(3{ Hoel½. not A suol Munchis Nicottore { Sovelne al (e) Mnado&fraqte.print " in LPERICOLLtv INGRANbffuiO laN no A Polizio BbBOt {0 l.oE3} (E) 12., enz nil REG(rA nRADO; }MaK IFMELEeno(i: A; => 0 Hins?. piokke w, una NiSONWAY IT COSsECION vf C anello o WUELCT O MEQUEL TOUTINE → JYKZ vale BbBOTT {c a, 1pri.|3 = fE IRREDUCIblEsts EbENE SEPSIBLE W MOUVOLOUOCHESE.

Teorema o lcG&sqshake;&J¤ Uog HORE&pacоур оп Заг ≡ ∏Тьерапин Whи&lean Ä&Ntoe; ∑ закры&ј0 {FEQ lfo → 9 = 0 = r ✓ uf deg(f)≠ deg(g) → 9&hat;= r.oF – Se f ≠ 0 licht(fl)&no;= deg(g) se deg(f) = O bag(g)= O → 9 = f • ΨμoF&there4 deg(g)>o REiNOrACE ship on r.m- days(gm=0 => vedi alla m=deg(f) m=deg(g) => f=a₀a₁x+...+a_mx^m g=b₀+...+b_mx^m-na_nxⁿ.

Sia f₁=f-a_mb_nx^m-n se f₁=0 => q=a_mb_mx^r-0 se f₁≠0 f₁=a₀t₀x^m-n-a_mb_mx^m-n / m°=> deg(f₁)<m=deg(f) se lo facessi n° volta=> ∃q₁,r_k∈K[x] f=q₁g+r₁ r_k=0 < deg(r_k).

Sviluppando l'induzione, per sviluppare l'algoritmo deg(f)₁ ≥ deg(f)₂ ≥ deg(f)₃... da ∑={deg(f₁),deg(f₂),...}∑ ≠ ∅...∑ diventa minimo r=1 in ordinato-A particolare => A[x] razionale-K[x] è uno spazio vett su K, duh coefficiente al univ. indipenden.

Problema di appartenenza a un ideale

Π ∆ K[x] f∈I ⇔ ?? K[x] principale => ∃g∈I: Π=<g>={h.ḡl | ḡ∈K[x]} dunque ∀f∈I ⇒ g|f & g≠0 cong divisione euclidea-K campo f:K→K f per polinomi ∃p∈K[x] ∀a∈K f(a)=p(a)=f_a(ᵖ) duh ℜe(K)≠{f:K→K} poli.