Tipi e caratteristiche di applicazioni lineari fondamentali & esempi - Algebra e geometria lineare

Linearità e dipendenza – funzioni iniettive

Tosetti Luca 16/10/2020

Linearità e dipendenza

Ogni applicazione lineare non altera la dipendenza dei vettori, se questi sono linearmente dipendenti.

Dimostrazione

Considerando i vettori V⃗1, V⃗2, …, V⃗n ∈ V, allo spazio vettoriale V.

Andando a considerare tali vettori come vettori lin. dip. significa che esistono dei coefficienti α1, α2, …, αn non nulli, tali che:

α1 V⃗1 + α2 V⃗2 + … + αn V⃗n = O⃗

Possiamo dunque dire che tale vettore O⃗, inserito all’interno della funzione lineare:

f(O⃗) = O⃗

f(α1 V⃗1 + α2 V⃗2 + … + αn V⃗n)

α1 f(V⃗1) + α2 f(V⃗2) + … + αn f(V⃗n)

Dunque avendo considerato all’inizio dei coefficienti α1, α2, …, αn non nulli, e avendoli mantenuti.

Grazie alla proprietà dell’omogeneità, rimarranno comunque non nulli anche nello spazio vettoriale f(V⃗1), f(V⃗2), … di arrivo. Per cui anche i vettori saranno linearmente dipendenti.

N.B.: Questo non accade per i vettori linearmente indipendenti, generalmente.

Funzioni iniettive

f : A → B

Una funzione del tipo f : A → B viene definita iniettiva quando ogni elemento dell’insieme di partenza (A), è al più (al massimo), collegato ad un elemento dell’insieme di arrivo.

Ogni applicazione lineare che è anche iniettiva trasforma dei vettori linearmente indipendenti, in vettori linearmente indipendenti.

Ipotesi

Considerando un’applicazione lineare f : A → B, e considerando un insieme di vettori V⃗1, V⃗2, …, V⃗n dello spazio vettoriale V, linearmente indipendenti.

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Tosetti Luca 16/10/2020

Linearità e dipendenza – funzioni iniettive

Andiamo a supporre, per assurdo, che anche i vettori f(V⃗1), f(V⃗2), … dello spazio vettoriale W, siano linearmente indipendenti, ovvero che esistano delle combinazioni lineari dove i coefficienti α1, α2, …, αn non siano tutti nulli.

Abbiamo che:

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Funzioni iniettive - nucleo

Dim.

α1 f(V⃗1) + α2 f(V⃗2) + … + αn f(V⃗n) = O⃗

Per la linearità della funzione, abbiamo anche che:

f(α1 V⃗1 + α2 V⃗2 + … + αn V⃗n) = O⃗

Infine poiché andiamo a considerare anche una funzione iniettiva si ha:

α1 V⃗1 + α2 V⃗2 + … + αn V⃗n = O⃗

E quindi in questo caso i vettori V⃗1, V⃗2, …, V⃗n sarebbero linearmente dipendenti, che va contro l’ipotesi fatta precedentemente.

Inoltre se prendiamo in considerazione una funzione f : A → B, la dimensione dello spazio vettoriale di partenza deve essere necessariamente minore o uguale alla dimensione dello spazio vettoriale di arrivo, per fare in modo che tale funzione possa essere iniettiva. Nel caso infatti l