Esercitazione algebra e geometria

Martina Contestabile ingegneria informatica comune A-L A.A. 2020/21 algebra e geometria esercitazioni

Mercoledì 16 settembre 2020

Sono tabelle di elementi suddivisi in righe e colonne m × n m × n a coefficienti in k una tabella di elementi disposti in m righe ed n colonne.

Definiamo le matrici ad m righe ed n colonne Mat () m,n 1 ≤ i ≤ m Indice di riga 1 ≤ j ≤ n Indice di colonna Mat ().

Matrice quadrata se m=n n.

Matrici quadrate particolari

• Triangolare superiore se a = 0 ∀i > j i, j, triangolo superiore alla diagonale principale, tutti gli elementi al di sotto della diagonale principale sono nulli.
• Triangolare inferiore se a = 0 ∀j < i i, j, tutti gli elementi al di sopra della diagonale principale sono nulli.
• Diagonale se a = 0 ∀i ≠ j i, j, tutti gli elementi al di fuori della diagonale principale sono nulli.
• Scalare, è una matrice diagonale con a = k i, j.
• Identica di ordine n, detta anche matrice identità, deve essere diagonale a = 1 e i,i, ovvero tutti 1 sulla diagonale principale e zero altrove.
• Nulla se 0 a = 0 ∀i, j i, j, tutti gli elementi sono nulli; la matrice diagonale è sia triangolare superiore che inferiore.

T t Mat () A A Data A appartenente si dice trasposta di A, o, ottenuta da A scambiando le m,n righe con le colonne.

1 3 A = 2 -4 0 1

T A ∈ Mat () m,n T A = A Si dice simmetrica se. Per essere simmetrica deve essere quadrata, ovvero m=n.

2 3 2 3 T A A = = 3 1 3 1

Operazioni fra matrici

A, B ∈ Mat () C = A + B

• Addizione: si dice somma di A e B la C = A + B, con C ∈ Mat () C := a + b, sommo se ha stessa dimensione e se si estende per un n finito di matrici, m,n i, j i, j i, j.

Vale la proprietà:

• Associativa.
• Commutativa.
• Elemento neutro: ∃ 0 A + 0 = A.
• Elemento opposto -A = (−a i, j) e -A+A=0.
• (A + B)^T = A^T + B^T.

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(Mat (), + ) è gruppo abeliano m,n.

Prodotto di una matrice per uno scalare

A ∈ Mat (K ) k ∈ K Serve una matrice e, m,n.

C = K ⋅ A ∈ Mat () C = k ⋅ a È prodotto K per A: . Vale la proprietà: n i, j i, j.

• K ⋅ A = A ⋅ k.
• H ⋅ (k ⋅ A) = h k ⋅ A.
• K ⋅ (A + B) = k A + k B.
• (h + k) ⋅ A = h A + k A.
• (k A)^T = k A^T.

Prodotto tra due matrici

Prodotto tra due matrici, prodotto righe per colonne:

A ∈ Mat () B ∈ Mat () e, il prodotto di righe per colonne di A per B è m,p p,n C = A ⋅ B ∈ Mat () C, dove si trovano sommando i prodotti termine a termine della i- m,n i, j esima riga di A per la j-esima colonna di B. Le righe di A devono essere dello stesso numero di colonne di B.

• Non vale la proprietà commutativa.

Osservazione: non vale la legge dell’annullamento del prodotto; infatti se ho A ⋅ B = 0 ciò non significa necessariamente che A o B siano matrici nulle.

Calcolo determinante

Calcolo determinante di matrici quadrate.

A ∈ Mat () |A|, o det(A) n ∈ A è scalare k K.

Come si calcola?

• A ∈ Mat () |A| = il valore dell’unico elemento che contiene; A(4) |A|=4 1.
• A ∈ Mat () il suo determinante è dato dalla differenza tra il prodotto degli elementi sulla diagonale principale e il prodotto di quelli sulla diagonale secondaria 2.
• A ∈ Mat () Sarrus 3.

1. Accosto a destra della matrice la prima e la seconda colonna.
2. Sommo i prodotti degli elementi della diagonale principale con i prodotti degli elementi delle sue due sovradiagonali.
3. Da 2. sottraggo i prodotti degli elementi della diagonale secondaria e i prodotti degli elementi delle sue due sottodiagonali.

• Se è una triangolare superiore, il determinante è il prodotto di tutti gli elementi della diagonale principale.
• Matrice diagonale: ha |I n| = 1 ∀n ≥ 2.

Giovedì 17 settembre 2020

A ∈ Mat () n ≥ 2 Regola di Laplace: se generica con posso usare la n n i+j ∑ |A| = × (−1) × a × |A i,j|.

1. Fissata una qualsiasi riga o colonna di A, i, j i, j j=1 A dove è la matrice che si ottiene da A togliendo la i-esima riga e la j-esima i, j colonna.

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Definizione: il valore (−1)^i+j |A i,j| è detto complemento algebrico di a i,j.

Osservazione: applico Laplace fissando una qualsiasi riga/colonna, ma se voglio velocizzare i calcoli conviene scegliere, se ci sono, con il maggior numero di zeri (0) all’interno.

Proprietà dei determinanti

1. |I n| ≈ A ∀ ≥ 1 n.
2. A triangolare/diagonale, allora |A| = π a i,i i=1.
3. |A^t| = |A|.
4. |A × B| = |A| × |B|, regola di Binet, in generale, non vale per la somma.
5. Se in A c’è una riga o colonna nulla ⇒ |A| = 0.
6. Scambiando due righe/colonne, il determinante cambia di segno.
7. Se una riga/colonna è combinazione lineare di altre righe/colonne ⇒ |A| = 0; se si può scrivere utilizzando le altre righe/colonne combinate con operazioni di somma e/o prodotto per scalare. Osservazione: se una riga/colonna è multipla di un’altra riga/colonna è una sua combinazione lineare ⇒ |A| = 0.
8. Sommando ad una riga/colonna una combinazione lineare delle altre righe/colonne, il determinante non cambia |A′| = |A|.

Per la proprietà 8. posso scrivere una matrice A’, ma che ha sempre.

Mercoledì 23 settembre 2020

Una matrice quadrata si dice non singolare se il suo determinante è ≠ 0. Altrimenti si dice matrice singolare.

Si dice inversa di A se la matrice A⁻¹ tale: ∃ A⁻¹ A ⋅ A⁻¹ = A⁻¹ ⋅ A = I m.

Osservazione: se esiste A⁻¹ è unica.

Teorema: sia A ∈ Mat (K ) n, esiste A⁻¹ ⟺ |A| ≠ 0, cioè ammette inversa se e solo se è non singolare.

Calcolo della matrice inversa

Calcolo della matrice inversa, metodo del complemento algebrico.

Data A = (a ij) ∈ Mat (K ) n, si dice aggiunta di A la A a ∈ Mat n ottenuta sostituendo in ogni elemento col suo complemento algebrico.

C ij = (−1)^i+j ⋅ |A ij|.

Teorema: se |A| ≠ 0 ⇒ A⁻¹ = 1/|A| A a^T.

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T A ∈ Mat (R) 2 A se allora a.

Esempi

Esempi: a ∈ R A a = 0? Per quali è invertibile? In caso, è possibile invertire con.

4 3 3 A = a + 4a + 6 + 3 − 6a − 3 − a − 4 = |A|

= a⁴ − 2a³ − a + 2 ≠ 0

a³ (a − 2) − (a − 2) ≠ 0

(a − 1)(a − 2) ≠ 0 → a ≠ 1,2

∃ A⁻¹ ∀a ≠ 1,2; a = 0 ∃ A⁻¹, se 1.

A⁻¹ = 1/|A| ⋅ A a.

2 k ∈ R A k = − 2? Per quali è invertibile? In caso, si può invertire per.

k 2 A = − 2k − k − 2k |A|

k 2 = − k − 4k ≠ 0

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k² − 4k ≠ 0 → k ≠ 0, − 4.

∃ A⁻¹ ∀k ≠ 0, − 4.

k A = − 4 + 8 = 4 |A|

−2 1 A⁻¹ = 1/|A| ⋅ A a 4 −1 −1.

k ∈ C ∃ A⁻¹? A k = 2 Per quali calcola per.

k 2 2 A = − k − 2(k + 1) = − k − 2k − 2 ≠ 0 |A|

k ± 2k + 2k + 2 ≠ 0 → k ≠ − 1 ± i.

∃ A⁻¹ ∀k ≠ − 1 ± i.

Tema d’esame - Test 1 2012

Mat (R) Nello spazio vettoriale sono date: 3.

Si dica, motivando la risposta, se A è invertibile e, in tal caso, dire per quali h ∈ R: B h è inversa di A.

Se ∃ A⁻¹ ⟺ |A| ≠ 0. Se ∃ A⁻¹ ⇒ A A⁻¹ = A⁻¹ A = I.

Il prodotto fra matrici è anche detto prodotto righe per colonne, si scrive prodotto del primo col primo + prodotto secondo per secondo + …

2 2 h 2 h − + =0 ∧ + =1 3 3 3 3

h = 1 ∧ h = 1 ⇒ B h è inversa di A.

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Rango di una matrice

Data A ∈ Mat (K ) m,n, si dice minore di ordine p una matrice quadrata di ordine p ottenuta da A, sopprimendo m − p colonne e m − p righe.

m − p =1

n − p =0

Data A ∈ Mat (K ) m,n, dire che il rango di A è p, con A → rg(A) = p ∨ r (A) = p ∨ ρ(A) = p, p ≤ min {m, n}, significa che A ha un minore non singolare det A ≠ 0 di ordine p, e che ogni eventuale minore di ordine superiore a p è singolare det A = 0.

Osservazione: r (A) = 0 ⟺ A = 0.

Se A ∈ Mat (K ) n allora r (A) = n ⟺ |A| ≠ 0, rango massimo.

Se |A| ≠ 0 → r (A) = 3.

Se |A| = 0 → r (A) ≠ 3.

|A| = 2 + 9 + 2 − 6 − 1 − 6 = 0 ⇒ 1 ≤ r (A) ≤ 2.

Cerco M 2 2. Se ∃ M 2 2 con |M| ≠ 0 allora r (A) = 2.

r (A) = 4 ⟺ |A| ≠ 0.

|A| = (−1)¹⁺⁴.

Teorema degli orlati

Teorema degli orlati o di Kronecker.

Se A ∈ Mat (K ) m,n il rango di A è p ⟺ ∃ in A un minore di ordine p non singolare e ogni minore di ordine p + 1 che contiene completamente M p è singolare.

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∄ M 3 M 2 M 3 altri che contengono interamente e gli considerati hanno det = 0 ⇒ ρ(A) = 2.

Combinazioni lineari.

ρ(A) = 2.

Giovedì 23 settembre 2020

Rango di una matrice al variare di un parametro

a = k (k − 1) ≠ 0 ⇒ k ≠ 0,1 |A k| ρ(A k) = 3.

Se k = 0,1 ⇒ ρ(A k) = 2.

Però |A k| = 0, ∀k.

⇒ 1 ≤ rg(A k) ≤ 3.

Cerco M 2 2 con |M| ≠ 0.

Orlo M 2 e cerco tra i M 3.

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Se |M 3 1| ≠ 0 rg(A) = 3.

Se |M 3 1| = 0 rg(A) = 2.

±2 −2 (k − 1) (k + 1) ≠ 0 ⟺ k ≠ 1 M 3 3 ≠ 0 ⇒ ρ(A) = 3.

k ≠ 0 ∧ k ≠ 2.

III c = I c + II c ∄ M 3 che contengono interi M 2 che abbiano determinante ≠ 0. Allora ρ(A 0) = 2.

ρ(A 32) = 3.

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Stabilire il rango delle matrici A e A|B, con l’aggiunta della colonna B.

III R = I R + II R.

|A| = 0 1 ≤ r (A) ≤ 2.

∃ M 2 2 con |M| ≠ 0? Sì. r (A) = 2.

2 ≤ r (A|B) ≤ 3. Sì, orlo M 2.

r (A|B) = 2 = r (A).

r (A) = 2 r (A −1) = 1.

Se k = − 1 r (A) = 1 = r (A|B).

Se k = 1 …...

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Invece, qual è ρ(A|B)?

Se k ≠ 0, − 1 r (A) = 3 = r (A|B).

Se k = 0 r (A) = 2 ≠ 3 = r (A|B).

Se k = − 1 r (A) = 2 ≠ 3 = r (A|B).

Tema d’esame: si considerino ρ(A k)? 1 ≤ ρ(A k) ≤ 3.

∃ M 2 2 con |M| ≠ 0 ∀k? Sì.

Ora cerco M 3 che contengono M 2.

(k − 2)(k + 1) ≠ 0 ⇒ k ≠ 2, − 1.

Allora ρ(A k) = 3.

II c = I c V ⇒ det = 0.

rg(A) = 2.

det = 0 ⇒ rg(A) = 2.

Se k ≠ 2, − 1 ∃ M 3 3 con |M| ≠ 0.

ρ(A|B) = 3.

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ρ =2.

III c = I c + 2II c.

det = 0 ⇒ ρ = 2.

ρ(A) = ρ(A|B) ∀k.

Mercoledì 30 settembre 2020

Spazi vettoriali

V ≠ ∅ V(K ) Siano, K campo. Diciamo che V è spazio vettoriale su K, ovvero, se valgono queste condizioni:

I. (V, + ) è gruppo abeliano.

II. ∃ * un’operazione, prodotto per scalare, che soddisfa ∀α, β ∈ K ∧ ∀ v, w ∈ V.

Proposizione: Mat (K ) m,n è uno spazio vettoriale su K.

Resta da vedere +, ⋅ verificano queste proprietà:

1. ∀α, β ∈ R ∀A ∈ Mat (R) 2 : (α + β )A = Aα + Aβ.
2. ∀α ∈ R ∀A, B ∈ Mat (R) 2 : α(A + B) = Aα + Bβ.

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3. ∀α, β ∈ R ∀A ∈ Mat (R) 2 : (αβ )A = α(βA), verifica.
4. 1 R A = A A ∈ Mat (R) 2.

Sottospazio vettoriale

Si dice sottospazio vettoriale di uno spazio vettoriale V, un sottoinsieme W di V, con W ≠ ∅, che soddisfa le condizioni di spazio vettoriale. Se W è sottospazio vettoriale di V si scrive W ≤ V.

Criteri per i sottospazi vettoriali:

Sia W ≠ ∅ sottoinsieme dello spazio vettoriale V(K). W ≤ V ⟺

• ∀w 1, w 2 ∈ W : w 1 + w 2 ∈ W, è chiuso rispetto alla somma.
• ∀α ∈ K ∀w ∈ W : α w ∈ W, è chiusa rispetto al prodotto per scalare.

Sia W ≠ ∅ sottoinsieme di uno spazio vettoriale V(K). W ≤ V ⟺

∀w 1, w 2 ∈ W ∀α, β ∈ K : α w 1 + β w 2 ∈ W.

Esempi:

• Matrici simmetriche tA = A ≤ Mat (K ) n.
• Matrici triangolari e diagonali ≤ Mat (K ) n.

Condizione necessaria affinché W ⊆ V sia sottospazio di V è che W contenga il vettor nullo.

Proposizione: K n ∀n ≥ 1 è spazio vettoriale K n := {(K 1, K 2 . . K n) | K i ∈ K, ∀i = 1...n}.

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Osservazione: la dimensione di K n = n, la dimensione di Mat (K ) m,n = m ⋅ n.

Esercizio: dire quali dei seguenti insieme sono sottospazi vettoriale dello spazio vettoriale indicato.

x =1 − y ⇒ 0 ∉ A → A non è sottospazio di Mat (R) 2.

x =0 ∧ y =0.

È una matrice nulla.

∘ 2 ∀B, B ∈ B criterio di sottospazio vettoriale ∀α, β ∈ R : αB + βB ∈ B.

α x + β x = z z ∈ R e α y + β y = t t ∈ R e.

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3 (y + z, y, z) ∈ R | y, z ∈ R { }

∀α, β ∈ R ∀v, w ∈ C : α v + β w ∈ C.

(a + b, a, b) ∈ C.

C ≤ R³.

{(x, x, − x) ∈ R³ | x ∈ R}

Se x = 0 ⇒ (0,0,0) ∈ D.

α v + β w ∈ D.

α, β ∈ R ∧ v, w ∈ R³ = (a, a, − a) ∈ D.

D ≤ R.

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0 è l’unico elemento di V.

Quindi, V = {(0,0)} = {0}.

Sottospazio banale, contiene solo il vettor nullo, V ≤ R³.

0 = (0,0) ∈ W ? Sì, ma non è l’unico elemento di W!

Se uso il secondo criterio dei sottospazi vettoriali: combinazione lineare (c.l.) ∀w, v ∈ W e ∀α, β ∈ C.

Sia V(K ) uno spazio vettoriale e v 1, v 2, . . . , v n ∈ V(K ), n ≥ 1 e λ 1, λ 1, . . . , λ n ∈ K.

Diciamo combinazione lineare di lettori tramite i coefficienti v 1, . . . v n il vettore w.

wα + vβ ∈ W.

w = λ 1 v 1 + λ 2 v 2 + . . . + λ n v n = ∑ λ i v i, i=1 n.

Per essere vettore di W.

2 x² + y² = 0.

Svolgimento: 0² + (2i)² ≠ 0.

W non è sottospazio di C.

z + y =0.

x + y + 2z = 2.

−x + y = − 2.

Risolvo questo sistema a tre incognite e tre equazioni.

Ho infinite possibilità di scelta per assegnare valori alle incognite.

Esercizio: combinando linearmente v 1 = (1, − 1,0) e v 2 = (1,1,1) posso ottenere V 1?

v 1 = 1v 1 + 0v 2.

⟺ x + y =0.

y − x =0.

y =0 ⇒ x =1 ∧ y =0.

Combinando linearmente i due vettori, posso ottenere v 3 = (8, − 2,3)?

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v 3 = 5v 1 + 3v 2.

Unici coefficienti che nella combinazione lineare con i due vettori dà v 3, la combinazione lineare è unica.

Osservazione: la combinazione lineare non è unica se il sistema è indeterminato ⇒ scrivo le incognite in funzione di una di esse e trovo gli infiniti valori dei coefficienti da utilizzare nella