Teoria dei punti fissi
Definizione di spazio metrico
Def. X ≠ ∅ insieme, d: X × X → ℝ0+. (X, d) si dice spazio metrico ⇔
- d(x, y) = 0 ⇔ x = y
- d(x, y) = d(y, x)
- d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) ∀ x, y, z ∈ X
Definizione di punto fisso
Def. X ≠ ∅ insieme, f: X → X. f si dice avere un punto fisso ⇔ ∃x ∈ X: f(x) = x
Successioni convergenti e di Cauchy
Def. (X, d) metrico, (xn)m C X, x ∈ X. (xn)m si dice convergente a x ⇔ lim d(xm, x) = 0, m → ∞.
(xn)m si dice di Cauchy ⇔ ∀ε>0 ∃m(ε)∈ℕ: ∀m ≥ m(ε) ∀n ∈ ℕ d(xm, xn)
(xn)m convergente ⇒ (xn)m di Cauchy
3) No qua!
- (X, d) = (Q>0, d)|{x⋎} - xpp+1|
1/n → 0 w R ⇒ ∃ Cauchy w R ≠ Cauchy w in X
1/n non è convergente in Q>0
Spazi metrici completi
Def. (X, d) metrico. (X, d) si dice completo ⇔ ∀xn successione di Cauchy ∃ x ∈ X: am → x
Contrazioni e funzioni Lipschitziane
Def. (X, d) metrico, f: X → X. f si dice contrazione ⇔ ∃ k ∈ ]0, 1[: d(f(x), f(y)) ≤ kd(x, y) ∀ x ∈ X
f si dice Lipschitziana ⇔ ∃ L > 0: d(f(x), f(y)) ≤ k d(x, y) ∀ x, y ∈ X
Nota: f lip. +...=... banach ⇒ f contr. => banach
Teoria dei punti fissi
Definizione di spazio metrico
Def. X ≠ ∅ insieme, d : X × X → ℝ0+. (X, d) si dice spazio metrico ⇔
- (a1) d(x, y) = 0 ⇔ x = y
- (a2) d(x, y) = d(y, x)
- (a3) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) ∀x, y, z ∈ X
Definizione di punto fisso
Def. X ≠ ∅ insieme, f : X → X. f si dice avere un punto fisso ⇔ ∃x ∈ X : f(x) = x
Punti fissi sono invariati da f
Successioni convergenti e di Cauchy
Def. (X, d) metrico. (xn,m) ⊆ X, x ∈ X. (xn,m) si dice convergente a x ⇔ lim d(xn,m, x) = 0, m → ∞.
(xn,m) si dice di Cauchy ⇔∀ε > 0 ∃m(ε) ∈ ℕ : ∀m ≡ m(ε) ∀n ∈ ℕ d(xn,m, xn)
(xn,m) convergente ⇒ (xn,m) di Cauchy
- NO (DU)!
- (ℚ, d) = (ℚ ∩ ℝ0+, d|ℚ0+×ℚ0+)
(1/n)n → 0 in ℝ ⇒ ∀ Cauchy in ℚ
(1/n)n non è convergente in ℚ ⊆ ℚ0+
Spazi metrici completi
Def. (X, d) metrico. (X, d) si dice completo ⇔ ∀(xn,m) succ. di Cauchy ∃x ∈ X : xm → x
Contrazioni e funzioni Lipschitziane
Def. (X, d) metrico, f : X → X. f si dice contrazione ⇔ ∃k ∈ ]0, 1[ : d(f(x), f(y)) ≤ k d(x, y) ∀x, y ∈ X
f si dice Lipschitziana ⇔ ∃L ≥ 0 : d(f(x), f(y)) ≤ L d(x, y) ∀x, y ∈ X
Nota: f−1 ≠ finversa alcune inverse & implications
Proprietà
(X,d) spazio metrico
- S compatto ⇒ S chiuso e limitato
- ⇔ ∃Br(c) ⊇ (A)
(X,d) se. metrico
- S compatto ⇒ S compatto per successioni
(cioè ∀(xnk)k ∈ (xnm)m, ∃→ x)
(X,d) (Y,d) sp. metrico: f: X → Y, x0 ∈ X
f continua ⇔ ∀(xnm) ⊆ X, xn → x0. allora f(xn) → f(x0)
Definizione
Def. (X,d) se. metrico, f: X → X &exists; x ∈ X
x si dice 1) f(x)=x
punto fisso ⇔ 2) ∀ (unico p.to fisso di f
(contraddio)
3) ∀ y∈X sia (xnm) l’orbita relativa a x0 cioè xnm
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