Algebra lineare e geometria

Vettori geometrici

Vettore libero: oggetto matematico caratterizzato da tre fattori: direzione (retta che contiene il vettore); verso (punta della freccia); modulo (lunghezza).

Vettore applicato: vettore libero con punto di applicazione. Da un vettore libero possono derivare infiniti vettori applicati. Da un vettore applicato derivano un vettore libero e un punto di applicazione.

Osservazione: insieme vettori liberi nel piano di modulo.

Osservazione:

Osservazione: vettore nullo: direzione e verso non esistono, il modulo è zero.

Operazioni tra vettori

• Prodotto per scalare ().
• Somma.

Prodotto per scalare

Dati vettore libero e ∈ scalare:

• Direzione: direzione di.
• Verso: se > 0, verso di; se.
• Intensità: || ||.

Se = 0, = (vettore nullo).

Somma

Dati ₁, ₂ vettori liberi definiamo vettore somma come ₁ + ₂.

Regola del parallelogramma:

Pensilare il parallelogramma e la diagonale che parte dal punto di applicazione in comune delle due code è il vettore somma.

La somma di vettori è commutativa.

₁ + ₂ = ₂ + ₁.

Vettori geometrici

Vettore libero: oggetto matematico caratterizzato da tre fattori: direzione (retta che contiene il vettore); verso (punta della freccia); modulo (lunghezza).

Vettore applicato: vettore libero con punto di applicazione. Da un vettore libero possiamo derivare infiniti vettori applicati. Da un vettore applicato derivano un vettore libero e un punto di applicazione.

Osservazione: insieme vettori liberi nel piano di modulo IR.

I vers descrivono una circonferenza di centro O e raggio 1R. B u = (B-A) = BA A

Osservazione: vettore nullo 0: direzione e verso non esistono, il modulo è zero.

Operazioni tra vettori

• Prodotto per scalare (IR).
• Somma.

Prodotto per scalare

Dati u vettore libero e c E IR scalare.

• Direzione: direzione di u.
• Verso: se c > 0, verso di u; se c < 0, opposto di u.
• Intensità: |c| | u|.

Se c = 0: 0 u = 0 (vettore nullo).

Somma

Dati u e v vettori liberi definiamo vettore somma come u + v.

Regola del parallelogramma:

Considero il parallelogramma e la diagonale che parte dal punto di applicazione in comune delle due code è il vettore somma.

u -------------- \ / \ / \ / \ v

La somma di vettori è commutativa.

u + v = v + u.

Proprietà

1. c (d ^→u) = (cd) ^→u.
2. (c+d) ^→u = c^→u + d^→u.
3. ^→u + ^→v = ^→v + ^→u.
4. (^→u + ^→v) + ^→w = ^→u + (^→v + ^→w).
5. (c ^→u) ^(→v + ^→w) = c ^→u + c^→v.

Osservazione: ^→u + ^→u + ^→w (concatenazione).

Equivalente al fare la regola del parallelogramma 2 volte.

Componenti

Un vettore ^→u tale che ||^→u|| = 1, si dice versore o vettore unitario.

Oss: ^→u ≠ 0 ^→u ------- = ^→v ||^→u|| ||^→v|| = 1, ^→v è un versore.

||^→i|| = ||^→j|| = 1.

Oss:

Punti nel piano.

Coppie di coordinate.

^→i versore asse x.

^→j versore asse y.

^→v = (v_x, v_y).

v_x e v_y sono le componenti del vettore.

Nello spazio abbiamo 3 versori: i, j, k.

^→v = v_x i + v_y j + v_z k.

Dipendenza lineare

1. I vettori v₁,...v_n sono linearmente dipendenti se esistono c_i coefficienti, non tutti nulli. Tali che c₁ v₁ + c₂ v₂ +...+ c_n v_n = 0. Sono linearmente indipendenti se l'unica media per dipendenza zero nullo, lenta combinazione ed = assumere coefficienti tutti nulli. Altrimenti vettori banche sempre linearmente dipendenti.

Operazioni in componenti

Prodotto per scalare.

c ∈ &Ropf;