Vettori Geometrici, Spazio Vettoriale Reale - Algebra e geometria lineare

Vettori geometrici

Tosetti Luca 18/09/2020 Vettori geometrici

In generale un vettore, è una classe di segmenti orientati equipollenti tra di loro.

Ciascuno di questi segmenti possiede 3 diverse proprietà:

• Direzione: Ovvero la direzione della retta di cui fanno parte i due punti che fanno da estremi al segmento.
• Verso: Ovvero se il vettore va da un punto A ad un punto B, o viceversa.
• Modulo / Lunghezza: Si tratta della misura della lunghezza del segmento rispetto ad una fissata unità di misura.

Rappresentazione di uno stesso vettore

Uno stesso vettore può essere rappresentato andando ad utilizzare due segmenti differenti: B B’ A A’.

Si tratta di due segmenti diversi (AB e A’B’), ma possono essere usati per rappresentare lo stesso vettore. Ciò è dovuto al fatto che sono collegati da una relazione di equipollenza.

Questo avviene quando esiste un movimento rigido (in cui quindi non può essere cambiata direzione, verso e modulo) e parallelo che faccia coincidere A con A’ e B con B’.

Da ciò possiamo ricavare la definizione di vettore geometrico: un vettore geometrico, è una classe di equipollenza (equivalenza).

Tra l’altro sono classi di equivalenza anche la direzione (segmenti che hanno tutti una stessa direzione) e la lunghezza.

AB non è in relazione con AB R (Relazione) A’B’ A’B’.

Es: Br BB’ B’r’ rA A’ A’ r’A.

Proprietà della relazione di equipollenza

Inoltre questa relazione di equipollenza, essendo una relazione di uguaglianza, possiede anche le stesse proprietà di una qualsiasi altra relazione di equivalenza:

• Transitiva: AB sovrapponibile con A’B’; A’B’ sovrapponibile con A’’B’’. Allora AB sovrapponibile con A’’B’’.

1 Tosetti Luca 18/09/2020 Vettori geometrici

• Riflessiva: X) AB è sovrapponibile con sé stesso (xRx x ∈ X).
• Simmetrica: AB sovrapponibile con A’B’. Allora A’B’ sovrapponibile con AB.

Somma tra vettori

Andando invece a considerare 2 vettori (v e u) è possibile andare ad effettuare la somma tra vettori attraverso la “regola del parallelogramma”.

Es: v + u = w.

Una somma di vettori possiede diverse proprietà:

• Associatività: (u + v) + w = u + (v + w).
• Commutatività: u + v = v + u.
• Esistenza del vettore nullo: Il vettore nullo si indica con o, e si tratta di un vettore in cui punto di inizio e di fine coincidono (viene appunto rappresentato come un punto). v + o = v.
• Esistenza del vettore opposto: v w L’.