Approfondimento delle applicazioni lineari - Algebra e geometria lineare

Applicazioni lineari

Una applicazione lineare è una funzione tra due spazi vettoriali e quando vengono verificate le seguenti proprietà:

Additività

Ovvero che per ogni \( u, v \in V \) si ha che:

• \( f(u + v) = f(u) + f(v) \)

Omogeneità

Per ogni \( v \in V \) e ogni \( k \in \mathbb{R} \) si ha che:

• \( f(kv) = kf(v) \)

Inoltre una funzione \( f : V \rightarrow W \) è lineare se e solo se preserva le combinazioni lineari, cioè per ogni \( u, v \in V \) e per ogni \( h, k \) numeri reali si ha:

• \( f(hu + kv) = hf(u) + kf(v) \)

Inoltre nel caso una funzione fosse lineare, allora la funzione: \( f(0) = 0 \). Infatti questa funzione equivarrebbe a scrivere \( f(0 \cdot v) = 0 \cdot f(v) = 0 \).

Inoltre non è vero il viceversa in questo caso, ovvero che se in una funzione viene inserito come “parametro di ingresso” il vettore nullo di uno spazio vettoriale, e questo porta ad ottenere il vettore nullo del secondo spazio vettoriale, non vuol dire che la funzione sia lineare.

Ad esempio considerando la funzione:

• \( f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \), \( f(x) = x^2 \)

Nonostante si ottenga il vettore nullo del secondo spazio vettoriale, non viene verificata la proprietà di omogeneità in quanto:

\( f(kx) = (kx)^2 = k^2x^2 \neq kf(x) = kx^2 \)

Non è rispettata nemmeno la proprietà di additività:

\( f(x + y) = (x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy \neq f(x) + f(y) = x^2 + y^2 \)

Tipi di applicazione lineare

Inoltre esistono due particolari tipi di applicazione lineare:

• L’applicazione nulla: \( 0 : V \rightarrow V \), \( 0(v) = 0 \) è lineare.
• L’applicazione identica: \( I : V \rightarrow V \), \( I(v) = v \) è lineare.

L’applicazione identica può essere indicata in vari modi (\( I_v \), \( Id_v \), \( id_v \), \( 1_v \)).

Composizione di applicazioni lineari

Infine la composizione di applicazioni lineari, è lineare a sua volta: considerando \( f : V \rightarrow U \) e \( g : U \rightarrow W \) funzioni lineari. Anche \( g(f(x)) : V \rightarrow W \) è lineare.

N.B: La composizione di due funzioni si può scrivere anche come: \( g \circ f \), e quindi si avrebbe: \( g \circ f : V \rightarrow W \).

Lo spazio Hom(V, W)

Prendendo in considerazione due spazi vettoriali V e W, l'insieme delle applicazioni lineari che vanno da V a W è anch'esso uno spazio vettoriale.

\( \text{Hom}(V, W) = \{ f : V \rightarrow W \mid f \text{ lineare} \} \)

Infatti andando a considerare due applicazioni lineari F e G appare