Operazioni tra sottospazi - Algebra e geometria lineare

Operazioni tra sottospazi

Tosetti Luca 09/10/2020

Esistono diverse operazioni effettuabili tra i sottospazi:

Intersezione

Intersezione: U ∩ W. U e W sono sottospazi di V, e quindi sono spazi vettoriali a loro volta.

Per dimostrare che anche U ∩ W è anch’esso un sottospazio di V occorre dimostrare per ogni V₁, V₂ appartenenti a U ∩ W si ha che V₁ + V₂ ∈ U ∩ W e che per ogni K, scalare, ∈ R, si ha che K V₁ e K V₂ ∈ U ∩ W.

Questo porta a dire che sia V₁ che V₂ appartengono sia a W, che a U.

Considerando ad esempio come sottospazi vettoriali due piani, la loro intersezione consisterà nello spazio vettoriale della retta nata dall’intersezione tra quei due spazi.

Retta intersezione 2 piani. N.B: Per essere sottospazi devono necessariamente passare per l’origine.

Unione

Unione: l’unione di due sottospazi non è in generale un sottospazio.

R². U ∪ W non è un sottospazio vettoriale, poiché è sì chiuso rispetto al prodotto scalare. Il prodotto di uno scalare per un vettore appartenente ad U ∪ W dà come risultato un altro vettore dell’insieme U ∪ W, ma non lo è rispetto alla somma di vettori.

1 Tosetti Luca 09/10/2020 Operazioni tra sottospazi

Somma

Somma: per poter operare con l’unione tra spazi vettoriali, occorre considerare il più piccolo spazio vettoriale che contenga come sottoinsieme U ∪ W. Tale spazio vettoriale è costituito dalla somma dei due sottospazi U e W.

U, W sottospazi di V.

U + W = { U + W | U ∈ U, W ∈ W } → Span { U ∪ W }

U ∪ W ⊆ U + W. U ⊆ U + W. W ⊆ U + W.

Sottospazio. Sottoinsieme e sottospazio. Non sottospazio.

U + W = R² → più piccolo sottospazio che contiene U e W.

Inoltre quando si vanno a sommare due sottospazi lo span, ovvero il sistema di generatori dello spazio vettoriale risultante dalla somma, è dato dall’unione delle due basi dei due sottospazi sommati.

U + W = Span { B_u ∪ B_w }

Tuttavia, in generale l’unione delle basi non costituisce un’altra base. Infatti:

Dim(U + W) ≤ DimU + DimW.

Infatti la dimensione del sottospazio, ovvero il numero di elementi che costituiscono la base, di una somma di sottospazi, è data dalla formula di Grassmann: dim U + dim W = dim (U + W) + dim (U ∩ W).

Andando ad esempio a considerare due piani come sottospazi vettoriali U e W. W (1 0) (0 1) y = 0, B_U = U