Basi di spazi e sottospazi, Teorema del completamento - Algebra e geometria lineare

Dipendenza e indipendenza

Tosetti Luca 08/10/2020 Dipendenza e indipendenza

Fissati v1, ……, vk vettori di V.

Per ottenere il vettore nullo di tale spazio vettoriale, ovvero la combinazione lineare banale, occorre avere tutti i coefficienti della combinazione lineare pari a 0.

0 v1 + …. + 0 vk = 0⃗

A questo punto possiamo andare a definire il significato di dipendenza e indipendenza.

Un insieme di vettori sono linearmente dipendenti, se e solo se esistono altre combinazioni lineari, diverse da quella banale, ovvero con tutti i coefficienti pari a 0, che permettono di ottenere il vettore nullo. In caso contrario i vettori sono linearmente indipendenti.

Esempio di indipendenza lineare

i = (1, 0, 0) j = (0, 1, 0)

α(1, 0, 0) + β(0, 1, 0) = (0, 0, 0)

(α, 0, 0) + (0, β, 0) = (0, 0, 0)

(α, β, 0) = (0, 0, 0)

α = 0

L’unica combinazione lineare che dà come risultato il vettore nullo è quella banale.

β = 0

Questo porta quindi a definire i due vettori come 0 = 0 linearmente indipendenti.

Osservazioni fondamentali

Riguardo al concetto di dipendenza e indipendenza vi sono alcune osservazioni fondamentali:

• I vettori v1, ……, vk sono linearmente dipendenti se e solo se almeno uno di questi si scrive come combinazione lineare degli altri.
• Se uno dei vettori v1, …, vk è nullo, allora questi sono linearmente dipendenti.

V⃗1, V⃗2, V⃗3, …. , 0⃗, Vk

V1 * 0⃗ + V2 * 0 + V3 * 0 + …. + Vk * 0 = 0⃗

Combinazione lineare non banale perché non tutti i coefficienti sono = 0.

• Se i vettori v1, ……, vk sono linearmente dipendenti, allora v1, ……, vk, vk + 1 sono linearmente dipendenti. Allungando un insieme di vettori linearmente dipendenti questi rimangono dipendenti ma non è detto il contrario.
• Se invece i vettori v1, ……, vk, vk + 1 sono linearmente indipendenti, allora i vettori v1, ……, vk sono linearmente indipendenti. Accorciando un insieme di vettori linearmente indipendenti, questi rimangono indipendenti, ma non è detto il contrario.

V⃗1 α1 + V⃗2 α2 + …. + V⃗k αk = 0⃗ con α1 ≠ 0

Allora V⃗1 α1 + V⃗2 α2 + …. + V⃗k αk + V⃗k+1 0 = 0⃗ con α1 ≠ 0

Tosetti Luca 08/10/2020 Dipendenza e indipendenza

0⃗ 0

Dipendenza e indipendenza – Base – Coordinate

Tosetti Luca 08/10/2020 Dipendenza e indipendenza – Base – Coordinate

Due vettori non nulli sono linearmente