I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni e lo studio autonomo di eventuali testi di riferimento in preparazioneall’esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell’università attribuibile al docente del corso o al relatore
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Appunti di Algebra

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Equazioni differenziali Premium

Esame Equazioni differenziali

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. M. Pera

Università Università degli Studi di Firenze

Appunti esame
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Appunti dettagliati del corso di Equazioni differenziali svolto dalla professoressa Maria Patrizia Pera nell'anno accademico 2023 - 2024. Tutti gli argomenti trattati in aula sono stati riportati in maniera precisa.
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Spazi vettoriali associati ad una matrice Premium

Esame Algebra lineare

Facoltà Ingegneria dell'informazione

Dal corso del Prof. L. Solano

Università Università degli Studi di Roma La Sapienza

Appunti esame
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Appunti di Algebra lineare. [cite_start]Questo documento introduce i concetti di spazi vettoriali associati a una matrice $M(n \times m)$[cite: 146, 148]. * [cite_start]Lo spazio nullo $N(M)$ è il sottospazio di $R^m$ formato dalle soluzioni di $M\underline{x}=\underline{0}$[cite: 147, 149, 150]. * [cite_start]Lo spazio delle colonne $C(M)$ è il sottospazio di $R^n$ generato dalle colonne di $M$[cite: 151]. * [cite_start]Lo spazio delle righe $R(M)$ è il sottospazio di $R^m$ generato dalle righe di $M$[cite: 152, 153]. [cite_start]Le relazioni tra le dimensioni dei sottospazi sono date da $dim~N(M) = m - dim~C(M)$[cite: 155]. [cite_start]L'eliminazione di Gauss per ottenere una matrice a scala $S$ associata a $M$ non cambia $N(M)$ o $R(M)$[cite: 163, 164, 165]. [cite_start]Le righe non nulle di $S$ formano una base per $R(M)$[cite: 165, 166]. [cite_start]Sebbene $C(M)$ possa cambiare, la sua dimensione rimane la stessa, e le relazioni di dipendenza lineare tra le colonne si mantengono[cite: 167]. [cite_start]Le colonne di $M$ corrispondenti alle colonne di $S$ con elementi pivot formano una base per $C(M)$[cite: 170, 171]. [cite_start]Viene presentato un esercizio per determinare una base per uno spazio vettoriale $V$ con $dimV=n$ a partire da un insieme di $m$ generatori non nulli $(m \ge n)$[cite: 173, 174]. Vengono forniti quattro vettori $v_1, v_2, v_3, v_4$ e si chiede di: [cite_start]a) Stabilire se $v_1, v_2, v_3, v_4$ sono generatori di $R^4$ e se ne costituiscono una base[cite: 177]. [cite_start]b) Determinare una base di $V$, lo spazio vettoriale generato da questi vettori, e la dimensione di $V$[cite: 179]. [cite_start]c) Determinare le coordinate di $v_1, v_2, v_3, v_4$ rispetto alla base determinata[cite: 180]. [cite_start]Per il punto (a), si verifica la dipendenza lineare tramite la matrice $M$ formata dalle colonne dei vettori e la si riduce a scala usando l'eliminazione di Gauss[cite: 187, 188, 189]. [cite_start]Le operazioni consentite includono lo scambio di righe, la moltiplicazione di una riga per uno scalare non nullo, e la somma di una riga con un multiplo scalare di un'altra riga[cite: 197, 198, 199]. [cite_start]Se ci sono righe nulle nella matrice a scala, i vettori sono linearmente dipendenti[cite: 220, 221]. [cite_start]Nel caso dato, la matrice a scala ha una riga nulla, indicando che i vettori $v_1, v_2, v_3, v_4$ sono linearmente dipendenti e quindi non formano una base di $R^4$[cite: 220, 221, 230]. [cite_start]Per il punto (b), la base di $V$ è costituita dai vettori linearmente indipendenti tra i generatori[cite: 233, 234]. [cite_start]Dal passo (a), i vettori $v_1, v_2, v_4$ sono linearmente indipendenti e formano una base per $V$, quindi $dimV=3$[cite: 236, 238]. [cite_start]Per il punto (c), si esprime ogni vettore come combinazione lineare della base determinata, trovando i coefficienti che rappresentano le coordinate[cite: 240]. [cite_start]Ad esempio, per $v_1, v_2, v_4$ rispetto a se stessi, le coordinate sono $(1;0;0)^T$, $(0;1;0)^T$, $(0;0;1)^T$ rispettivamente[cite: 242, 243, 244, 246, 248, 249]. [cite_start]Per $v_3$, si imposta un sistema lineare e si risolve per trovare le coordinate $(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_4)$, risultando in $(2;-1;0)^T$[cite: 245, 251, 252].
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Generatori e basi di uno spazio vettoriale Premium

Esame Algebra lineare

Facoltà Ingegneria dell'informazione

Dal corso del Prof. F. Scialpi

Università Università degli Studi di Roma La Sapienza

Appunti esame
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Appunti di Algebra lineare. [cite_start]Un insieme $S = \{x_1, x_2, ..., x_n\}$ è un insieme di generatori per uno spazio vettoriale $V$ se ogni vettore $y \in V$ può essere espresso come combinazione lineare degli elementi di $S$[cite: 4, 5, 6, 8]. [cite_start]Ovvero, $y = a_1x_1 + a_2x_2 + \dots + a_nx_n$, dove $a_i \in R$[cite: 9, 10]. [cite_start]Una base di uno spazio vettoriale $V$ è un insieme di generatori di $V$ che sono anche linearmente indipendenti[cite: 11]. [cite_start]Ogni spazio vettoriale ha una base[cite: 12]. [cite_start]Lo spazio vettoriale nullo $V = \{\underline{0}\}$ ha come base l'insieme vuoto $\phi$[cite: 14, 15]. [cite_start]Una base $B \subset V$ è tale se ogni vettore di $V$ può essere espresso in modo unico come combinazione lineare degli elementi di $B$[cite: 16]. [cite_start]La base canonica di $R^n$ è l'insieme $\{e_1, e_2, ..., e_n\}$, dove $e_i$ sono vettori con un 1 nella i-esima posizione e 0 altrove[cite: 17, 18, 19, 21]. [cite_start]Questi sono generatori e sono linearmente indipendenti[cite: 22]. [cite_start]La dimensione di uno spazio vettoriale $V$, indicata come Dim $V$, è il numero di elementi di una sua base[cite: 24, 25]. [cite_start]Tutte le basi di uno spazio vettoriale hanno lo stesso numero di elementi[cite: 26, 28]. [cite_start]Ad esempio, Dim $R^n = n$[cite: 29, 30]. [cite_start]Dim $\{\underline{0}\} = 0$[cite: 32]. [cite_start]Per costruire una base da un insieme di generatori $S = \{x_1, x_2, x_3\}$ per $R^2$, si verifica la dipendenza lineare[cite: 39, 44]. [cite_start]Se i vettori sono linearmente dipendenti, come nel caso di $x_1, x_2, x_3$ in $R^2$ [cite: 66][cite_start], si può esprimere uno dei vettori come combinazione lineare degli altri (es. $x_1 = -3x_2 - 2x_3$)[cite: 73, 77]. [cite_start]Rimuovendo questo vettore, il sottoinsieme risultante (es. $T = \{x_2, x_3\}$) è ancora un insieme di generatori[cite: 78, 80, 82]. [cite_start]Se i vettori rimanenti sono linearmente indipendenti, formano una base[cite: 85, 87, 88]. [cite_start]Poiché Dim $R^2 = 2$, un insieme di 2 vettori linearmente indipendenti è una base[cite: 89, 91, 94]. [cite_start]Per costruire una base a partire da vettori linearmente indipendenti, come in $R^3$ [cite: 101][cite_start], si inizia con un vettore non nullo $x_1$[cite: 102, 104]. [cite_start]Si calcola il sottospazio $W_1$ generato da $x_1$[cite: 105, 106]. [cite_start]Si sceglie un secondo vettore $x_2$ non proporzionale a $x_1$ (quindi $x_2 \notin W_1$ e linearmente indipendente da $x_1$)[cite: 108, 109, 110, 111, 113]. [cite_start]Si continua il procedimento finché non si trova una base con il numero corretto di vettori (es. 3 per $R^3$)[cite: 115]. [cite_start]Si calcola il sottospazio $W_2$ generato da $x_1$ e $x_2$[cite: 116, 117]. [cite_start]Si può esprimere $W_2$ in forma parametrica e poi cartesiana[cite: 118, 119, 124, 125, 131, 134]. [cite_start]Si sceglie un terzo vettore $x_3$ tale che le sue componenti non soddisfino l'equazione cartesiana di $W_2$, assicurando che $x_3 \notin W_2$ e sia linearmente indipendente da $x_1$ e $x_2$[cite: 127, 128, 135, 136, 138, 139, 140]. [cite_start]Poiché Dim $R^3 = 3$, i tre vettori $x_1, x_2, x_3$ linearmente indipendenti formano una base[cite: 141, 142, 144, 145].
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Risposta a domande poste durante la prova orale di Algebra lineare Premium

Esame Algebra lineare

Facoltà Scienze statistiche

Dal corso del Prof. G. Rotundo

Università Università degli Studi di Roma La Sapienza

Domande aperte
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Il documento raccoglie una selezione di domande poste dalla prof.ssa Rotundo durante l’esame orale di Algebra lineare. Per ciascuna domanda è fornita una risposta strutturata in modo da rispecchiare il tipo di ragionamento e livello di approfondimento richiesto durante l’esame, con l’obiettivo di offrire uno strumento utile alla preparazione orale.
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Esercizi svolti di Algebra lineare e geometria analitica Premium

Esame Algebra lineare e geometria analitica

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. F. Zullo

Università Università degli studi della Campania "Luigi Vanvitelli"

Formulari
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Gli esercizi di Algebra lineare e geometria analitica fatti dal professore in aula coprono tutto il programma e sono simili a quelli dell’esame scritto, aiutando a consolidare le nozioni trattate e a prepararsi in modo mirato per la prova finale.
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Formulario Algebra lineare e geometria analitica Premium

Esame Algebra lineare e geometria analitica

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. F. Zullo

Università Università degli studi della Campania "Luigi Vanvitelli"

Formulari
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Formulario di Algebra lineare e geometria analitica con le principali formule, suddivise per argomento, che possono aiutare a svolgere gli esercizi dati dal professore. Le formule sono sia per Geometria nello spazio che nel piano.
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Appunti di Algebra e geometria analitica Premium

Esame Algebra lineare e geometria analitica

Facoltà Ingegneria dei sistemi

Dal corso del Prof. E. Schlesinger

Università Politecnico di Milano

Appunti esame
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Appunti completi per il corso di Algebra e geometria lineare del prof Enrico, perfetti per la preparazione all'esame e con esempio di esercizi. Per la preparazione all'esame questi appunti sono perfetti.
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Preparazione Seconda prova intercorso di Algebra lineare e geometria analitica Premium

Esame Algebra lineare e geometria analitica

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. F. Zullo

Università Università degli studi della Campania "Luigi Vanvitelli"

Appunti esame
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Preparazione Seconda prova intercorso di Algebra lineare e geometria analitica per il professore Ferdinando Zullo, Università Degli Studi Luigi Vanvitelli. Spazio vettoriale, spazio euclideo, piano euclideo, diagonalizzazione. File contenenti esempi.
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Preparazione Prima Prova Intercorso Premium

Esame Algebra lineare e geometria analitica

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. F. Zullo

Università Università degli studi della Campania "Luigi Vanvitelli"

Appunti esame
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Preparazione prima prova intercorso con il professore Ferdinando Zullo. Appunti di Analisi matematica 1 riguardanti le matrici: dalle basi fino ai sistemi parametrici. File contenente esempi, corretti. Approvato.
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Algebra lineare e geometria analitica Premium

Esame Algebra lineare e geometria analitica

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. F. Zullo

Università Università degli studi della Campania "Luigi Vanvitelli"

Appunti esame
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Appunti di Algebra lineare e geometria analitica del Professore Zullo. A.A.2024/2025. Comprese tutte le lezioni e spiegazioni, come spiega il prof. Zullo. Appunti utili per gli esami orali del professore Zullo.
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Algebra lineare e geometria analitica Premium

Esame Algebra lineare e geometria analitica

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. F. Zullo

Università Università degli studi della Campania "Luigi Vanvitelli"

Appunti esame
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Appunti di Algebra lineare e geometria analitica per l'esame del professore Ferdinando Zullo, in particolare modo nel piano E2 e nel piano E3. Mutua posizione delle rette, rette parametriche, proiezioni ortogonali di un punto su una retta.
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Brevi appunti e schemi di Algebra lineare su determinanti di matrici e geometria piana Premium

Esame Algebra lineare

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. F. Spaggiari

Università Università degli Studi di Modena e Reggio Emilia

Schemi e mappe concettuali
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Brevi appunti e schemi di Algebra lineare su determinanti di matrici e geometria piana realizzati per essere il più schematici e comprensibili. Non comprende tutto il programma del corso di studi ma solo le parti specificate sopra.
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Algebra lineare e geometria analitica - Appunti Premium

Esame Algebra lineare e geometria analitica

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. F. Zullo

Università Università degli studi della Campania "Luigi Vanvitelli"

Appunti esame
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Svolgimento della prova scritta dell’esame di Algebra lineare e geometria analitica: esercizio numero sette, svolgimento tramite la ricerca dei valori di lampda con i tre casi trovati e il corrispettivo sistema calcolato ove possibile.
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Algebra lineare e geometria analitica - Esercizi Premium

Esame Algebra lineare e geometria analitica

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. F. Zullo

Università Università degli studi della Campania "Luigi Vanvitelli"

Prove svolte
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Svolgimento delle prove d’esame di Algebra lineare e geometria analitica del professore Ferdinando Zullo nell’anno 2022, 2023: prove del 26 giugno, 6 luglio, 15 luglio. Sistemi lineari, autovalori ed autovettori e risoluzione tramite lambda con metodo di Kramer.
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Algebra lineare Premium

Esame Algebra lineare

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. S. Costa

Università Università degli Studi di Brescia

Schemi e mappe concettuali
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Appunti di Algebra lineare: teoremi e definizioni di algebra lineare integrati con gli appunti delle spiegazioni prese a lezioni. Utile per un esame orale o scritto di teoria, non per la risoluzione di esercizi.
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Definizioni Algebra lineare Premium

Esame Algebra lineare

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. G. Perlstain

Università Università degli Studi di Pisa

Appunti esame
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Formulario contenete tutte le definizione affrontate durante il corso di Algebra lineare della facoltà di ingegneria informatica presso unipi nell'anno accademico 2023-2024 col professore Gregory Perlstain.
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Algebra lineare Premium

Esame Algebra lineare

Facoltà Scienze statistiche

Dal corso del Prof. F. Matucci

Università Università degli Studi di Milano - Bicocca

Appunti esame
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Appunti riassuntivi di Algebra lineare con spiegati i principali concetti di algebra lineare: - Rango di una matrice e teorema orlati - matrice inversa - determinante - dipendenza lineare - span - come trovare una base - applicazioni lineari - il nucleo - matrice associata - autovettori e autovalori - matrici simili - vettori ortogonali - numeri complessi - alcuni esempi
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Risposte parziale Fondamenti di algebra lineare e geometria Premium

Esame Fondamenti di algebra lineare e geometria

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. V. Casarino

Università Università degli Studi di Padova

Appunti esame
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Risposte della parte teorica del parziale di Fondamenti di algebra lineare e geometria tenuta dalla prof. Casarino. Definizioni e dimostrazioni complete utili per l’apprendimento e il superamento del parziale.
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Risposte di Fondamenti di algebra lineare e geometria Premium

Esame Fondamenti di algebra lineare e geometria

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. V. Casarino

Università Università degli Studi di Padova

Appunti esame
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Risposte alle domande di teoria di Fondamenti di algebra lineare e geometria per l’esame. Dimostrazioni e definizioni complete che capitano più spesso durante le prove. Basate sulle lezioni della professoressa Casarino.
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Formulario Algebra lineare Premium

Esame Algebra lineare

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. M. Franciosi

Università Università degli Studi di Pisa

Schemi e mappe concettuali
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Formulario utile per affrontare l’esame di Algebra lineare con esempi, formule e micro spiegazioni su matrici, numeri immaginari, spazi vettoriali. Utile per ottimizzare i tempi durante l’esame in cui si può portare formulario e appunti
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