Generatori e basi di uno spazio vettoriale

Appunti di Algebra lineare.
[cite_start]Un insieme $S = \{x_1, x_2, ..., x_n\}$ è un insieme di generatori per uno spazio vettoriale $V$ se ogni vettore $y \in V$ può essere espresso come combinazione lineare degli elementi di $S$[cite: 4, 5, 6, 8]. [cite_start]Ovvero, $y = a_1x_1 + a_2x_2 + \dots + a_nx_n$, dove $a_i \in R$[cite: 9, 10]. [cite_start]Una base di uno spazio vettoriale $V$ è un insieme di generatori di $V$ che sono anche linearmente indipendenti[cite: 11]. [cite_start]Ogni spazio vettoriale ha una base[cite: 12]. [cite_start]Lo spazio vettoriale nullo $V = \{\underline{0}\}$ ha come base l'insieme vuoto $\phi$[cite: 14, 15].

[cite_start]Una base $B \subset V$ è tale se ogni vettore di $V$ può essere espresso in modo unico come combinazione lineare degli elementi di $B$[cite: 16]. [cite_start]La base canonica di $R^n$ è l'insieme $\{e_1, e_2, ..., e_n\}$, dove $e_i$ sono vettori con un 1 nella i-esima posizione e 0 altrove[cite: 17, 18, 19, 21]. [cite_start]Questi sono generatori e sono linearmente indipendenti[cite: 22].

[cite_start]La dimensione di uno spazio vettoriale $V$, indicata come Dim $V$, è il numero di elementi di una sua base[cite: 24, 25]. [cite_start]Tutte le basi di uno spazio vettoriale hanno lo stesso numero di elementi[cite: 26, 28]. [cite_start]Ad esempio, Dim $R^n = n$[cite: 29, 30]. [cite_start]Dim $\{\underline{0}\} = 0$[cite: 32].

[cite_start]Per costruire una base da un insieme di generatori $S = \{x_1, x_2, x_3\}$ per $R^2$, si verifica la dipendenza lineare[cite: 39, 44]. [cite_start]Se i vettori sono linearmente dipendenti, come nel caso di $x_1, x_2, x_3$ in $R^2$ [cite: 66][cite_start], si può esprimere uno dei vettori come combinazione lineare degli altri (es. $x_1 = -3x_2 - 2x_3$)[cite: 73, 77]. [cite_start]Rimuovendo questo vettore, il sottoinsieme risultante (es. $T = \{x_2, x_3\}$) è ancora un insieme di generatori[cite: 78, 80, 82]. [cite_start]Se i vettori rimanenti sono linearmente indipendenti, formano una base[cite: 85, 87, 88]. [cite_start]Poiché Dim $R^2 = 2$, un insieme di 2 vettori linearmente indipendenti è una base[cite: 89, 91, 94].

[cite_start]Per costruire una base a partire da vettori linearmente indipendenti, come in $R^3$ [cite: 101][cite_start], si inizia con un vettore non nullo $x_1$[cite: 102, 104]. [cite_start]Si calcola il sottospazio $W_1$ generato da $x_1$[cite: 105, 106]. [cite_start]Si sceglie un secondo vettore $x_2$ non proporzionale a $x_1$ (quindi $x_2 \notin W_1$ e linearmente indipendente da $x_1$)[cite: 108, 109, 110, 111, 113]. [cite_start]Si continua il procedimento finché non si trova una base con il numero corretto di vettori (es. 3 per $R^3$)[cite: 115]. [cite_start]Si calcola il sottospazio $W_2$ generato da $x_1$ e $x_2$[cite: 116, 117]. [cite_start]Si può esprimere $W_2$ in forma parametrica e poi cartesiana[cite: 118, 119, 124, 125, 131, 134]. [cite_start]Si sceglie un terzo vettore $x_3$ tale che le sue componenti non soddisfino l'equazione cartesiana di $W_2$, assicurando che $x_3 \notin W_2$ e sia linearmente indipendente da $x_1$ e $x_2$[cite: 127, 128, 135, 136, 138, 139, 140]. [cite_start]Poiché Dim $R^3 = 3$, i tre vettori $x_1, x_2, x_3$ linearmente indipendenti formano una base[cite: 141, 142, 144, 145].