Risposte parziale Fondamenti di algebra lineare e geometria

Date A, B , diremo che A è simile a B se esiste una matrice C invertibile, tale che

La relazione ~ nell’insieme M , definita ponendo A~B nel caso in cui A è simile a B si chiama similitudine.

12. Definire la nozione di spazio vettoriale, richiamando solo alcuni degli assiomi, a scelta.

Uno spazio vettoriale costruito su K è una qualsiasi quaterna (V,K,+,w) dove:

1) V è un insieme non vuoto i cui elementi si dicono vettori

2) K è un campo i cui elementi si dicono scalari

3) + è un’operazione (somma di vettori) che a due vettori v e w associa un terzo vettore v+w

4) W è un’operazione (prodotto esterno) che ad uno scalare h e ad un vettore v associa un vettore hv

5) si distingue un vettore 0 detto vettore nullo e per ogni vettore v esiste un vettore opposto -v

6) sono valide tutte le proprietà algebriche

13. Definire lo spazio vettoriale dei vettori geometrici.

Lo spazio vettoriale dei vettori geometrici ha come insieme di vettori V l’insieme V dei vettori geometrici. La somma di vettori geometrici viene definita

secondo la cosiddetta regola del parallelogramma. Presi due vettori v e w e un punto qualsiasi P, esistono, e sono univocamente determinati, due punti

Q e R tali che v = PQ e w = PR. Allora si pone v + w = PS, dove S è scelto in modo che PQSR sia un parallelogramma. Con riferimento alla somma

testé definita, l’elemento neutro è il vettore nullo 0 = PP; l’opposto di v=PQ è -v=QP.

Nello spazio vettoriale che stiamo definendo, il campo K è R. Il prodotto esterno hv si definisce come segue: se h = 0 o v = 0, allora hv = 0;

altrimenti, rappresentando v = PQ, si pone hv = PR, dove il segmento PR ha la lunghezza |h| rispetto a PQ preso come unità di misura; il punto R si

prende sulla retta per P e Q e, tra le due scelte possibili, R si prende sulla stessa parte di Q rispetto a P se h > 0, dalla parte opposta se h < 0.

14. Definire la nozione di sottospazio di uno spazio vettoriale

Un sottospazio di uno spazio vettoriale V è un insieme W V soddisfacente le seguenti proprietà:

(i) 0 W

(ii) . (Si dice che W è “chiuso” rispetto alle operazioni di spazio vettoriale).

15. Definire la nozione di somma di due sottospazi di uno spazio vettoriale.

16. Definire la nozione di somma diretta di due sottospazi di uno spazio vettoriale.

Siano W e W due sottospazi di uno spazio vettoriale V . Se ogni vettore in W +W si esprime in un unico modo come somma di un elemento di W e

uno di W , allora W + W si dice somma diretta e si denota con W + W .

È diretta se e solo se W W ={0}

17. Definire la nozione di famiglia (finita, non vuota) di vettori linearmente dipendente.

Data una famiglia di vettori F = v , v , ... , v (finita, non vuota) in uno spazio vettoriale VK, la famiglia F si dice linearmente dipendente se esistono scalari

x , x , ... , x , non tutti nulli, tali che x v +x v +...+x v =0.

18. Definire la nozione di sottospazio generato da una famiglia (finita, non vuota) di vettori.

Sia F=v , v , … ,v (r>0) una famiglia di vettori in uno spazio vettoriale V . Il sottospazio generato da F è

F ={x v + x v + … + x v | x , x , … , x K}

19. Definire la nozione di base di uno spazio vettoriale.

Una base di uno spazio vettoriale V è una famiglia di generatori di V , linearmente indipendente.

20. Definire le coordinate di un vettore rispetto ad una base finita di uno spazio vettoriale.

Se u e B = v , v , . . . , v sono rispettivamente un vettore e una base di uno spazio vettoriale V , gli scalari x , x , . . . , x soddisfacenti

u=x v + x v + …+ x v

univocamente determinati, prendono il nome di coordinate del vettore u rispetto alla base B.

21. Enunciare la formula di Grassmann.

Se W e W sono sottospazi si dimensione finita di uno spazio vettoriale V allora

dim(W + W ) + dim(W W ) = dim W + dim W

22. Definire la nozione di funzione lineare.

Siano V e W spazi vettoriali costruiti sul medesimo campo K. Una funzione L : V W si dice funzione lineare se

23. Definire la nozione di nucleo di una funzione lineare.

Il nucleo di una funzione lineare L : V W è ker L={v V | L(v)=0w}

24. Definire la matrice associata a una funzione lineare tra due spazi vettoriali di dimensione finita, rispetto a basi date per il

dominio e per il codominio. A=A =(Y |Y |…| Y ) M(m x n, K)

(riformulata Y = A X , v V)

25. Date una funzione lineare L : V W, una base B per il dominio, una B′ per il codominio e un vettore v V , descrivere

→ ∈

con una formula la relazione esistente tra le colonne delle coordinate di v e di L(v).

26. Definire la matrice di cambiamento di coordinate in uno spazio vettoriale di dimensione finita.

l'equazione

Considero la matrice

L’equazione Yv esprime la relazione tra le colonne delle coordinate di un medesimo vettore v rispetto a due basi B e B di V . Perciò la matrice si chiama

matrice di cambiamento di coordinate

27. Descrivere, per mezzo di una formula, la relazione esistente tra le due n-ple delle coordinate di un vettore in uno spazio

vettoriale n-dimensionale, rispetto a due basi di VK.

28. Definire la nozione di rango di una matrice.

Il rango di una matrice A M(m n, K ) è la dimensione del sottospazio di K generato dalle colonne di A.

⇥

29. Date due matrici A e B, delle quali si possa fare il prodotto, enunciare una relazione tra il rango di A, di B e di AB, sia nel

caso generale, sia nel caso in cui B sia una matrice quadrata invertibile.

(i) Se si può fare il prodotto delle matrici A è B, allora

(ii) Se A è una matrice m x n, B è invertibile d’ordine m e C è invertibile d’ordine n, allora

30. Definire la forma canonica speciale di una matrice A.

Una matrice A è in forma canonica speciale se è a scala e inoltre valgono le seguenti condizioni:

(i) tutti i pivot valgono 1;

(ii) sopra ogni pivot ci sono soltanto zeri.

Dimostrazioni

1. Dimostrare che se A e B sono due matrici quadrate d’ordine n, invertibili, con elementi in un campo K, allora anche AB `e

invertibile e (AB)−1 = B−1A−1.

Poniamo X = B A e calcoliamo:

(AB)X = A(BB )A = AIn A = A A = In,

X(AB) = B (A A)B = B InB = B B = In.

Resta dimostrato che AB è invertibile e X è la sua inversa.

2. Dimostrare l’esistenza degli elementi neutri per le due operazioni nel campo complesso, nonché l’esistenza di un

opposto di ogni elemento e di un inverso per ogni elemento non nullo.

Cerchiamo gli elementi neutri:

-somma cerchiamo (c,d) C tale che (a,b) C valga (a,b)+(c,d)=(a,b).

Chiaramente ciò si ottiene con (c,d)=(0,0).

-prodotto cerchiamo (c ,d ) C tale che (a,b) C valga (a,b) (c ,d )=(a,b)

Sfruttando la definizione di prodotto nel campo complesso: (ac’ – bd’, ad’ + bc’) = (a, b), si ottiene il risultato con c =1, d =0.

Cerchiamo l’opposto (c’’,d’’) C tale che (a,b) C valga (a,b)+(c’’,d’’)=(0,0).

Ciò si ottiene con (c’’,d’’)=(-a,-b).

Cerchiamo l’inverso:

Se ( ) C, ( )=(0,0), esiste (x,y) C tale che ( ) (x,y)=(1,0):( x- y, y+ x)=(1,0)

Siccome ad-bc= =0, la matrice a sinistra è invertibile è il sistema ha soluzione unica:

L’inverso cercato è (x,y)=

3. Enunciare e dimostrare la formula per il calcolo delle radici n-esime di un numero complesso.

Dimostrazione: consideriamo l’equazione z = , dove , n e l’incognita z è complessa. Le soluzioni di tale equazione si chiamano radici

n-esime di . Esprimiamo e l’incognita z in forma esponenziale:

L’ultima è un’equazione in due incognite reali equivalente a:

L’equazione di partenza ha come soluzioni i numeri complessi di modulo e argomenti . Abbiamo

sostituito k=0,1,…,n-1. Gli altri valori di k danno luogo a ripetizioni degli stessi numeri complessi. Le soluzioni sono esattamente n.

4. Dimostrare, come conseguenza del Teorema Fondamentale dell’Algebra, che ogni polinomio di grado n > 0 a coefficienti

complessi si scompone nel prodotto di n polinomi di primo grado a coefficienti complessi.

Sia P(z) il polinomio in questione: per il teorema fondamentale dell’algebra esiste C tale che P( =0). Per il teorema di Ruffini esiste un

polinomio Q (z) di grado n-1 a coefficienti complessi tale che P(z)=(z- )Q (z).

Se n>1, si applica ancora il teorema fondamentale dell’algebra all’equazione Q (z)=0, da cui esiste C tale Q ( )=0, poi (Ruffini)

Q (z)=(z- )Q (z),

dove Q (z) ha grado n-2. Si prosegue in questo modo ottenendo altre n-2 equazioni analoghe a quelle appena trovate, delle quali l’ultima è

Q (z)=(z- )Q (z),

dove Q (z) è un polinomio di grado n-n=0, cioè Q (z)=c=0 costante. Combinando tutte le n equazioni si deduce

P(z)=(z- )(z- )…(z- )c.

5. Dimostrare che se un numero complesso α è radice di un polinomio P(z) a coefficienti reali, anche il coniugato di α è una

radice di P(z).

6. Dimostrare che se un polinomio P (z) a coefficienti reali di grado n > 0 non è divisibile per alcun polinomio di grado uno a

coefficienti reali, allora esso è divisibile per un polinomio di grado due, a coefficienti reali.

Sia P(z) un polinomio soddisfacente l’ipotesi di cui sopra. Per il Teorema fondamentale dell’Algebra, esiste C tale che P( ) = 0. Se fosse R,

per il teorema di Ruffini P(z) sarebbe divisibile per z , a coefficienti reali, e ciò non è. Quindi R.

Applicando il teorema di Ru

con Q(z) polinomio di grado n-1. Sostituiamo z= in tale equazione:

P( ) = ( )Q( ) da cui 0 = ( )Q( ). Siccome R, vale ; ne deduciamo Q( )=0. Riapplicando il teorema di Ruffini,

con R(z) di grado n-2. Combinando le due scomposizioni

Siccome il polinomio all’interno delle parentesi quadre è a coefficienti reali si ha la tesi.

7. Dimostrare che la relazione di similitudine è una relazione d’equivalenza nell’insieme delle matrici quadrate d’ordine n a

elementi in un campo K.

ArB

I) I è invertibile e I =I ; ponendo C=I , si ottiene C AC=I AI =A, da cui A~A per ogni A M(n n, K).

1

- -

In

In E X

4

n n -

-

II) Consideriamo A,B M(n x n, K) tali che A~B; cioè vale C AC=B e la moltiplichiamo per M =C a sinistra e per M a destra ponendo M=C 1

I

1 -

-

-

C

-

e otteniamo M"

M "

(1 In AIn=MBM=>

M" BrA

(A) BM

BM A

(M) da ori

=

= =

M(nxn AmB BrD

B D

Consideriamo che

tali

K)

E

A

Il cioè valgono

e

. , , ,

E"BE=D

C"AC=B e EBE=D

C"AC

Minxn

EE Sostituiamo

K) B=

dove invertibile

è a

.

,

E"C"ACE CEL"ACCEl=D

D =>

=

Wi AnD

da

8. Dimostrare che la somma di due sottospazi W1 e W2 di uno spazio vettoriale VK è il