Equazioni differenziali

OVUNQUE

[fering se f QUASI

nuca) po

insieme q

misura =

di L b))

(10

Per funzioni

2 differiscono UNA

dire PER

Questo prendono equivalent

si dicoro

si di se

: , #f)

SPAZIO RELAZIONE

OVUNQUE QUESTA EQUIVALENZA

IN

QUASI dI

FUNZIONE DIVENTA

QUESTO

NULA CON

,

(SelidtE

Ilflle

norrea

una =

.

Lo Banach

La ([ab]) è

spago spado

questo

reazione

Questa equivalenza indica

con di

con

di si ,

b]/c

of L'Ita

tr in

courage :

· ,

(Seat-felde)

Ilfa-fIl media

o quadranca

convergenza

= in

b])

(([0

b])

(la socia

Osservazione .

.

L'

Spazo b))

(10

,

f IR(in d)

Dam b] b]

[a [2 ponendo

Norma

integrabile associa

in

da :

in

una si

.

. SHflldt

If ~> SeMinorita

=

Anche de

proprietà equivalenza per

reagone

e

questo Quindi di

la introduce

caso c

si

non vale

in faq

fug

Quale po

se quali aunque

Lo b)

L (10 e

spazio Norma

viene indicato definita

cul ben

in l

,

SHAldt

Il flle =

Con Banach

è

la spazio

norma introdotta completo di

uno ,

(2 (10 b)) b)

c(1//a L

La più grande

Osservazione di

, ,

Prodotto scalare : UV

y)

(04) (X

Un V IR e

prodotto ad

In ogni

Scalare che

UNO Spazio e

funzione

su una

vetoriale ,

(commesso) PROPRIETA'

NUMERO

ASSOCIA XX reale

y)

Un DELE

che sode :

o

,

V

VX

G y)

< Xny) y)

Xn <

x2

Xa Si

y xxa

= +

+

A =

, ,

,

, 4)

(R(0a

2fx V xxx

y) y)

HA x(x

Ec

y = Si

= = ,

,

,

③ xeV x)20 a)

(x <X Se solo

Ha 0

= Se X =

si 0

= E

, , coringato

+V si

G fx complessi

frei

<X x)

y y) *>

<Y <

Ha y)

< y

= ,

=

<

, , ,

,

OSSERVAZIONE

La e e

prodoto che

d e è

che dalla

il lineare reale

se

scalare

Mi dicono

la

e so

,

SIMMERICO QUINDI BIUNEARE

E

Se è è Hilbert

spazio

completo di

spazio deto

uno prodotto

dotato di scalare

Ad può

prodotto una

scalare norma

si associare

ogni x)

xll

Il (xx

= ,

In norma

la

Questo compatibil

prodoto tra

sono

scarre coro

di

caso il

e

Se Banach

Hilbert

stazio è e

lo anche di

di

Se l'el c'e

oss prodoto viceversa

un non

ma

: vale

norma

scalare una ,

b)

La (lo conduttore

di

significare dissipato

potenza di

può

prodotto

DEFINIZIONE capi

> un

in

scalare ,

S

b f(t)g()dt =>

Se

fig f Hilbert

g)

=

= = di

= , Gradet

la dei

Spazio serie

piccolo -

È che m

Synymen

spazio

lo commessi

real o

dere successioni tan

=

Si Xn

può y)

<x

prodoto

definire ponendo

scalare , (e

Con Banach)

l'e Hilbert

è

cioe spazio

saltre commut

The prodotto uno anche di

di

,

Disuguagranza (lesa scarre

Carchy-Schwarz Norma e prodotto

di :

INRK (2

in

o

<xy))

( 11 x1)Ily)

= è prodoto

Minore Norme

prodotto

Modulo uguale

scalare

del del delle

NORMA EUCUDEA

IN (Ex(

li) =

DEFINIZIONI :

vettori

Due y)

Se

Ortogonal <X

sono =

· 0

,

e

S al Norma

un essere 1

hanno

tutt

Ortogonale

ortonormale oltre Elementi

i

sistema suoi

se

· .

In 12 la 1

e due

norma

di

in indipendenti

linearmente ortogonali

la e due

sistema

ortonormale vetori a

un a

base di

S i

1 se j

= Kronecker

Kei eja Simbolo di

=

, Sij

i + j

se

o

Fourier

Serie di

Una fir-Ir (Tao)

T f(x f(x) xeIR

T)

funzione periodic

dice periodo

si se

di =

+

T 2π

= meIN

Considero Lineari

Combinazioni funzioni

dele Periodiche

le seu

Cos ma E con

mx

=@ busumx) NeIN IR

bu

SN( (ancosmx e

rigonometric

Pourom am

do

con

+ ,

,

Se IR

successione somme

la puntualmente in

parzial converse

dele * su mx

b

· Concosmx +

flx) +

Avremo busumx) fax)

d serie fourier associata

di

ancosmx a

che = +

f(x) periodica

con : a (2(0 b)

in

integrabile ,

·

bu Fourier

Do Om sono coefficienti

i di

, ,

Serie e rappresentazione

forrier funzione

di Combinazione uneare

periodica tramite

una

=> di

di

: la trigonometriche

Funzioni SINUSODAl

T

Caso Particolare 2

= ORTONORMAL

Osservazioni fatte sistemi

Dere Sui

Tenendo

CALCOLO Coefficienti CONTO

Modo

In

I Questo

scacare)

(si prodoto :

fa

T T Con

S busumcom

20 fosmxdx

mxdx

fax) cosmacosmdx =

cos = +

1

n

- =

2 -

π

π

- - integrale è Zero

sono tutt

0

sew =

( L'integrale

per

supponendo prò

le Con

Condizioni scambiare

siamo serie

si la

cui

l

MANIERA ANALOGA

In :

"f(xsumxdx

S i bm

=

π

-

OTENGO :

ana de

cos me m 2

, ...

0 1

= ,

.

f(x)

ba dx m 1

= sem = 2

, ...

+ ,

Quando fede

8 = Per Moltiplo

la

far media integrale

Si e

sia

che

m = o I e

-

fad do

PER media

otengo la

DIVIDO e

2 integrale

fee) Am

(fli ba

è i

pari tri

se

Osservazione : =

= 0

· + On con

penso : 0

fex)

ffix

set Am

i

e am

dispari te =

· o

= , + be seum

penso :

Tao Test

Caso Generale : ,

Considero FOURIER

serie DI

⑳e cos (nuox) be (MW

+

= FREQUENZA

CON FONDAMENTALE

Wo

: = f(x) dx

an muox

cos 1

m 0 2

= ...

,

,

I

be farwod

= I

MANISSA :

Esempio

f(x) T

[x] DISPARI

1

=

x

= - ①

6 xdx

2

00 1

= =

O

baste e ed

si

lung

irsporta-1e[

non /" dx

marx

an cos e

2 x 1

= 2

, ...

= m = ,

O

2) "

bu xsumaxdx En

= 1

n

=

- 2

, ...

= ,

F(x -Su

=1 DI

SERIE FOURIER

f

Per È CONTINUA

NON

X =0 fo

fo

la converge 1

a

serie de

media e salto

+

= 2 En m]

ESEMPIO procNGAMENTO RESTRIZIONE

PERIODICO ,

f x2 T 2iT

= =

PARI

I

·

bn = o : d =

20

· (1)

an cosmxdx =

· +

f(x) = co

Generale

Metodo :

f(x) periodo

intervallo

,

· ,

pari dispari

o

· bu

Am

Ro

calcolare :

· , ,

SCRIVERE Serie

·

Convergenza Fourier

una di

serie

di (2

f

Sia fe (fim)

i)

: RIR Cioè

(

cui integrabile

Quadrato

una periodica

ci sia

funzione il ,

, S Sfalseumada

fllcosmada

è

Allora condizione

Questa integral

affinche

sufficiente qu

una e

T i

bu - -

Siano finit = an e Esistono

DIMOSTRAZIONE : I

S

F fe i

ma dx e cost definito

cosmx) scaltre

prodotto

es

= il

, Caucay-Schwarz

per di

disuguaglianza : casade

Sfex Find)

/ fe(2((

Il +)

parche

misura into

cos ma +,

-

T

-

Stessa l'altro

per

cosa integrale

Posso af

fourier

m-esima

scrivere parziale

serie somma

la serie associata

di

dela

, + com/count

SN( = 0

(Convergenza)

Teorema :

f IR-IR

Sia La((-i m)

una FUNZIONE Periodica

25 Appartenente

e

: a

- ,

= converse a f

busimm]

Snc) che

avora posto ancosm si a i ma

+ per

Quadratica Omero -d >o

Inacte Sfixd bi)

Ilflle ( + UGUAGUANZA

(0 PERSEVAL

DI

= = +

:

Corollario :

Se Fourier di f cioè

i

ha convergenza

si sono

coefficienti per

infinitesimi

la di ma o

, ,

le cosmx

i

him anx

:

DIMOSTRAZIONE numerica ab)

Poiche Perseval la

disuguagranza e

per amor

convergente

di serie

la , ,

by

far Di elbal

Gary

zero infinitesime

anche

successione . sono

tende conseguenza

a

+ Fourier

Una

di

Osservazione Convergenza di

serie

dela :

fel"((i ti) L' La

poche è

64 Integral restrittivo

anche

finiti

sono se ristero

meno a

, ,

Scosmald Il flex Le

E Hald Però saral Quadratica

convergenza

ci

in non

+

· 0

=

DEFINIZIONE funzione Regolare Tratt

A

Una f b]

IR

b]

[a [a [a

b]

si può

Regolare tran

funzione dice suddividere

se si

in

a

: --

, , ,

f

b

<X17 Au

Xm

IN Numero che

UN =

a

Intervall

Finito DI xo ....

Xi)

fe ce (Xi-e

intervallo

in ogni

in

· ,

f liv

livr

Finit

Esistono

e =

· +

Xi

X > 1

- -

Teorema (convergenza (

Fourier

Dimichlet puntuale

di serie

una di

condizione di Ha

f dif

er

Ir-Ir Fourier

Sia a

cit-periodica regolare trat

funzione serie di

una la

e

: .

f(x) flat salto

(media

puntualmente a

converge del

+

In 2 f(x)

particolare f è converge

Nel punti a

serie

continua

in la

cri

X

TEOREMA

Sia f IR-IR media

periodica ogni serie converse

sotointervall

zit monotona allora alla

in la

: , I

(Totale Fourier

convergenza di<