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OVUNQUE
[fering se f QUASI
nuca) po
insieme q
misura =
di L b))
(10
Per funzioni
2 differiscono UNA
dire PER
Questo prendono equivalent
si dicoro
si di se
: , #f)
SPAZIO RELAZIONE
OVUNQUE QUESTA EQUIVALENZA
IN
QUASI dI
FUNZIONE DIVENTA
QUESTO
NULA CON
,
(SelidtE
Ilflle
norrea
una =
.
Lo Banach
La ([ab]) è
spago spado
questo
reazione
Questa equivalenza indica
con di
con
di si ,
b]/c
of L'Ita
tr in
courage :
· ,
(Seat-felde)
Ilfa-fIl media
o quadranca
convergenza
= in
b])
(([0
b])
(la socia
Osservazione .
.
L'
Spazo b))
(10
,
f IR(in d)
Dam b] b]
[a [2 ponendo
Norma
integrabile associa
in
da :
in
una si
.
. SHflldt
If ~> SeMinorita
=
Anche de
proprietà equivalenza per
reagone
e
questo Quindi di
la introduce
caso c
si
non vale
in faq
fug
Quale po
se quali aunque
Lo b)
L (10 e
spazio Norma
viene indicato definita
cul ben
in l
,
SHAldt
Il flle =
Con Banach
è
la spazio
norma introdotta completo di
uno ,
(2 (10 b)) b)
c(1//a L
La più grande
Osservazione di
, ,
Prodotto scalare : UV
y)
(04) (X
Un V IR e
prodotto ad
In ogni
Scalare che
UNO Spazio e
funzione
su una
vetoriale ,
(commesso) PROPRIETA'
NUMERO
ASSOCIA XX reale
y)
Un DELE
che sode :
o
,
V
VX
G y)
< Xny) y)
Xn <
x2
Xa Si
y xxa
= +
+
A =
, ,
,
, 4)
(R(0a
2fx V xxx
y) y)
HA x(x
Ec
y = Si
= = ,
,
,
③ xeV x)20 a)
(x <X Se solo
Ha 0
= Se X =
si 0
= E
, , coringato
+V si
G fx complessi
frei
<X x)
y y) *>
<Y <
Ha y)
< y
= ,
=
<
, , ,
,
OSSERVAZIONE
La e e
prodoto che
d e è
che dalla
il lineare reale
se
scalare
Mi dicono
la
e so
,
SIMMERICO QUINDI BIUNEARE
E
Se è è Hilbert
spazio
completo di
spazio deto
uno prodotto
dotato di scalare
Ad può
prodotto una
scalare norma
si associare
ogni x)
xll
Il (xx
= ,
In norma
la
Questo compatibil
prodoto tra
sono
scarre coro
di
caso il
e
Se Banach
Hilbert
stazio è e
lo anche di
di
Se l'el c'e
oss prodoto viceversa
un non
ma
: vale
norma
scalare una ,
b)
La (lo conduttore
di
significare dissipato
potenza di
può
prodotto
DEFINIZIONE capi
> un
in
scalare ,
S
b f(t)g()dt =>
Se
fig f Hilbert
g)
=
= = di
= , Gradet
la dei
Spazio serie
piccolo -
È che m
Synymen
spazio
lo commessi
real o
dere successioni tan
=
Si Xn
può y)
<x
prodoto
definire ponendo
scalare , (e
Con Banach)
l'e Hilbert
è
cioe spazio
saltre commut
The prodotto uno anche di
di
,
Disuguagranza (lesa scarre
Carchy-Schwarz Norma e prodotto
di :
INRK (2
in
o
<xy))
( 11 x1)Ily)
= è prodoto
Minore Norme
prodotto
Modulo uguale
scalare
del del delle
NORMA EUCUDEA
IN (Ex(
li) =
DEFINIZIONI :
vettori
Due y)
Se
Ortogonal <X
sono =
· 0
,
e
S al Norma
un essere 1
hanno
tutt
Ortogonale
ortonormale oltre Elementi
i
sistema suoi
se
· .
In 12 la 1
e due
norma
di
in indipendenti
linearmente ortogonali
la e due
sistema
ortonormale vetori a
un a
base di
S i
1 se j
= Kronecker
Kei eja Simbolo di
=
, Sij
i + j
se
o
Fourier
Serie di
Una fir-Ir (Tao)
T f(x f(x) xeIR
T)
funzione periodic
dice periodo
si se
di =
+
T 2π
= meIN
Considero Lineari
Combinazioni funzioni
dele Periodiche
le seu
Cos ma E con
mx
=@ busumx) NeIN IR
bu
SN( (ancosmx e
rigonometric
Pourom am
do
con
+ ,
,
Se IR
successione somme
la puntualmente in
parzial converse
dele * su mx
b
· Concosmx +
flx) +
Avremo busumx) fax)
d serie fourier associata
di
ancosmx a
che = +
f(x) periodica
con : a (2(0 b)
in
integrabile ,
·
bu Fourier
Do Om sono coefficienti
i di
, ,
Serie e rappresentazione
forrier funzione
di Combinazione uneare
periodica tramite
una
=> di
di
: la trigonometriche
Funzioni SINUSODAl
T
Caso Particolare 2
= ORTONORMAL
Osservazioni fatte sistemi
Dere Sui
Tenendo
CALCOLO Coefficienti CONTO
Modo
In
I Questo
scacare)
(si prodoto :
fa
T T Con
S busumcom
20 fosmxdx
mxdx
fax) cosmacosmdx =
cos = +
1
n
- =
2 -
π
π
- - integrale è Zero
sono tutt
0
sew =
( L'integrale
per
supponendo prò
le Con
Condizioni scambiare
siamo serie
si la
cui
l
MANIERA ANALOGA
In :
"f(xsumxdx
S i bm
=
π
-
OTENGO :
ana de
cos me m 2
, ...
0 1
= ,
.
f(x)
ba dx m 1
= sem = 2
, ...
+ ,
Quando fede
8 = Per Moltiplo
la
far media integrale
Si e
sia
che
m = o I e
-
fad do
PER media
otengo la
DIVIDO e
2 integrale
fee) Am
(fli ba
è i
pari tri
se
Osservazione : =
= 0
· + On con
penso : 0
fex)
ffix
set Am
i
e am
dispari te =
· o
= , + be seum
penso :
Tao Test
Caso Generale : ,
Considero FOURIER
serie DI
⑳e cos (nuox) be (MW
+
= FREQUENZA
CON FONDAMENTALE
Wo
: = f(x) dx
an muox
cos 1
m 0 2
= ...
,
,
I
be farwod
= I
MANISSA :
Esempio
f(x) T
[x] DISPARI
1
=
x
= - ①
6 xdx
2
00 1
= =
O
baste e ed
si
lung
irsporta-1e[
non /" dx
marx
an cos e
2 x 1
= 2
, ...
= m = ,
O
2) "
bu xsumaxdx En
= 1
n
=
- 2
, ...
= ,
F(x -Su
=1 DI
SERIE FOURIER
f
Per È CONTINUA
NON
X =0 fo
fo
la converge 1
a
serie de
media e salto
+
= 2 En m]
ESEMPIO procNGAMENTO RESTRIZIONE
PERIODICO ,
f x2 T 2iT
= =
PARI
I
·
bn = o : d =
20
· (1)
an cosmxdx =
· +
f(x) = co
Generale
Metodo :
f(x) periodo
intervallo
,
· ,
pari dispari
o
· bu
Am
Ro
calcolare :
· , ,
SCRIVERE Serie
·
Convergenza Fourier
una di
serie
di (2
f
Sia fe (fim)
i)
: RIR Cioè
(
cui integrabile
Quadrato
una periodica
ci sia
funzione il ,
, S Sfalseumada
fllcosmada
è
Allora condizione
Questa integral
affinche
sufficiente qu
una e
T i
bu - -
Siano finit = an e Esistono
DIMOSTRAZIONE : I
S
F fe i
ma dx e cost definito
cosmx) scaltre
prodotto
es
= il
, Caucay-Schwarz
per di
disuguaglianza : casade
Sfex Find)
/ fe(2((
Il +)
parche
misura into
cos ma +,
-
T
-
Stessa l'altro
per
cosa integrale
Posso af
fourier
m-esima
scrivere parziale
serie somma
la serie associata
di
dela
, + com/count
SN( = 0
(Convergenza)
Teorema :
f IR-IR
Sia La((-i m)
una FUNZIONE Periodica
25 Appartenente
e
: a
- ,
= converse a f
busimm]
Snc) che
avora posto ancosm si a i ma
+ per
Quadratica Omero -d >o
Inacte Sfixd bi)
Ilflle ( + UGUAGUANZA
(0 PERSEVAL
DI
= = +
:
Corollario :
Se Fourier di f cioè
i
ha convergenza
si sono
coefficienti per
infinitesimi
la di ma o
, ,
le cosmx
i
him anx
:
DIMOSTRAZIONE numerica ab)
Poiche Perseval la
disuguagranza e
per amor
convergente
di serie
la , ,
by
far Di elbal
Gary
zero infinitesime
anche
successione . sono
tende conseguenza
a
+ Fourier
Una
di
Osservazione Convergenza di
serie
dela :
fel"((i ti) L' La
poche è
64 Integral restrittivo
anche
finiti
sono se ristero
meno a
, ,
Scosmald Il flex Le
E Hald Però saral Quadratica
convergenza
ci
in non
+
· 0
=
DEFINIZIONE funzione Regolare Tratt
A
Una f b]
IR
b]
[a [a [a
b]
si può
Regolare tran
funzione dice suddividere
se si
in
a
: --
, , ,
f
b
<X17 Au
Xm
IN Numero che
UN =
a
Intervall
Finito DI xo ....
Xi)
fe ce (Xi-e
intervallo
in ogni
in
· ,
f liv
livr
Finit
Esistono
e =
· +
Xi
X > 1
- -
Teorema (convergenza (
Fourier
Dimichlet puntuale
di serie
una di
condizione di Ha
f dif
er
Ir-Ir Fourier
Sia a
cit-periodica regolare trat
funzione serie di
una la
e
: .
f(x) flat salto
(media
puntualmente a
converge del
+
In 2 f(x)
particolare f è converge
Nel punti a
serie
continua
in la
cri
X
TEOREMA
Sia f IR-IR media
periodica ogni serie converse
sotointervall
zit monotona allora alla
in la
: , I
(Totale Fourier
convergenza di<